教学设计北京八中大兴分校刘超

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京津冀中小学第一届“青年教师优质课展播”活动教学设计

教学基本信息

课名

是否属于

地方课程或校本课程

学科

教材

数学

学段

初中

年级

解直角三角形

否

九年级

授课日期

2016.10.26

书名：数学 出版社：北京出版社 出版日期：2015年 7月

教学设计参与人员

设计者

实施者

指导者

姓名

刘超

刘超

杨树新

单位

北京市第八中学大兴分校

北京市第八中学大兴分校

北京市第八中学大兴分校

联系方式

指导思想与理论依据

1、本着让学生“动手实践、自主探索、合作交流 ” 指导思想，在教师的启发下，让学生成为行为

主体。

2、理论依据参考《2011版初中数学新课标》涉及本课的知识要求：

能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决一些简单的实际问题。

中考要求： B.能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决

一些简单的实际问题。 C.运用直角三角形的有关内容解决有关问题

教学背景分析

教学内容：通过对问题的分析、探究，揭示应用三角函数有关知识解题的规律，提高分析问题和解

决问题的能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题

方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。在与他人合作和交流过程中，

能较好地理解他人的思考方法和结论。

学生情况：该班学生对数学学科比较感兴趣，学生对锐角三角函数已经有了一定的了解，与锐角三

角函数有关的计算较为熟练。对于图形问题的转化意识不是很强，还需经历实践培养意

识。学生经过了一段时间“讲题”的训练，能从条件分析入手，分享自身解题思路的形

成过程。

教学方式：讲授式、实践探究式、讨论式

教学手段：多媒体演示、讲学稿的使用

技术准备：课件的制作、几何画板应用环境的调试

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教学目标

1、能够运用解直角三角形的知识，解决几何问题。

2、通过解直角三角形，进一步体会转化、方程的思想，培养分析问题、解决问题的能力，使学生经

历探究、合作、归纳的过程，发展演绎推理能力，清晰地表述自己的想法。

3、经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析

问题和解决问题的一些基本方法。

4、从几何问题出发，激发学生学习数学的兴趣，在学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困

难的意志，建立自信心。

教学重、难点

教学重点：利用解直角三角形的知识解决相关问题

教学难点：如何灵活使用三角函数关系式求线段长

学习效果评价设计

评价方式

1、课上表现评价表

2、课后习题的批阅

评价量规

评价表

上课时间：2016年10月26日科目： 数学 内容：解直角三角形

学生

项目

课堂参与

提出或回答问题

合作与交流

课堂练习

知识技能的掌握

独立思考、解决

问题

总分

2如有帮助欢迎下载支持

说明：记录时，3表示优，2表示良，1表示一般。

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教学过程(文字描述)

由直角三角形性质的四方面引入，引出斜边上的高，使此高线经过向一锐角的平移得到“活动一”

的变换图形，创设问题并解决问题，使学生体会解决问题方法的多样性并分析择优选择的理论依据。

总结方法，之后把图形分割变换为活动二的习题，提出问题，学生独自思考并解决，5分钟后小组

间整理思路，之后教师引导带领完成本节课归纳总结。

教学过程(表格描述)

教学阶段 教师活动

如图，在Rt

学生活动

中，

设置意图

技术

应用

时间

安排

创设情境

回忆直角

1、边的关系：

三角形的

C90

，AC=b,BC=a,AB=c

性质，强

222

abc

调三角函

2、

角的关系：∠A+∠B=90°

数关系式

的恒等变

3、边角关系：

形。根据

cos

A

；

sin

A

；tan

A

；

直角三角

形面积的

4、面积关系：

不同表示

11

形式求其

S

ABC

abch

中线段的

22

方法。

ABC

应用

几何

画板

8分

温故知新

引出所学

内容，激

如图，在Rt△ABC中， 的作用见比设K。

发探究的

∠C=90°.D是BC边中点， 2、引导启发学生从多个角

兴趣。

DE⊥AB于E， 度解决问题，培养发散思

维。

帮学生树

1

tanB=，AE=7，求DE的长.

立应用三

A

2

3、根据解法的不唯一性，

角函数的

列方程的关键在于找同一

相关知识

E

解决几何

量的不同表示形式。

B

问题的意

C

D

解题过程：

4、对于不同的解决方案，

识，体验



DE



AB

于

E

方程思想

要让学生明白其中的原

1

求线段的

tan

B



理，并能说出理论依据。

长。

2

设

DE



x

,

BE

2

x



BD



DE

2



BE

2

5

x

3如有帮助欢迎下载支持

活动(一)：

1、提醒学生锐角三角函数

多媒

体展

示，直

观对

比过

程的

繁简

10分

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

点

D

为

BC

边的中点



BC

25

x





C

90



AC



BC

tan

B



方法

○

1

∵在Rt△ABC中，

∠C=90°

∴AC

2

+BC

2

=AB

2

（

5x

）

2

+（2

5x

）

2

=（2x+7）

2

5

x

7

解得

3

x

2

1



舍去



x

1



∴

x

7

3

7

3

即：DE长为

方法

○

2

∵∠BED=∠C

∠B=∠B

∴△BDE∽△BAC



DEBD



ACAB

即：

x5x



5x

2x7

7

3

7

3

解得

x

即：DE长为

方法

○

3

∵在

Rt△BED中

sin

B



DE

BD

根据勾股定理建立方程

解一元二次方程

讨论结果是否符合实际

根据相似三角形的对应边

成比例建立方程

利用不同的直角三角形，

找出同锐角的同名三角函

数值，根据比值相等列出

方程。

让学生们

经历，利

用解直角

三角形的

知识解决

几何问

题。

在不同的

直角三角

形中体会

同锐角的

同名三角

函数值

等，让学

生体会锐

角是自变

量，比值

是函数。

同时在活

动一的基

础上，体

验获得成

功的快乐

与分享的

喜悦。

4如有帮助欢迎下载支持

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AC

sin

B



AB

DEAC



BDAB

15

x



2

x

7

5

7

解得

x

3

7

即：DE长为

3

A

方法

○

4：连结AD

E

由S

△

ABD

=S

△

ABD

可得

C

B

D

11

AB



DE



BD



AC

22

根据三角形面积不同表示

形式建立方程

(2

x

7)

x

5

x

5

x

在

Rt△BCA中

7

x

1



解得 ：

3

x

2

1



舍去



∴

x

小结：

1、 等角的同名函数值相

等。关键是解决在不

同的直角三角形中找

7

3

7

3

即：DE长为

出相等的锐角。

2、 巧设元。尽量设最小

线段为

x

，这样便于

用整式表示出未知的

线段，方便计算。

四种方法

所列方程

的最终化

简形式都

归结为一

个结果。

经过一题

多法的研

究，让学

生体会知

识的贯

通，熟练

的解题技

巧对解决

问题时的

帮助。

四边形，

向直角三

角形转

化，让学

生体会三

角函数只

能在直角

三角形应

新课讲解

学生思考：

1、 看到不规则的几何图

活动（二）：

形应想到什么？

如图，四边形ABCD中，

（转化思想）

∠A=∠C=90°， ∠D=60°，

2、 以什么方法实现转

AD=5，AB=3，求BC的长。

化？（割补）

5如有帮助欢迎下载支持

5分

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D

C

解法不唯一，形内分割方

法很多，此题关键是怎样

添加辅助线，构造出已经

熟悉的特殊的几何图形。

A

B

A

B

D

C

用，本题

也进一步

拓宽了他

们思维的

广度与深

度。

此题

在形内构

造直角三

角形时有

一定的难

度，经过

学生的动

手实践，

体会要灵

活运用锐

角三角函

数解决几

何问题，

注意知识

间的综合

运用.

方法举例：

方法

○

1（补全Rt△CDF

同时可得Rt△ABF创出

两个含有特殊锐角的直

角三角形，又已知一条直

角边为3结合已知可解）

D

C

A

B

F

∵

∠A=∠C=90°， ∠D=60°

∴

∠F=30°

∵

AB=3

实践操作

∴AF=

E

不同的辅助线，相同的解

决问题的办法。

请学生先独立思考，尝试

用不同的方法解决问题

1、在这一活动中重点关注

学生们探究，如何添加辅

助线的过程，特别应关注

AB

tan

F

33

5分

BF=6

∵AD=5

∴DF=

533

∴CF=

DF

cos

F

即：

那些平时学习有一定困难

的学生，他们往往在解决

3

实际问题时，显示出创造

BC

6(533)

2

的能力，这也是树立这些

53

3

解得：

BC



22

方法2（分割成特殊的直角

三角形和矩形，根据解直角

三角形的知识，和矩形的判

定、性质解决问题。）

学生自信心的一个良好契

机。

○

2、同时观察所列方程是否

正确，教师给出适当的引

导。

6如有帮助欢迎下载支持

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D

Q

P

A

B

做AQ⊥DC于Q,

做BP⊥AQ于P

∵∠D=60°

∴∠DAQ=30°

∵AD=5

C

∴AQ=AD



COS



DAQ

=

5

3

2

∵∠DAB=90°

∴∠QAB=60°

∵AB=3

∴AP=

COS



QAB



AB



3

2

∵∠C=90°

∴四边形BCQP为矩形

∴BC=PQ=AQ-AP

=

53

3

22

其余辅助线方法略

3、向学生抛出问题，提出

较高要求，思考有几类解

决方法。

学生展示添加辅助线思路

给学生提

供思考空

先由学生独立思考解决问间，培养

题的办法 其分析问

题和解决

问题的能

力

小组讨论，整理可行的辅

培养探究

意识、总

结能力、

表达能力

肯定学生

的成果，

使其感受

收获的快

乐，增强

学习的兴

趣。

分享交流 教师巡视、点评

助线方法 ，组织语言

小结：

安排学生到前边板演不同的

辅助线添加，和学生共同完

成方法的归纳。

1、 此题通过割补法在形

内和形外构造直角三角

形。

2、优选方法：补形方法辅

7如有帮助欢迎下载支持

5分

效果评价 5分

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助线易作，计算简单。

学生尝试总结，教师补充：

1、 本课重点是把四边形

问题转化为解直角三角形

数学问题，注意审题，明

确数量关系。

2、数学思想：转化思想、

训

练学生

方程思想。

归纳总结

3

、常用的解题技巧：见比

的能力．

设k

4、求线段长时常用方程求

解，等量代换，勾股定理，

三角函数，相似，面积列

方程。解直角三角形的方

法很多，选最优方法。

1、考察学生对割补法的掌

握程度，过C做AB的垂

线由已知可证105°被分

为60°和45°，此时出现

两个都具有特殊角的直角

三角形，问题可解。此题

属于基础题。

2、由135°想到邻补角为

45°，过点A做BD延长

线的垂线，“补”出的部分

为直角三角形，整体为含

有30°角的直角三角形，

体会由一般到特殊的转

化。

3、为学有余力的学生提供

培养综合运用能力的机

会。由120°补齐含有

60°角的直角三角形，借

助CD、BC的具体值得

∠DBC=45°，即得到

∠ABD=30°，由此想到

过点D做AB的垂线，根

据解直角三角形的知识可

解得AD=

8如有帮助欢迎下载支持

巩固课上

所学的内

容，增强

学生学好

数学的兴

趣与愿

望。

培养学生

利用解直

角三角形

的知识解

决一般问

题的能

力。

培养学生

解决图形

问题的转

化能力，

让他们体

会运用解

直角三角

形的知识

去解决数

学问题。

通过本节课的探索，从以下

几点考虑有何收获？

1、审题

归纳总结

2、数学思想

3、解题技巧

4、求线段长的方法

几何

画板

演示

5分

1、 如图在△ABC中，

已知

AC4

∠C=105°，

求AB和BC的长

∠A=30°

，

C

课后拓展

105°

30°

B

A

2、如图所示∠

B

=30°，

∠

BDA

=135°，

BD

=3，求

AB

的长

A

B

D

3、如图，在四边形ABCD中，

∠C=120°，∠B=75°，CD=4，

BC=

232

，cosA=

求AD的长。

课后

3

，

5

C

D

A

D

C

B

5

4

6

A

B

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本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点

本节课的主要内容是，利用已学知识解决直角三角形中的复杂问题，以例题的引入使学生体验

解决问题方法的不唯一性，由一个简单直角三角形的两种图形变换，使学生体验把复杂图形进行分

解或组合，并能结合图形弄清各相关元素之间的位置关系与数量关系的转化，从而建立直角三角形

的边、角之间的相等关系，充分利用数形结合思想和方程思想解题．着重培养学生的转化意识、多

方面分析问题的解题技巧。题目的设计为学生的创造性思维提供了较大的发挥空间。在探究解决问

题方法的动手实践中，关注全体学生，可以做到全员参与，增强了学生的学习兴趣。

教学反思

通过本次课堂教学，以及学生评价表、学生练习的反馈，我对本次授课做出了教学反思，力求

在今后的教学路上扬长避短，查漏补缺。

一、优点和成功之处

1. 导入内容的设置为顺利达到本节课的目标奠定了基础

在导入环节中，由直角三角形的性质，引出环节：勾股定理、直角三角形两锐角的关系、三角

函数关系、三角形面积的计算。这些知识都是学生们已经掌握的内容，系统的进行梳理之后，在解

决课上新授问题时才会得心应手。

2. 题目的设计使学生们更清楚的找到了图形变化前后的联系

通过对直角三角形斜边上的高线进行平移、分割，实现了图形、习题的变式，使学生们感受到

了图形变化的过程，梳理出了由一般到特殊的转化方法。

3. 一题多解为更多的学生提供了机会、建立了自信

学生水平参差不齐，多种方法解题可以调动所有学生参与其中，思考、交流的过程，就是培养

能力的过程。根据学生个体的差异，采取分层次留作业，尊重个体发展的特点。

4. 自主探究与小组合作学习的方式，体现了学生的主体地位

在教学活动中自主探究，提高了学生的发现问题和解决问题的能力，小组讨论，极大地调动了

学生学习积极性和团队合作意识，互帮互助，带动学习。

5. 教师以引导为主，给学生留下更多的思考空间.

6. 关注学生想法和情感，加强情感交流

二、不足之处

9如有帮助欢迎下载支持

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1.引导时间过长

在开始时对于旧识的回顾有些罗嗦，减少了后边学生独立思考的时间。

2.对于辅助线添加环节的反思

在解决活动二的问题时，学生们开始时所添加的辅助线五花八门，但却忽略了是否可解，所以在

这有引导的失误，应该重点强调怎样添加辅助线，是为了解决问题而服务的。

3.对于学生板演展示的反思

通过学生的反馈，发现有很多学生具有展现自己的强烈欲望，因为有课堂时间限制的原因，这个

环节所提供的机会远远不够，因此在今后的教学中更要注重对时间的把控，最大限度的让学生站到

讲台来展现自己。

工作十余年，每学期我都会录制一节公开课，而每次的课，我都有新的收获。教学设计和教学

课件基本上都是一改再改，每次翻阅也都会有不同的想法去完善。上完课后，还会反思出很多的问

题。总之，课下越是准备充分，课上教学就会越顺利；学生们的收获就会越多；学习就会越轻松……

为了自己更强大，为了学生们更幸福，我都会认真准备好每一节课。

10如有帮助欢迎下载支持