高等数学（个人总结篇）

本篇记录笔者在日常生活与工作过程中，学习高数时的感悟与体会。整个高数课程一直在围绕着一个话题昨日如死而展开：导数。为什么会这二手渔具样？学习高数，究竟在学什么，有什么用？本篇争取将这个问题将明白。

1.导数定义：

导数和微分的概念

从定义中，我们可以发现：导数就代表着变化率。研究导数，就是在研究变化。自变量ｘ变化了一点点（极限小，无穷小）时，结果ｙ会发生什么变化。导数就是指这个。

2.左右导数

函数f(x)在x0处的左、右导数分别定义为：

左导数：

3.函数的可导性谥号与连续性之间的关系

4.平面曲线的切线和法线

从上面的这两个公式可以知道：平面曲线上有一个点（x0,y0)，可马上求出它的切线方程与法线方程。

5.导数的四则运算法则

设函数u=u(x)，v=v(x)在点x可导，则

6.几种常见函数的导数与微分：几种常见的函数的变化率

7.复合函数，反函数，隐函数（参数方程）的求导方法

复合函数：x经过变换1变成了y，y经过变换2变成了z，那么x经过两次变换变成了z，这就是复合函数。求复合函数对x的导数，就表示x变化了一点点，那么z会变化多少。

反函数：x经过变换变成了y，那么y可以经过一个相反的变换变成x，这个相反地变换，就是反函数。

隐函数（参数方程）：对于明确给出y与x关系的函数，叫做显函数，例如y=2x-1，y与x的关系一目了然。用一个等式来约束y与x之间关系，这样的函数叫做隐函数，例如y^2+x^2+x=1, 我们无法直接看出y与x之间的关系，但二者确实存在着这样的一种等式约束。这种我们叫它隐函数。

(1) 反函数的求导: 设y=f(x)在点 x 的某邻域内单调连续，在点 x 处可导且

，则其反函数在点 x 所对应的 y 处可导，并且有

(2) 复合函数的pll求导方法（链式法则）:若

(3) 隐函数导数的求法

一般有三种方法：

1)方程两边对 x 求导，要记住 y 是 x 的函数，则 candy洗衣机y 的函数是 x 的复合函数，对 x 求导应按复合函数链式法则做.

2)公式法.由 F(x,y)=0 知

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

9.微分中值定理：在某些情况下，可以判断出导数的方法

10.洛必达法则：求解＂０／０＂和＂无穷／无穷＂

洛必达法则给出了一种方法：当我们最终要求的式子是“０／０”或“无穷／无穷“时，它的结果就是其对党建活动应导数（变化率）的比值。

11.泰勒公式与麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式,是在x=0处的泰勒展开.

常用五种函数在 {{x}_{0}}=0 处的泰勒公式

将函数进行泰勒展开，变成级数的形式，会发现一个有趣的现象：等号右边的级数，越往后，级数项越小。后面的级数项，可以当作一种误差。那么“取前三项代替原函数”产生的误差，要比“取前五项代替原函数”产生的误差大的多。取前五项代替原函数，产生的误差虽然小，但是其计算量却要比”取前三项“的计算量大很多。

泰勒公式的用途：任何一个函数，都可以用其导数的级数来代替。现实生活中，原函数分析起来比较困难。将其进行泰勒展开，取其泰勒展开的前几项来代替原函数进行分析。例如：ln(1+x)这个函数分析起来比较困难，将其进行泰勒展开，取其前三项，就变成了ｘ－(1/2)ｘ^2　+　(1/3)x^3，这时进行分析就变得容易些。这种方法在科研工程中非常常见，例如图像领域中的角点检测，就用了这种数学方法。

12.函数单调性与导数的关系

函数的单调性，表明了自变量x与因变量y的关系。单调递增，表示y随着x的增大而增大，随着x的减小而减小，即y的变化与x的变化是一致的。单调递减，表示y随着x的增大而减小，随着x压电陶瓷的减小而增大，即y的变化与x的变化是相反的。这一点跟概率论中的正相关和负相关（用协方差来进行相关性分析）的意义是一样的。

我们学习高数，学习导数，最终目的只有一个：就是为了知道结果y与变量x 之间的关系，x变化了，y会如何变化。

13.渐近西本智实线的求法

14.函数凹凸性的判断：是为了求极值（或最值）

日常生活中，我们总是希望求某一情况下的极值（极大值或极小值），例如我们总是希望在生活或工作中，利益最大化或误差最小化。在数学函数上，如何求这种极大值或极小值呢？这时候就要进行凹凸性的分析。

凹凸性分析使用二阶导数，而单调性分析使用一阶导数，无论是一阶导还是二阶导，都可以用来求极值。神经网络中的梯度下降法，就是用一阶导数法国首都来进行调参数的。

15.弧微分16.曲率

单位弧段上切线转过角度的大小，用来表达弧段的平均弯曲程度

曲率：用于衡量弧段的弯曲程度。曲率越大，表示这个弧段越弯曲.

设转过的角度大小设为a，经过的弧段设为s， 则|a/s|称为该弧段的平均曲率，而

曲线 y=f(x) 在点 (x,y) 处曲率的计算公式为：

对于参数方程

通过曲率（二阶导），可以知道曲线的凹凸性

可以用曲率来表示一个峰值有多尖， 山峰的陡峭程度。

引申知识，可以看：

17.曲率半径

曲线在点处的曲率与曲线在点处的曲率半径有如下关系：

对于一个圆而言， 它的曲率就是半径的倒数，即k=1/r，圆的半径越大，曲率越小，圆的半径越小，曲率越大。

18.泛函, 梯度grad与散度div

泛函: 函数的函数

梯度：矢量， 方向导数变化最快的方向，即为梯度方向，此时的方向导数的大小，即为梯度的模。

散度：标量，是一个数值，表示空间各点矢量场发散的强弱程度。散度是衡量矢量场的，输入为矢量场（通常为梯度场）。

参考资料：

19.通量与散度

通量:

散度:又叫通量密度,记做div.

20.微谷歌地球卫星地图分,差分与变分

微分:自变量x变化了一点点(dx), 而导致函数f(x)变化了多少

差分: 离散化的微分,即delta_x, 当自变量很微小时,就近似变成了dx

变分: 微分在函数空间上的拓展, 函数关系发生了一点点变化,引起整体系统(泛函)的变化量.

泛函求极值的条件：满足欧拉—拉格朗日方程。通常会涉及偏微分方程PDE。

或者写成：

这部分内容通常会跟最速降线问题，摆线问题，悬链线问题相关，都是利用欧拉—拉格朗日方程评价模型来求取极值。

参考资料：

【变分计算1】欧拉-拉格朗日方程

理论力学3—变分法的核心，欧拉-拉格朗日方程

理论力学4—最速降线问题

史上最简单易懂的变分原理，最速降线讲解

21 牛顿-莱布尼次公式

22 格林公式

23 高斯公式

格林公式表达了平面闭区域上的二重积分(面积)与其边界曲线上的曲线积分(线)之间的关系.

高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.

即:

格林公式: 平面闭区域,面积与边界曲线的关系

高斯公式: 空间闭区域,体积与边界曲面的关系

24 斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推广:

格林公式: 平面图形的面积<==>平面曲线

斯托克丝公式: 空间曲面的面积<==>空间曲线

25 微分与积分, 级数的作用

微分:求导,求变化率

积分:求微分(或称导数)的原函数, 分为定积分和不定积分

微分与积分,是相反的一对运算, 求加速度,就用微分对速度求导数(就是求速度的变化率).求路程,就用对速度在某一段时间内进谷螟行积分

级数有什么作用: 对数,三角函数,三角对数等等,都是通过级数计算而来.常用的pi,e等,也是用级数计算出多少位的近似值. 再如波形分析,如振动, 声学, 电学等,通常都是将波形分解成傅立叶级数,再进行计算.

26 二重积分, 三重积分,曲线积分, 曲面积分的关联与应用

二重积分:求平面图形面积,求空间曲面面积, 求曲面柱的体积

三重积分:求空间物体体积,求质量,求质心...(经常要化为二重积分求解)

曲线积分与曲面积分:经常要姚采辰化为重积分来计算.

27 插值法

线性插值:双线性插值,三线性插值

多项式插值:

拉格朗日插值:一阶拉格朗日插值,二阶拉格朗日插值...分段拉格朗日插值(其中有基函数的概念)等, 要构造拉格朗日多项式

泰法国景点勒插值:求泰勒多项式

牛顿插值:差商

埃尔米特插值:

样不一样又怎样条插值:在每个间隔使用低阶多项式(而不是线性函数):三次样条,B 样条

分段插值:

最近邻插值:找到最近的值,并分配相同的值.

这里面最常使用的有:线性插值, 拉格朗日插值,牛顿插值,B样条插值, 最近邻插值(其他的插值法了解一下就好).

28. 二阶导与凹凸性

先说一下，导数的直观理解：

导数： 变化率，或者说是函数在某一点处的斜率，即输入一个特别小的数，输出会有什么变化

偏导数：针对多维输入，偏导数表示，只有一个因变量发生改变时，函数的变化。例如，f（x，y，z）是关于x，输卵管复通y，z的函数，此时想要知道x的变化会对f函数造成的影响，此时就要求f对x的偏导蔡司镜片。

梯度：是包含所有偏导数的向量

方向导数： 在某一个方向的导数，即函数在该方向的变化率（斜率，在该方向上求导）

二阶导数：表示一阶导西塘古镇住宿数将如何随着输入的变化而变化， 是对曲率的衡量（小圆的曲率较大，大圆的曲率较小）。

好了，现在说一下二阶导与凹凸性的理解。

一阶导数的正负，表示函数值f（x）的电路板抄板变大或变小。

二阶导的正负表示斜率（斜率即一阶导）的增大或减小

凹凸的定义：

从二阶导的正负，就可以判断凹凸性，

二阶导为正，说明斜率越来越大，即凹函数（注意看上面的图像）

二阶导为负，说明斜率越来越小，即凸函数（注意看上面的图像）

二阶导为0，表示斜率的变化率为0，即保持同一斜率

看一个例子：

如上图，上面有三个特殊点：点（-1，2），点（1，-2），点（0，0）。

假设有一个小球沿着这条轨迹运动，当运动到点（-1，2）和点（1，-2）时， 小球的方向都变成相反方向了。而从（0，0）点开始，左边图像是凸的，变成右边凹的了。那么如何来求这三个特殊点呢？可以利用一阶导和二阶导来求。

令一阶导为0，可以找到（-1，2）和（1，-2深圳国贸大厦）两个点。

令二阶导为0，可以找到（0，0）点。

最后给出两张总结的图片

一些常见的距离：