小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解

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小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答

一、填空题

1．三个连续偶数;中间这个数是m;则相邻两个数分别是___m-2____和___m+2_ __..

2．有一种三位数;它能同时被2、3、7整除;这样的三位数中;最大的一个是

____966___;最小的一个是____126____..

解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、……966

3．小丽发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数;积是144;小表妹和读初三哥哥

的岁数分别是_____9____岁和____16____岁..

解题过程：144=2×2×2×2×3×3；9、16=1

4．一个四位数;它的第一个数字等于这个数中数字0的个数;第二个数字表示这个数

中数字1的个数;第三个数字表示这个数中数字2的个数;第四个数字等于这个数中数

字3的个数;那么这个四位数是____1210___..

5．2310的所有约数的和是__6912____..

解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=1+2×1+3×1+5×1+7×1+11

6．已知2008被一些自然数去除;得到的余数都是10;这些自然数共有____11____个..

解题过程：2008-10=1998；1998=2×3

3

×37；约数个数=1+1×1+3×1+1=16个

其中小于10的约数共有1;2;3;6;9；16-5=11个

7．从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中;最多可以取多少个数;才能使其中每

两个数的差不等于4__ 1000 __..

解题过程：1;5;9;13;……1997500个 隔1个取1个;共取250个

2;6;10;14;……1998500个隔1个取1个;共取250个

3;7;11;15;……1999500个隔1个取1个;共取250个

4;8;12;16;……1996499个隔1个取1个;共取250个

8．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1;3;5;7;9;11;13…擦去其中的一个奇

数以后;剩下的所有奇数之和为1998;那么擦去的奇数是____27____..

解题过程：1+3+5+……+2n-1=n；45×45=2025；2025-1998=27

2

9．一个1994位的整数;各个数位上的数字都是3..它除以13;商的第200位从左往右

数数字是_____5____;商的个位数字是_____6____;余数是____5_____..

解题过程：……3÷13=256410 256410……

10．在小于5000的自然数中;能被11整除;并且数字和为13的数;共有____18____

个..

解题过程：能被11整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数；

1位数不满足条件；2位数也不满足条件各位数字应相等;数字和不等于

13；

应为3或4位数；13=12+1；偶数位数字和=1;奇数位数字和=12时;共有

14个；

偶数位数字和=12;奇数位数字和=1时;共有4个；14+4=18个

11．设n是一个四位数;它的9倍恰好是其反序数例如：123的反序数是321;则n＝

___1089___..

解题过程：千位只能是1；个位只能是9；百位只能是0或1；如百位是1;则十位必

须为0;

但所得数1109不满足题意；如百位是0;则十位必须为8;得数1089满足

题意

12．555555的约数中;最大的三位数是___555____..

解题过程：555555=3×5×11×37×91；3×5×37=555

13．设a与b是两个不相等的自然数;如果它们的最小公倍数是72;那么a与b之和

可以有____17____种不同的值..

解题过程：72=2×2×2×3×3；a=72;b=1+3×1+2-1=12-1=11；a=36;b=8或24；

a=24;b=9或18；a=18;b=8；a=9;b=8；11+6=17

14．小明的两个衣服口袋中各有13张卡片;每张卡片上分别写着1;2;3;……;13..如

果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积;可以得到许多不相等

的乘积;那么;其中能被6整除的乘积共有____21____个..

解题过程：6×1;2;3;……13 共13个；

12×7;8;9;……13=6×14;16;18;……26 共7个；

9×10=6×15 共1个； 13+7+1=21个

15．一列数1;2;4;7;11;16;22;29;…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；

第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推..那么这列数左起第

1992个数除以5的余数是____2_____..

解题过程：a

2

-a

1

=1；a

3

-a

2

=2；……a

n-1

-a

n

-2=n-2；a

n

-a

n-1

=n-1；

a

n

-a

1

=1+2+3+……+n-1=nn-1/2；a

n

= nn-1/2+1；

a

1992

=1992×1992-1/2+1=996×1991+1=995+1×1990+1+1

16．两个自然数的和是50;它们的最大公约数是5;则这两个数的差是_ 20或40 _..

解题过程：a、b=5；5|a;5|b；a=5;b=45或a=15;b=35

17．将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数;它与原数相加;得到的

和恰好是某个自然数的平方;这个和是____121___..

解题过程：和可能为两位数;也可能为三位数;但肯定是11的倍数;即11的平方..

18．100以内所有被5除余1的自然数的和是____970___..

解题过程：1+6+11+16+……91+96=1+96×20÷2=970

19．9个连续的自然数;它们都大于80;那么其中质数至多_____4____个..

解题过程：9个连续的自然数;末尾可能是0-9;末尾是0、2、4、6、8的一定被2整

除;末尾是5 的一定被5整除;每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数;

只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数．于是质数只可能在这5个连续

的奇数中;所以质数个数不能超过4

20．如果一个自然数的约数的个数是奇数;我们称这个自然数为“希望数”;那

么;1000以内最大的“希望数”是___961____..

解题过程：自然数的因数都是成对出现的;比如1和本身是一对;出现奇数个因数的时

候是因为其中有一对因数是相等的;即这个自然数是完全平方数..1000以

内最大的完全平方数是 31

2

=961;所以这个希望数是 961

21．两个数的最大公约数是21;最小公倍数是126..这两个数的和是__105或147__..

解题过程：126=21×2×3；这两个数是42和63;或21和126

22．甲数是36;甲乙两数的最小公倍数是288;最大公约数是4;乙数应该是

____32____..

解题过程： 4 | 36 4×8=32

36÷4=9 288÷4÷9=8

23．一个三位数能同时被2、5、7整除;这样的三位数按由小到大的顺序排成一列;中

间的一个是___560____..

解题过程：2×5×7=70；70×2;3;4;……13;14=140;210;280;……910;980

24．有四个互不相等的自然数;最大数与最小数的差等于4;最小数与最大数的积是一

个奇数;而这四个数的和是最小的两位奇数;那么这四个数的乘积是____30____..

解题过程：最小数、最大数均为奇数;中间有一个偶数;4个数和为11;分别为1、2、

3、5

25．两个整数相除得商数是12和余数是26;被除数、除数、商数及余数的和等于454;

除数是____30____..

解题过程：设除数是X;则12X+26+X+12+26=454；X=30

26．在1×2×3×…×100的积的尾部有____21___个连续的零..

解题过程：尾数为5的共10个;尾数1个0的9个;2个0的1个;共21个0

27．有0、1、4、7、9五个数字;从中选出四个数组成一个四位数例如1409;把其中

能被3整除的这样的四位数;从小到大排列起来;第5个数的末位数字是____9_____..

解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170……

1479、1497、1749、1794……

28．一些四位数;百位数字都是3;十位数字都是6;并且他们既能被2整除又能被3整

除..甲是这样四位数中最大的;乙是最小的;则甲乙两数的千位数字和个位数字共四个

数字的总和是____18____..

解题过程：求 36 中能被3整除的偶数；甲为9366;乙为1362；9+6+1+2=18

29．把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数：1、2、3、…、9、10、11、

12、…;把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字;组成第二串数：1、2、…、

9、1、0、1、1、1、2、1、3、…..则第一串数中100的个位数字0在第二串数中是

第____192___个数..

解题过程：1-9共9个;10-99共180个;100共3个

30．某个质数与6、8、12、14之和都仍然是质数;一共有_____1____个满足上述条件

的质数..

解题过程：除2和5以外;其它质数的个位都是1;3;7;9；

6;8;12;14都是偶数;加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数;所以不是2；

14加上任何尾数是1的质数;最后的尾数都是5;一定能被5整除；12加

上任何尾数是3的质数;尾数也是5；8加上任何尾数是7的质数;尾数也

是5；6加上任何尾数是9的质数;尾数也是5；

所以;这个质数的末位一定不是1;3;7;9；

只有5符合

31．已知a与b的最大公约数是12;a与c的最小公倍数是300;b与c的最小公倍数

也是300..那么满足上述条件的自然数a、b、c共有____30____组..例如a＝12;b＝

300;c＝300;与a＝300;b＝12;c＝300是不同的两个自然数组

解题过程：∵a;b=12;∴a=12m;b=12nm;n=1或5或25;且m;n=1；

∵a;c=300;b;c=300;∴c=25kk=1;2;3;4;6;12；

当m=1;n=1时;a=12;b=12;c=25k

当m=1;n=5时;a=12;b=60;c=25k

当m=1;n=25时;a=12;b=300;c=25k

当m=5;n=1时;a=60;b=12;c=25k

当m=25;n=1时;a=300;b=12;c=25k

故有30组

32．从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行..从左向右1至11报数;报

数为11的同学原地不动;其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数;报

数为11的同学留下;其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数;报到

11的同学留下;其余同学出列..那么最后留下的同学中;从左边数第一个人的最初编

号是___1331___..

解题过程：11×11×11=1331

33．在1;9;8;9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8＋9＝

17;取个位数字7写在1;9;8;9的后面成为1;9;8;9;7；再计算这5个数的后两个之

和9＋7＝16；取个位数字6写在1;9;8;9;7的后面成为1;9;8;9;7;6；再计算这6个

数的后两个之和7＋6＝13;取个位数字3写在1;9;8;9;7;6的后面成为

1;9;8;9;7;6;3..继续这样求和;这样填写;成为数串1;9;8;9;7;6;3;9;2;1;3;4…那

么这个数串的前398个数字的和是___1990___..

解题过程：1;9;|8;9;7;6;3;9;2;1;3;4;7;1;|8;9;7;6;3;……

398-2=396；396÷12=33；8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60；60×

33+10=1990

二、判断题

1．两个连续整数中必有一个奇数一个偶数.. √

2．偶数的个位一定是0、2、4、6或8.. √

3．奇数的个位一定是1、3、5、7或9.. √

4．所有的正偶数均为合数.. ×

5．奇数与奇数的和或差是偶数.. √

6．偶数与奇数的和或差是奇数.. √

7．奇数与奇数的积是奇数.. √

8．奇数与偶数的积是偶数.. √

9．任何偶数的平方都能被4整除.. √

10．任何奇数的平方被8除都余1.. √

11．相邻偶数最大公约数为2;最小公倍数为它们乘积的一半.. √

12．任何一个自然数;不是质数就是合数.. ×

13．互质的两个数可以都不是质数.. √

14．如果两个数的积是它们的最小公倍数;这两个数一定是互质数.. √

三、计算题

1．能不能将1505；21010写成10个连续自然数之和如果能;把它写出来；如果不能;

说明理由..

解题过程：S=n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7+n+8+n+9

=10n+45一定是奇数

1505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54

21010是偶数;不能写成10个连续自然数之和

2．1从1到3998这3998个自然数中;有多少个能被4整除

2从1到3998这3998个自然数中;有多少个数的各位数字之和能被4整除

解题过程：13998÷4=999个……2

2考虑个位;选法有10种;十位;选法有10种;百位选法有10种;选定之后

个位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况;余0、余1、

余2、余3;对应这四种在千位上刚好有一种与之对应;共有1000

个；1000-1=999个

3．请将1;2;3;…;99;100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行;使

每两个相邻的数都不互质若一行写不下;可移至第二行接着写;若第二行仍写不下;可

移至第三行接着写..

解题过程：9;15;21;27;33;39;45;51;57;63;69;75;81;87;93;99

15;25;35;55;65;85;95

21;35;49;77;91

33;55;77;99

25;35;55;65;85;95；

15;9;21;27;33;39;45;51;57;63;69;75;81;87;93;99；77;91;49

4．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数;其和是13..求所有满足条

件的自然数..

解题过程：设这个数为n;除以9的余数r≤8;所以除以8得到的商q≥13-8=5;且q≤

13

n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8×13-r=9×p+r-104=4

q=5;n=8×5+4=44

q=6;n=8×6+4=52

q=7;n=8×7+4=60

q=8;n=8×8+4=68

q=9;n=8×9+4=76

q=10;n=8×10+4=84

q=11;n=8×11+4=92

q=12;n=8×12+4=100

q=13;n=8×13+4=108

5．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片;每种颜色的卡片各有3张..相同颜色的卡片上

写相同的自然数;不同颜色的卡片上写不同的自然数..老师把这12张卡片发给6名同

学;每人得到两张颜色不同的卡片..然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自

然数的和..六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191..老师看

完6名同学的答案后说;只有一名同学的答案错了..问：四种颜色卡片上所写各数中

最小数是多少

解题过程：设四张卡片上的数从小到大分别为A、B、C、D;则六位同学所计算的分别

为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数;且最小的两个依次为

A+B、A+C;最大的两个依次为C+D、B+D..

A+B+C+D=A+C+B+D=A+D+B+C；

而92+191=283=125+158;133+147=280≠283；

所以;A+B=92;A+C=125;B+D=158;C+D=191；133、147中有一个不正确..

若147是正确的;则B+C=147;A+D=283-147=136..

C-B=A+C-A+B=125-92=33 ==> C=90;B=57;A=92-57=35;D=191-90=101

若133是正确的;则A+D=133;B+C=283-133=150..

C-B=A+C-A+B=125-92=33 ==> B=50;C=83;A=92-50=42;D=191-83=108

所以;四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42..

6．有三个数字能组成6个不同的三位数;这6个三位数的和是2886;求所有这样的6

个三位数中最小的三位数..说明理由

解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、B、C;显然;它们互不相等且都不等于0..

则222×A+B+C=2886 ==> A+B+C=2886÷222=13

百位数为1是最小的;另两个数分别为3和9；所以最小的三位数为139

7．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和..

解题过程：1001＝7×11×13

1＋2＋…＋1000=1＋1000×1000÷2＝500500

7＋14＋21＋…＋994＝7＋994×142÷2＝71071

11＋22＋…＋990＝11＋990×90÷2＝45045

13＋26＋…＋988＝13＋988×76÷2＝38038

77+154+231+…+924=77+924×12÷2=6006

91+182+273+…+910=91+910×10÷2=5005

143+286+429+…+858=143+858×6÷2=3003

500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003＝360360

8．三张卡片;在它们上面各写一个数字如图..从中抽出一张、二张、三张;按任意次

序排列起来;可以得到不同的一位数、二位数、三位数..请你将其中的质数都写出来..

解题过程：2、3、13、23、31

9．一串数排成一行;它们的规律是这样的：头两个数都是1;从第三个数开始;每一个

数都是前两个数的和;也就是：1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;……..问：这串数的前

100个数是包括第100个数有多少个偶数

解题过程：100÷3=33个……1

10．从小到大写出5个质数;使后面的数都比前面的数大12..

解题过程：5;17;29;41;53

11．有15位同学;每位同学都有编号;它们是1号到15号..1号同学写了一个自然

数;2号说：“这个数能被2整除”;3号说“这个数能被3整除”;……;依次下去;每

位同学都说;这个数能被他的编号数整除;1号作了一一验证;只有编号相邻的两位同

学说得不对;其余同学都对;问：1说得不对的两位同学;他们的编号是哪两个连续自

然数2如果告诉你;1号写的数是五位数;请求出这个数..写出解题过程

解题过程：1如果15号说的不对;那么这个数不能被15整除;则它不能被3或者5之

一整除;即3号或者5号说的不对;这与相邻编号两位同学说的不对矛盾故

而这个数能被15整除;同时也能被3和5整除..同理;如果14号不对;那

么它不能被2或者7整除;矛盾..即这个数能被14整除;也能被2和7整

除；同理;如果12号不对;那么它不能被4整除;矛盾..即这个数能被4和

12整除..那么这个数能被25=10整除..将2到15中能被整除这个数的数

划去;发现编号相邻的只有8和9;即8号和9号说的不对..

21号写的数为N..N能被2^2 3 5 7 11 13 = 60060整除;不能被

2^3或者3^2整除；而又已知N是五位数;故N=60060..

12．一个自然数被8除余1;所得的商被8除也余1;再把第二次所得的商被8除后余

7;最后得到一个商是a见短除式1..又知这个自然数被17除余4;所得的商被17除余

15;紧后得到一个商是a的2倍见短除式2;求这个自然数..

解题过程：N=8×8×8a+7+1+1=17×17×2a+15+4==> a=3==> N=1993