小学趣味数学题100道(含答案及讲解)

【精品资料】小学趣味数学题100道（含答案及讲解）

1、巧用抽屉原理

任意5个不相同的自然数，其中最少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？

答案：

一个自然数除以4有两种情况：一是整除为0，二是有余数1、2、3.如果有2个自然数除以

4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。

把0、1、2、3这四种情况看作4个抽屉，把5个不同自然数看作5个苹果，必定有一个抽

屉里至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。所以任意5

个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。

2、年龄问题

我们每个人都有年龄，也常常要根据所学的知识解决有关年龄的问题。你能从变化多

样的条件中寻求解决的途径吗？让我们从最简单的开始，将常见的年龄问题整理解答出来。

例1 今年许鹏比爸爸小30岁。4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍。问许鹏和爸爸今

年各多少岁？

4年后爸爸的年龄是许鹏的3倍，即爸爸的年龄比许鹏大2倍（3－1＝2倍），刚好是

他们年龄的差（30岁）。所以4年后许鹏的年龄应该是：

30÷（3－l）＝15（岁）；

今年许鹏的年龄是：15－4＝11（岁）；

今年爸爸的年龄是：11＋30＝41（岁）。

例2 一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2

岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁。想想看，今年每人的年龄是多大？

今年全家四口人年龄之和是100岁，那么十年前全家人口年龄之和应该减少10×4＝40

岁；但100－65＝35，说明十年前还没有弟弟。这个差数5，正是弟弟的年龄，从100中减

去姐姐和弟弟年龄就是父母年龄和。由此可知，弟弟今年：10×4－（100－65）＝5（岁）；

姐姐今年：5＋8＝13（岁）；

父亲今年：（100－5－13＋2）÷2＝42（岁）；

母亲今年；42－2＝40（岁）。

例3 一天宋老师对小芳说：“我像你那么大时，你才1岁。”小芳说：“我长到您

这么大时，您已经43岁了。”问他们现在各有多少岁？

小芳从1岁到她现在年龄，从她现在年龄到宋老师现在年龄，和宋老师从现在年龄到

43岁，这中间的间隔是相等的，正好都等于他们俩人的年龄差，所以宋老师与小芳的年龄

差是（43－1）÷3＝14（岁）。可知小芳现在年龄为：1＋14＝15（岁），宋老师现在年龄

为：15＋14＝29（岁）。

例4 当问某人的年龄时，他说：“我后天22岁，可去年过元旦时，我还不到20

岁。”这样的事可能吗？

这是可能的。这个人的生日是元月2日。他说话时是今年12月31日。这样一来。他

去年元旦时是19岁，1月2日20岁，今年元月1日还是20岁，元月2日21岁，明年元月

2日就是22岁了。

例5 有一家祖孙三人正好同一天生日。这一天他们的年龄加起来正好100周岁。又

知道祖父的岁数正好等于孙子过的月数，父亲过的星期数恰好等于他儿子过的天数。请你算

一算祖孙三人各有多少岁？

这道题只要弄清“岁数”、“月数”、“星期数”、“天数”的关系，就可以找到解

题线索。

祖父的岁数正好等于孙子过的月数，而一年有12个月，所以祖父的年龄是孙子的12

倍。父亲过的星期数恰好等于他儿子过的天数，所以父亲的年龄是儿子的7倍。

由此可知，如果把孙子的年龄作为1份的话，那么父亲就占7份，祖父占12份。于是

可以得到：孙子的年龄：100÷（1＋7＋12）＝100÷20＝5（岁）；父亲的年龄：5×7＝35

（岁）；祖父的年龄：5×12＝60（岁）。

3、生活中的长方体和正方体

长方体和正方体在我们四周随处可见，而它们的表面积也运用得十分广泛。如，在你家

里地上铺地砖、木地板，在墙上刷的白漆，用玻璃做一个长方体的大鱼缸等等，都需要用上

长方体、正方体的表面积。可是，在生活中该如何运用长方体和正方体的知识呢？

大家恐怕都知道，长方体表面积是“长×宽×2+宽×高×2+长×高×2”，正方体表面积是“棱长

×棱长×6”。但是在生活中可不能就这样生搬硬套，因为书上告诉你的是一般情况，生活中

不是这样，有时，可能不用六个面全算。比如，让你给教室刷漆，人们常识性的只会刷上、

左右、前后五个面，而你把公式套上去后，就可能连地面也给刷了，这个要注意。下面还有

一个实例。

健身中心新建一个游泳池，该游泳池的长50m，宽20m，深2.5m（也就是公式中所说的

高），现在让你贴上瓷砖，需要多少瓷砖？

首先，咱们得分析这道题，当然，最好的方法是联系生活实际，展开想象。既然是游泳

池，肯定要求底面积，那就用长×宽求得底面积，大家可能会奇怪，为什么不铺上面呢？因

为上面是水，铺上的话就不叫游泳池了。四周肯定也要铺，用宽×高×2+长×高×2就得出需

要铺多少平方米的地砖了。所以，其最终结果是1625平方米的地砖。还要注意地砖和游泳

池面积的平方米是否一致，不一致还要换算单位。所以说，在解决实际问题时，正方体和长

方体的表面积公式只是“半成品”，这其中的很多情况是需要你仔细思考的。

4、生活中的几何图形

曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个端点就是家和学校。每天清晨，在紧张的自行

车铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一天的学习旅程；傍晚，伴随着“回家”的

萨克斯乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书包回家。

随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是个多边形，复杂而又丰富。

果园里，灿烂的桃花，娇艳的杏花，雪白的梨花下，不时传来银铃般的欢笑声，我们的身影

与花相映，人比花娇，花比人艳。恩，生活是个三角形！

书城里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部长方形的“大块头”都是我的挚爱。啊，生活

还是个四边形！

田野里，和朋友们一起嬉戏，捉蝴蝶，听虫鸣，赏花开……这时，我忽然感到：生活是五角

形、六边形……

在这么多形状中，我最喜欢圆形。

圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，最富有人情味，最富有诗意的图形。

我追求完美。什么事都要求尽善尽美，就像圆一样。所有学科我都要争做第一，语、数、外，

理所当然，甚至就连女孩子们最怕的体育我也要一争高下。

我富于想象、创造。每一道数学思考题我都想别出心裁，都想得出与老师不一样的解决方法，

就像圆一样，一个圆心，无数的半径。因为只有不停地想象，不断地创新，我们的未来才更

宽广！

我广交朋友。“手拉手”的小伙伴，我有一大堆。陕西、昆明，都有我的朋友，每到属于我

们的节日，我们都会给对方一份真挚的祝福，即使远在天涯海角。“海内存知己，天涯若比

邻”，就像圆心与圆上的点一样，心心相印。

“但愿人长久，千里共婵娟”，人们祈盼团圆，追求团圆；“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，

此事古难全。”人不可能事事圆满，就像圆心是固定的，而半径是无穷的，是要我们自己去

努力拓展的。

让我们用无限的半径去画出属于我们自己的圆吧！朋友，相信你一定能成功！

5、买西瓜的学问

1个大西瓜 vs. 3个小西瓜

去年夏天某日，一个卖西瓜的人在不停地叫喊着：“1个大西瓜10元钱，买3个小的

也是10元钱。”这时过来一位细心的顾客，他拿了两种西瓜，目测大西瓜直径约8寸，小

西瓜直径约5寸。

可是他也犯了难，到底买哪种更合算呢？

让我们来帮帮他吧！

首先，我们从体积上来比一比，球的体积公式是4/3

πr

3，或1/6

πD

3。

r

是半径，

D

是直径。

求它们体积比时，可省去1/6和

π

。因此，

大西瓜体积∶3个小西瓜体积之和

＝[8×8×8]∶[(5×5×5)×3]

＝512∶375

由此可见，买3个小西瓜是很吃亏的。

1个大西瓜 vs. 4个小西瓜

那么，假如再多给你一个小西瓜即一共4个，你会买大西瓜还是小西瓜呢？

这时从体积上看两种情况相差不多了。但如果考虑瓜皮的多少，还是买大西瓜合算。这

是由于球的表面积公式为

πD

2，所以，

大西瓜的表面积∶4个小西瓜的表面积之和

＝[π×8×8]∶[(π×5×5)×4]

＝64∶100

由此可知，4个小西瓜合在一起的瓜皮，几乎比大西瓜的瓜皮多一倍。所以综合起来考

虑，还是买一个大西瓜合算。

6、最小公倍数在生活中的应用

以前，小明一直以为学了最小公倍数这种知识枯燥无味，整天和求几和几的最小公倍数

这样的问题打交道，真是烦死人，总觉得学习这些知识在生活中没有什么用处。然而，有一

件事却改变了他的看法。

有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少年宫。他们俩坐的是3号车，快要出发的时候，

1号车正好和他们同时出发，此时爸爸看着这两辆车，突然笑着对他说：“小明，爸爸出个

问题考考你，好不好？”小明胸有成竹地回答道：“行！”“那你听好了，如果1号车每3分钟

发车一次，3号车每5分钟发车一次。这两辆车至少再过多少分钟后又能出发呢？”稍停片

刻，小明说：“爸爸你出的这道题不能解答。”爸爸疑惑不解的看着他：“哦，是吗？”“这道

题还缺一个条件：1号车和3号车起点是同一个地方。”爸爸听了他的话，恍然大悟地拍了

一下脑袋，笑着说：“我也有糊涂的时候，出题不够严密，还是小明想得周全。”小明和爸爸

开心地哈哈大笑起来，此时爸爸说：“好，现在假设在同一个起点站，你说有什么方法来解

答？”小明想了想脱口而出“15分钟，因为3和5是互质数，求互质数的最小公倍数就等于

这两个数的乘积（3×5＝15）所以15就是它们的最小公倍数。也就是这两辆车至少再过15

分钟同时出发。”爸爸听了夸奖道：“答案正确！100分。”“耶！”听了爸爸的话，小明高兴地

举起双手。

从这件事中小明就懂得了一个道理：数学知识在生活中无处不在。

7、充满数学的旅途

爸爸和聪聪一块到一个城市旅游，他们来到长途汽车站。车出站没多久，就已经通过9

公里指示牌。爸爸指一指那匆匆后移的计程牌对聪聪说：“在你已经看到的1，2，…，9这

9个数字中，任取8个随意排列都可组成一个8位数。在这许许多多8位数中，有些能被12

整除，有些则不能。你能在所有那些可被12整除的8位数中写出最大的和最小的吗？”

聪聪起初感到无从下手，但冷静一想，只用了一些算术知识就解决了。下面我们一块来

看看聪聪的解决思路吧。

聪聪注意到以下4件事：第一，数被12整除的条件是它既被3整除，也被4整除；第

二，数被3整除的条件是：它的各位数字之和被3整除；第三，数被4整除的条件是它的十

位和个位所成的两位数被4整除；第四，在1，2，…，9这9个数码中取定几个用种种次序

排列而组成的多位数，要求这个多位数最大，则大的数字应尽可能放在高位；反之，要求这

个多位数最小，则小的数字应尽可能放高位。

由于1，2，…，9这9个数字之和是45，弃去3，6或9以后所剩8个数字之和都可被

3整除。于是，弃去最小的3，再从大到小排列并调整最后两位的位置，使之所成的两位数

能被4整除，即得符合爸爸要求的最大的8位数98765412。类似地，弃去9再从小到大排

列并使最后两位所成的两位数能被4整除，得到最小的12345768。

8、突破习惯思维的束缚

有些问题用我们习惯思维的方式似乎是难以解决的，如果我们能突破常规去思考，就能使思

维“豁然开朗”，而使问题迎刃而解。请看下面的例子。

图1-1中有9个点，试—笔画出4条直线，把这9个点连接起来（从何处起头都行，直线可

以交叉，但不能重合）。

一笔画出4条直线，难以穿过9个点。这是由于我们不易想到将直线延伸到9个点的范围界

限之外。如果能突破这种习惯思维方式的束缚，则如图1-2便可一笔画出4条直线使之通过

这9个点。

图1-1 图1-2

下面我们看这个问题，在一张纸上，挖击一个直径为2厘米的圆（如图17一12），并要让

您将一块直径为3厘米的硬币穿过去。你觉得这可能吗？应该怎么做？

答案

我们只需将这张纸沿着圆的一条直径折起来（如图1-3），再将半圆弧ACB拉直成线段ACB

（如图1-4），则线段ACB的长为厘米，而>3，故可将直径为3厘米的硬币穿过去。

图1-3 图1-4

9、戏说颠倒

浙江有两个县，一个是观钱塘潮的胜地海宁，另一个则是距离它不远的宁海。它们名称中的

两个汉字正好互相颠倒！这种现象在外国地名中恐怕是绝无仅有的。其实中国这种现象还不

是个别的，比如西安－安西（甘肃西部），武宁（江西）－宁武（山西），子长（陕西）－

长子（山西），丰南（河北）－南丰（江西，有特产南丰蜜桔）。在我国几千个县里，类似

这样的例子还不少。

不少书法爱好者知道汉字里有“颠倒十三太保”的说法。原来，有13个常用字，把它们上

下颠倒过来看，仍然是一个汉字，有些甚至和原来的字一模一样。这13个字就是：一，十，

中，田，王，由，甲，口，日，士，干，非，車。它们的形状是完全对称的。当然如果你把

“車”写成简体的“车”，一颠倒，就不是什么字了。

由此联想到现在全世界通用的阿拉伯数字，其中也可以分为三类：

第一类是上下颠倒后保持原状的，它们是：0，1，8。

第二类是上下颠倒后互相转换的，例如：6和9。

第三类是颠倒后，面目全非的，例如2，3，4，5，7。

另外，许多画家对颠倒头像也十分感兴趣，常有名作问世。下面是一个愁眉苦脸的男人，大

概遇到什么不开心的事。不过你不用替他着急，只要把图形颠倒过来一看，他又变得眉开眼

笑了。与颠倒图形相比，转成直角的风景或动物插图更难构思。下面的另一幅图片就是一幅

名作，叫“鸭变兔”。你把图片顺时针转90°看看？

10、十五的诀窍

当一个农村集市开张时，除了耕牛，所有的人都很兴奋。

今年，王财主开办了一个叫“十五”的新游戏，他说：“村民们请留步，游戏的规则非常简

单。我们只是把硬币放在这些1至9的数字上，谁先放都无所谓。你们放铜币，我放银币。

谁先放了三个相加等于15的不同数字，谁就可得到案子上所有的钱。”

让我们看一个典型的玩法。一位妇人先把一枚铜币放在7上。由于7已被放上，其他人就不

能再放了。对其它数字也是如此。王财主把一枚银币放在8上。妇人下一次将把铜币放在2

上，这样再放一次6，三个数字相加为15，就可以赢了。但王财主把一枚银币放在6上，破

坏了她的打算。下一次他放在1上就可以赢了。妇人看出了这一威胁，先把一枚铜币放在1

上破坏王财主的赢势。王财主将下一枚银币放在4上时暗自得意。妇人看到他下一次放在5

上就会赢，还得再破坏他。于是她把铜币放在5上。但王财主放在3上也赢了。因为8+4+3=15。

可怜的妇人输掉了4个硬币。

镇长先生觉得这个游戏很有意思。经过长时间的观察，他断定王财主利用了一种秘密系统，

使他不可能输，除非他想输。

解决此游戏的诀窍在于认识到这在数学上等同于划井游戏。为欣赏这一魔方的奇妙．让我们

列出三个不同数字（除0外）相加等于l5的表，一共有8组：

1+5+9=15

1+6+8=15

2+4+9=15

2+5+8=15

2+6+7=15

3+4+8=15

3+5+7=15

4+5+6=15

现在仔细观察独特的3—3数字魔方：

2 9 4

7 5 3

6 1 8

注意共有8行：3组横行，3组纵行，2组斜行。每一行确定的3组数字之和均为15。因此，

每一个赢的组合都是魔方中的一横、一纵或一斜行。现在很容易看出，每次游艺比赛实际上

相当于划井游戏，谁先把自己的棋子占满一横、一纵或一斜行，谁就取胜。

在进行15游戏时，如果玩得正确就不会输。如果两个对手都玩得正确，则游戏结果就是平

局。然而设盘者的对手由于不知道是在玩划井游戏，因而处于十分不利的地位。这就使设盘

者很容易设置对己有利的骗局。

比如：

11、伸手指说数

下课了，同学们经常会玩一种伸手指说数的游戏。这种游戏规则是这样的：两人各伸出一只

手，一只手只有5个指头，任意出几个指头。一边出手，一边说数，如果谁说的数正好等于

两个人伸出的指头数的和，谁就算赢。有人认为，这完全没有规律，赢都是靠运气，双方赢

的机会相同。其实，仔细分析，其中还和学过的数学知识密切相关呢。

下面先分析甲出0时的情况，乙可能出0、1、2、3、4、5，和就是乙出的手指数；

甲出1时，乙可能出0、1、2、3、4、5中的任意一个，出不同的手指，和也不同，最后的

和是乙每次出的手指数加1。

甲乙两人手指的组合形式，还有以下24种：

甲出2，乙出0、1、2、3、4、5，和是2、3、4、5、6、7；

甲出3，乙出0、1、2、3、4、5，和是3、4、5、6、7、8；

甲出4，乙出0、1、2、3、4、5，和是4、5、6、7、8、9；

甲出5，乙出0、1、2、3、4、5，和是5、6、7、8、9、10。

从上面我们可以看出，在这些组合中，指头和为0、10的情况各一种；和为1、9的各两种；

和为2、8的各3种；和为3、7的各4种；和为4、6的各5种，和为5的共6种。可见，

和为5的组合最多，也就是说，说5赢的机会相对较多。因为不管对方出几个指头，你都可

以和它凑成和为5。除此之外说别的数则不然，比如说2，对方要出2个以上指头，你怎么

出也不行；再如说8，对方要出8个以下指头，你怎么也无济于事。

你看，数学到处都有，只要你留心，在你的身边处处都可以用到数学知识。

12、丢番图 vs 齐天大圣

话说唐三藏四人从西天取经回来后，孙悟空就过着山大王的日子。有一天，悟空觉得

非常无聊就出去玩，路过一个墓园，忽然听有个人在叫他，就连忙回头，他看见一个长着翅

膀的老人便问：“您是谁？为什么叫我？”老人回答道：“我是希腊数学家丢番图，我是上

帝的信使，大圣可知我有多少岁吗？你要能答出来，我就带你去见上帝！”孙悟空听了高兴

得不得了，便说：“好啊，好啊，俺老孙出世五百多年了还从没见过上帝呢！好吧，出题吧！”

话音刚落，他们一下来到了丢番图的墓碑前，上面写道：他生命的六分之一是幸福的童年；

再活十二分之一，唇上长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，

他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛

活了四年，也与世长辞了。

同学们，这是一道刻在墓碑上的难题，许多年来吸引了不少数学爱好者，你们也来算

一算吧！

答案：

方法一： 丢番图寿84岁。由题意，他的岁数应是6、12、7、2的公倍数，而这些数的最小

公倍数是84，因为人的年龄目前没有达到168岁的，所以他的岁数是84岁。

方法二：设丢番图寿X岁。列方程：X/6+X/7+X/12+5+X/2+4=X 解得：X=84

方法三：（5+4）/（1-1/6-1/7-1/12-1/2）=84

巧解分数加法

一道计算题：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128，你会怎么来做呢？

答案：

一般解法：先将算式中的每个加数通分，然后根据同分母分数加法的计算法则进行计算：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=64/128+32/128+16/128+8/128+4/128+2/128+1/128=1

27/128。可这种算法太麻烦了，有没有其它简便点的方法呢？

巧妙的解法：在算式的后面加上1 /128，则1 /128+1 /128=1/64，1/64+1/64=1/32，

1/32+1/32=1/16，1/16+1/16=1/8，1/8+1/8=1/4，1/4+1/4=1/2，1/2+1/2=1，即最终的结果

为1，所以原式等于1减1/128的差，即127/128。

13、乐乐球里的数学

小舒看电视里做的乐乐球的广告，觉得乐乐球挺有意思，就跟爸爸妈妈说，她想要玩

乐乐球。

星期天，爸爸带小舒到玩具店买回了乐乐球。回到家，她急忙打开塑料袋，拿出来玩。

可拿出记分卡后，她愣住了。心里想：“这怎么记分呀？”只见记分袋里装的是写着这样一

些数的8张卡片：1、2、2、5、10、10、20、50。小舒急得喊：“爸爸，快来呀。”“干什

么？”爸爸说着走过来。小舒指着卡片说：“你看这怎么记分呀？一次得1分，可就这么几

张卡片也不够啊，是不是这袋子里装错了？我们快去商店换吧。”爸爸不紧不慢地说：“没

有错，可以记的，你再仔细看看动动脑筋。”

小舒皱起眉头，把8张卡片放在桌子上，看着，一会儿又动手摆了起来。突然眼睛一

亮：“对了，爸爸我知道了。”小舒说：“你看，得1分时用1，得2分时把1拿回换上2，

得3分时再加上1，得4分时拿回1，换上2，…… 这样用这8张卡片可以记100以内的所

有分数，真有意思。”小舒高兴了。爸爸说：“那我考考你，48分怎么记？”小舒拿起1

张写着20的卡片，又拿起2张写着10的卡片，说：“这就是40。”说完又拿起写着数字5、

2、1的3张卡片说：“这些放在一起不就是48了吗。”爸爸笑了。

14、涂色的正方体

通过学习，大家知道什么是长方体和正方体的表面积，也知道了怎么求表面积。不过

下面的问题不是和求面积相关的，我们换个角度来考考你对正方体的认识。

一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。

在这些小正方体中：

（1）三个面涂有红色的有多少个？

（2）两个面涂有红色的有多少个？

（3）一个面涂有红色的有多少个？

（4）六个面都没有涂色的有多少个？

下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。

（1）三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以

三个面涂有红色的有8个。

（2）两个面都涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，

所以两个面涂有红色的有8×12=96个。

（3）一个面都涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有

6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。

(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：

1. 1000－8－96－384=512（个）；

2. 8×8×8=512（个）。

15、失踪的正方形

同学们一定看过刘谦表演的魔术，今天老师也给你们表演一个数学小魔术。请同学们一起参

与进来。

在一张正方形纸板上，按图一画上7×7=49个小正方形，然后沿图示直线剪切成5个小块。

当你按照图二将这5小块纸板重新拼起的时候，你会发现不可思议的事情发生了：中间居然

出现了一个洞！图一的正方形是由49个小正方形组成的。图二中却只有48个小正方形。哪

一个小正方形没有了？它到哪儿去了？

魔术揭秘：

原来5个小块图形中最大的两块2和3对换了一下位置以后，被那条对角线切开的每个小正

方形都变得高比宽大了一点点。这就意味着这个大正方形已经不再是严格的正方形，它的高

增加了，从而使得面积增加了，所增加的面积恰好等于这个方洞的面积。

16、倒推转化巧拿硬币

听说过拿硬币游戏吗？如果没听过，就先来熟悉一下拿硬币游戏的规则吧！拿硬币游戏是一

个两个人玩的游戏，要求每个参加者轮流拿走若干硬币，谁拿到最后一枚硬币谁就算赢。下

面我们来实际进行一次拿硬币的游戏。

游戏1：桌上放着15枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干枚。规则是

每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得全部15枚硬币。

游戏开始了，你一定在想：有没有能保证你赢的办法呢？若有，这办法又是什么呢？现在你

把自己想象成处于即将赢的状态，该你取硬币了，而且桌面上硬币恰好不超过5枚，这时，

你可以一次拿走桌上的所有硬币，成为赢者。现在，你能不能从这样的终点状态往前推，找

出一个状态，使得只要你的对手处在这一状态，那么无论他拿走几枚硬币，你都会处于理想

的获胜状态？不难发现，如果你的对手处于桌面有6枚硬币的状态，那么无论他拿走几枚（从

1枚到5枚）硬币，桌上都会剩下至少1枚至多5枚硬币，这样胜利一定属于你。也就是说，

谁拿走第（15－6＝）9枚硬币，谁将获胜。于是，游戏1获胜情况就与下面游戏2结果相

同。

游戏2：桌上放着9枚硬币，两个游戏者(你和你的一位同学)轮流取走若干个。规则是每人

每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。

由对游戏1的倒推分析，我们不难知道，游戏2的获胜情况与下面游戏3结果相同。

游戏3：桌上放着3枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每

人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。

在游戏3中，你只要第一个从桌上拿走3枚硬币便可赢。可见，你要在游戏1中取胜，只要

第一个取走桌面上的3枚硬币便一定能赢。

想一想：利用上面的最佳战略方法和你的小朋友做下面的游戏：桌上放30枚硬币，两个游

戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每人每次至少取2枚，至多取6枚，谁

拿到最后一枚谁就赢得全部30枚硬币。

相信你，准赢。

17、乌鸦喝水的秘密

我们知道，长方体的体积等于长乘以宽再乘以高，正方体的体积等于棱长的立方。可是

你想过没有，要想知道一只鸡蛋的体积是多少，应该怎么来求？

面对这个问题，你或许会一筹莫展，因为鸡蛋的外形不规则，没有现成的公式可用。

其实，这个问题也很简单。《乌鸦喝水》这篇文章你一定读过。乌鸦发现瓶子里有水，

但是瓶口太小，水面又太低，怎么办呢？聪明的乌鸦发现周围有小石子，于是衔来石子，放

入瓶中。每放进一块小石子，水面就会上升一次；投进的石子体积越大，水面上升得就越高。

这是因为投入的石子有“体积”，要占据一定的空间，于是，它就把与它体积相等的水“挤”

上去。也就是说，被“挤”上去的水的体积恰好等于投进石子的体积。

石头的体积难以求出，那是因为它的形状很不规则。如果我们能计算出被它“挤”上去的

水的体积，那么事情就好办多了。只要我们用一个长方体器皿，就很容易算出被“挤”出来的

水的体积了。

假设这个长方体器皿底面是边长4厘米的正方形，放入石头后水面上升了2厘米，那么，

石头的体积是4×4×2＝32（立方厘米）。到这里，你一定会高兴地叫起来：“那我也会求鸡蛋

的体积了。”

乌鸦的聪明之处，在于它借助小石子，使瓶中的水面上升，从而喝到了它想喝的水。

人类的聪明之处，在于从乌鸦喝水想出了“等量代换”的妙计。

18、数学与音乐

音乐是心灵和情感在声音方面的外化，数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物。那么，

“多情”的音乐与“冷酷”的数学也有关系吗?我们的回答是肯定的。甚至可以说音乐与数学是

相互渗透，互相促进的。

孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，其中“乐”指音乐，“数”指数学。即

孔子就已经把音乐与数学并列在一起。我国的七弦琴(即古琴)取弦长l，7/8，5/6，4/5，

3/4，2/3，3/5，1/2，2/5，1/3，1/4．1/5，1/6，1/8得所渭的13个徽位，含纯率的1度

至22度，非常自然，足很理想的弦乐器。我国著名古琴家查阜西早就指出，要学好古琴，

必须对数学有一定素养。

世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则、形式和结构，有位研究肖

邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。

数学的抽象美，音乐的艺术美．经受了岁月的考验，相互的渗透。如今，有了数学

分析和电脑的显示技术，眼睛也可辨别音律，成就是多么激动人心啊!对音乐美更深的奥秘

至今还缺乏更合适的数学工具加以探究，还有待于音乐家和数学家今后的合作和努力。

19、规矩与方圆

我国考古学者曾发掘出公元2世纪汉朝的浮雕像，其中有女娲手执规，伏羲手执矩的图像。

在司马迁所写的《史记》中，也提到夏禹治水的时候“左准绳（左手拿着准绳）”，“右规

矩（右手拿着规矩）”。在甲骨文里，就发现有规和矩这两个字。其中规字很像一个人手执

圆规在画图，矩字像两个直角，可以说极尽象形文字之妙。

“规”，就是圆规，是用来画圆的工具；“矩”很像现在的直角尺，是用来画方形的工具。

正如俗话所说：“不以规矩不能成方圆。”

据数学史家考证，人类最早是用树杈来画圆的。这种原始圆规由于半径固定不变，只能画一

种大小的圆。因为圆有许多重要的性质，人类很早就认识了圆，使用了圆。

把车轮做成圆形的，是因为圆周上的点到圆心的距离相等，车子行驶起来平稳；还因为圆轮

在滚动时摩擦力小，车子走起来省力。

把碗和盆做成圆形的，一方面是圆形物体制作起来比较容易，又没棱没角不易损坏；另一方

面是用同样大小的材料作碗，数圆形的碗装东西最多。

把桶盖和下水道盖做成圆形的，是因为圆形的盖子，不管你怎样盖法都不会掉进里面去。而

方形和椭圆形的盖子。盖得不合适，就会掉进去。

有的拱形门和屋顶做成半圆形的，是因为圆形拱门抗压能力强。

20、充满数学的旅途

爸爸和聪聪一块到一个城市旅游，他们来到长途汽车站。车出站没多久，就已经通过9

公里指示牌。爸爸指一指那匆匆后移的计程牌对聪聪说：“在你已经看到的1，2，…，9这

9个数字中，任取8个随意排列都可组成一个8位数。在这许许多多8位数中，有些能被12

整除，有些则不能。你能在所有那些可被12整除的8位数中写出最大的和最小的吗？”

聪聪起初感到无从下手，但冷静一想，只用了一些算术知识就解决了。下面我们一块来

看看聪聪的解决思路吧。

聪聪注意到以下4件事：第一，数被12整除的条件是它既被3整除，也被4整除；第

二，数被3整除的条件是：它的各位数字之和被3整除；第三，数被4整除的条件是它的十

位和个位所成的两位数被4整除；第四，在1，2，…，9这9个数码中取定几个用种种次序

排列而组成的多位数，要求这个多位数最大，则大的数字应尽可能放在高位；反之，要求这

个多位数最小，则小的数字应尽可能放高位。

由于 1，2，…，9这9个数字之和是45，弃去3，6或9以后所剩8个数字之和都可被

3整除。于是，弃去最小的3，再从大到小排列并调整最后两位的位置，使之所成的两位数

能被4整除，即得符合爸爸要求的最大的8位数98765412。类似地，弃去9再从小到大排

列并使最后两位所成的两位数能被4整除，得到最小的12345768。

21、某一天是星期几

历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这个问题，有很多计算公式

（两个通用计算公式和一些分段计算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即

w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26（m+1）/10]+d-1

公式中的符号含义如下，w：星期；c：世纪；y：年（两位数）；m：月（m大于等于3，

小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003

年1月1日要看作2002年的13月1日来计算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整数部分。

相比于另外一个通用通用计算公式而言，蔡勒（Zeller）公式大大降低了计算的复杂度。

为节约篇幅，本文中对另外一个通用通用计算公式不作讨论（读者感兴趣的话，可以参见杭

州14中网站上的相关内容）。

不过，笔者给出的通用计算公式似乎更加简洁（包括运算过程）。现将公式列于其下：

W=[y/4]+r（y/7）-2r（c/4）+m'+d

公式中的符号含义如下，r （ ）代表取余，即只要余数部分；m'是m的修正数，现给

出1至12月的修正数1'至12'如下：（1'，10）=6；（2'，3'，11'）=2；（4'，7'）=5；5'=0；6'=3；

8'=1；（9'，12'）=4（注意：在笔者给出的公式中，y为闰年时1'=5；2'=1）。其他符号与蔡

勒（Zeller）公式中的含义相同。

以2049年10月1日（100周年国庆）为例，分别用蔡勒（Zeller）公式和笔者给出的

公式进行计算，过程如下：

蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26（m+1）/10]+d-1

=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× （10+1）/10]+1-1

=49+[12.25]+5-40+[28.6]

=49+12+5-40+28

=54 （除以7余5）

笔者给出的公式： w=[y/4]+r （y/7）-2r（c/4）+m'+d

= [49/4]+r （49/7）-2r（20/4）+10'+1

=12+0-2×0+6+1

=19 （除以7余5）

即2049年10月1日（100周年国庆）是星期5。

你的生日（出生时、今年、明年）是星期几？不妨试一试。

另外，用笔者给出的公式，只需稍加训练 ，即可用心算（而用蔡勒公式进行心算是非

常困难的）。

若只具体到某一年来进行计算就更为简单，比如说2003年，先用笔者给出的公式计算

出前3项，不妨称之为年修正数，简记为Y2003 '=3，我们在计算2003年的某一天（比如说

是六一儿童节）是星期几时，直接将前3项一次代入，则w= Y2003'+6‘+1=3+3+1=7（除以

7余0），即2003年6月1日是星期日。

顺便给出未来几年的年修正数：Y2004'=5；Y2005 '=6；Y2006 '=0；Y2007 '=1；Y2008 '=3；

Y2009 '=4；Y2010 '=5.其他年的修正数请用笔者所给公式的前3项自己计算。

不过，以上两个公式都只适合于1582年10月15日之后的情形（当时的罗马教皇将恺

撒大帝制订的儒略历修改成格里历，即今天使用的公历）。

比较： 蔡勒（Zeller）公式 笔者所给公式

1、公式项数 7 5/4

2、运算次数 12（7次加减，5次乘除） 9（4次加减，4次乘除，1次映射）/6

3、运算过程最大数 390 31

4、总项最大数 163 67

5、对1、2月的处理 任何一年均要作特殊处理 仅闰才作特殊处理

1、2注释：对于20**年（包括16**年，24**年等），由于笔者所给公式的第3项为0，

实际上在计算这些世纪时公式仅有4项、相应地运算次数只有6次。

22、猫捉老鼠

问题：如果3只猫在3分钟内捉住了3只老鼠，那么多少只猫将在100分钟内捉住100

只老鼠?

这是一个古老的趣题，常见的答案是这样的：如果3只猫用3分钟捉住了3只老鼠，那

么它们必须用1分钟捉住1只老鼠。于是，如果捉1只老鼠要花去它们1分钟时间，那么同

样的3只猫在l00分钟内将会捉住100只老鼠。

遗憾的是，问题并不那么简单。刚才的解答实际上利用了某个假定，它无疑是题目中所

没有谈到的。这个假定认为这3只猫把注意力全部集中于同一只老鼠身上，它们通过合作在

1分钟内把它捉住，然后再联合把注意力转向另—只老鼠。

但是，假设3只猫换一个做法，每只猫各追捕1只老鼠，各花3分钟把它们捉住。按照

这种设想，3只猫还是用3分钟捉住3只老鼠。于是，它们要花6分钟去捉住6只老鼠，花

9分钟捉住9只老鼠，花99分钟捉住99只老鼠。现在我们面临着一个计算上的困难，同样

的3只猫究竟要花多长时间才能捉住第100只老鼠呢?如果它们还是要足足花上3分钟去捉

住这只老鼠，那么这3只猫得花l02分钟捉住102只老鼠。要在100分钟内捉住100只老鼠

──这是题目关于猫捉老鼠的效率指标，我们肯定需要多于3只而少于4只的猫，因此答案

只能是需要4只猫，虽然这有点浪费。

显然，对于3只猫是怎样准确地计算猫捉老鼠这种行动的时间，这个趣题没做任何交代。

因此，如果允许答案不唯一，那么，答案可以是丰富多彩的，3只、4只、甚至更多。如果

要求答案唯一的话，这个问题的唯一正确答案是：这是一个意义不明确的问题，由于没有更

多关于猫是怎样捕捉老鼠的信息，因此无法回答这个问题。

这个简单的趣题启示我们，在解答一个数学问题（也包括其他问题）前，一定要仔细领

会题目所给出的全部信息，既不要曲解题义，也不要人为添加条件以迎合所谓的标准答案。

当然这个趣题也给了我们一个有益的人生启示──只有合作才能产生最佳的工作效益。

23、一杯豌豆

你常能看到豌豆，手里也常拿着一只玻璃杯，这两样东西的大小尺寸你一定都很清楚。

现在，设有一个玻璃杯，装满了豌豆。把一个个豆粒用线串接起来，象项珠一样。

如果把这根串有豆粒的线拉直，它大约会有多长？

答案：

如果只凭眼力估量，很可能得不到正确的答案，也许还会错得很厉害。得进行一下计算，

哪怕是大略的计算也好。

豌豆粒的直径约为1／2厘米。在一立方厘米的立方体中可以至少容纳2x2x2＝8粒豌豆

（如果压紧，可能还会多些）一只容量为250立方厘米的玻璃杯至少将能容纳8x250＝2000

粒。如果把它们一个挨一个地穿到线上，所达长度将为：1／2x2000＝1000厘米，即10米

之多！

24、农夫过河

从前，一个农夫带了一只狗，一只兔子和一棵青菜，来到河边，他要把这三件东西带过

河去。那儿仅有一只很小的旧船，农夫最多只能带其中的一样东西上船，否则就有沉船的危

险。

刚开始，他带了菜上船，回头一看，调皮的狗正在欺侮胆小的兔子。他连忙把菜放在岸

上，带着狗上船 ，但贪嘴的兔子又要吃鲜嫩的青菜，农夫只好又回来。他坐在岸边，看着

这三件东西，静静地思索了一番，终于想出了一个渡河的办法。小朋友，你知道农夫是怎么

做的吗？

答案分析

狗要咬兔子，兔子要吃青菜。所以，关键是要在渡河的任何一个步骤中，把兔子和

狗，兔子和青菜分开，才能免受损失。 农夫可以先带兔子到对岸，然后空手回来。第二步，

带狗到对岸，但把兔子带回来。第三步，把兔子留下，带菜到对岸，空手回来。最后，带兔

子到对岸。这样三件东西都带过河去了，一件也没有遭受损失。

25、排座位

有人邀请了三对夫妻来吃午饭，安排大家（包括主人自己和妻子）围绕圆桌就座时，

想让男女相间而又不使任何一位丈夫坐在自己妻子旁边。

问：这样就座可以有几种方法？假如只注意各人座位的顺序，而不把同样顺序但坐在

不同地方的方法数计算在内的话。

选自《趣味思考题》

答案：让丈夫们坐好，把他们的妻子安排在他们每人的身边，这种坐法显然共有

6种（而不是24种，因为我们考虑的只是位置的顺序）。现在，让每个丈夫留在自己原位，

把第一位夫人换到第二位的座位上，把第二位夫人换到第三位的位置上，等等，直到第四位

的位置上，而把第四位夫人换到第一位的位置上。这样坐法符合题意的要求，即丈夫不坐在

自己夫人旁边。这种坐法也有6种，其中每种都可使夫人继续向前移一个位置，这就又得到

6种可行的方案。但再想使夫人们调换座位就不可能了，否则的话，夫人们就该同他们的丈

夫坐在一起了，只不过是换了一个方向而已。

因此，各种可能的就座方案共是6＋6＝12个。下面我们用罗马数字（从I到Ⅳ）代

表丈夫，用阿拉伯数字代表夫人（也是1到4），做成下表，这样，一切就很清楚了。前6

种排列方法是：

Ⅰ4 Ⅱ1 Ⅲ2 Ⅳ3

Ⅰ3 Ⅱ4 Ⅲ1 Ⅳ2

Ⅰ2 Ⅲ1 Ⅳ3 Ⅱ4

Ⅰ4 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅱ3

Ⅰ3 Ⅳ1 Ⅱ4 Ⅲ2

Ⅰ2 Ⅳ3 Ⅱ1 Ⅲ4

其他6种排法也一样，只不过男女所坐位置顺序相反而已。

26、钻石大盗

大仲马（AlexandreDumaspere，1802-1870，著名法国作家。作品有《基督山伯爵》和《三

个火枪手》等。）在一篇描写一桩离奇偷盗案件的小说里，提到过一个首饰匠。此人曾偷过

许多贵夫人的珍贵宝石，他的办法是用赝品冒充或者改宝石的位置，即使是少了几颗宝石也

叫你难以察觉。

为了说明这个恶棍的卑劣行径，让我们看一看图中那枚镶有25颗钻石的古代别针。持

有这件无价之宝的贵妇人平日里总喜欢点数别针上的钻石，从上往下数到中央，然后向左、

向右和向下数下去，这三种情况下的答数都是13。

这位贵妇人之所以犯错误，不仅在于她相信那个首饰匠会把她的别针修好，还在于她无

意中透露了点数钻石的方式。交还首饰时，首饰匠彬彬有礼地当面点给她看。岁月流逝，贵

妇人依旧像往常一样，用这三种方式点数他的钻石，每回的答数都是13。她丝毫不觉有异，

但别针上两颗最好的钻石还是被偷走了。

试问：这个狡猾的骗子用什么手法改变钻石的排列以掩盖他的罪行？

27、城堡中的珍宝

妈妈把一大块巧克力放在桌子中央小敏、小慧都抢着要吃巧克力。妈妈说：“要吃巧克

力不难，但得动点脑筋”。说着，她又拿出一大把钮扣，放在巧克力四周“今天，我们做个游

戏，巧克力好比是‘珍宝’，外面钮扣围成的是‘城堡’，谁能先把城堡拆除干净，谁就能得到

珍宝。”妈妈还详细地给他们讲了游戏方法：

1.两人轮流掷骰子，掷得几，就拿掉几粒钮扣。

2.谁掷得的点数正好与最后剩下的钮扣数相同，谁赢得“珍宝”。

3.如果小敏掷得的骰子数是5，而剩下的只有3粒钮扣，他不但得不到“珍宝，”还得再

放2粒钮扣到“城堡”上。

究竟谁能幸运地得到城堡中的珍宝呢？小朋友，你来争取吧

28、检票问题

旅客在车站候车室等候检票，并且排队的旅客按照一定的速度在增加，检票速度一定，

当车站开放一个检票口，需用半小时可将待检旅客全部检票进站；同时开放两个检票口，只

需十分钟便可将旅客全部进站，现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内旅客全部检票

进站，问此车站至少要同时开放几个检票口？

分析：

（1） 本题是一个贴近实际的应用题，给出的数量关系具有一定的隐蔽性。

仔细阅读后发现涉及到的量为：原排队人数，旅客按一定速度增加的人数，每个检票口

检票的速度等。

（2） 给分析出的量一个代表符号：设检票开始时等候检票的旅客人数为x人，排队队

伍每分钟增加y人，每个检票口每分钟检票z人，最少同时开n个检票口，就可在5分钟旅

客全部进站。

（3） 把本质的内容翻译成数学语言：

开放一个检票口，需半小时检完，则x+3y=z

开放两个检票口，需10分钟检完，则x+10y=2×10z

开放n个检票口，最多需5分钟检完，则x+5y≤n×5z

可解得x=15z，y=0.5z

将以上两式带入得 n≥3.5z ，∴n=4.

答：需同时开放4个检票口。

29、隔墙算题的故事

明朝大数学家程大位，从事商业，终日奔波于大江南北，集市商行，每遇到有关数学轶

闻就马上记录下来。

有一次，一天劳碌下来，程大位与两位伙计住到了洛阳郊外的一座来客栈，住进朝北的

两间客房。店主笑脸上迎端上香喷喷的饭菜，程老刚要用饭，忽听得东边和西边此起彼伏地

吵嚷起来，程老对二人说：“你们去看看他们为什么这样叫嚷，弄得四邻不安？”

伙计甲回来说：“他们是众人分银，要是每人分七两多出四两，每人九两就少半斤，一

直争执不休。”

伙计乙回来说：“西边是一伙买绫罗绸缎的商人，他们商量分绫，每人分六匹少四匹，

每人分四匹正好相当，也是争执不下。”

程老听罢哈哈大笑：“今天他们分银分绫自有调处，我的收获也不小，现在你们痛痛快

快地吃完饭，我写两道算术诗给他们留下，让以后来往住店的人解解算谜。”第二天，他们

走后，墙上留下程老的两道算谜：

1.隔墙猜客。

隔墙听得客分银，不知人数不知银。七两分三多四两，九两分三少半斤。（注：古制1

斤=16两）

2.分绫求人。

隔墙听得客分绫，不知绫数不知人，每人六匹少四匹，每人四匹恰相停。

同学们，你们能求出这两道算谜中的人数各是多少？有多少银两？多少绫罗绸缎？

30、女生散步问题

“七大千年数学难题”之一的庞加莱猜想，是本次国际数学家大会讨论的焦点。其实，除

了“七大千年数学难题”之外，数学史上还有一些有趣的数学难题给人留下深刻印象。

哥德巴赫猜想

提出者：德国教师哥德巴赫；提出时间：1742年；内容表述：任何一个大于2的偶数

都可以表示为

两个素数之和；研究进展：尚未完全破解。

费马大定理

提出者：法国数学家费马；

提出时间：1637年；

内容表述：x的n次方加y的n次方等于z的n次方，在n是大于2的自然数时没有正

整数解；

研究进展：由英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。

四色猜想

提出者：英国学生格思里；

提出时间：1852年；

内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色；

研究进展：于1976年被计算机验证。

女生散步问题

提出者：英国数学家柯克曼；

提出时间：1850年；

内容表述：某学生宿舍共有15位女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使

每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每周一次；

研究进展：已获证明。

七桥问题

提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今俄罗斯加里宁格勒）；

提出时间：18世纪初；

内容表述：一条河的两条支流绕过一个岛，有7座桥横跨这两条支流，问一名散步者能

否走过每一座桥，而且每座桥只能走一次，就让这名散步者回到原地。

31、九连环与格雷码

分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。

下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。

第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这

不是步数的二进制数表示。

第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

00000－00000－0－00000

10000－00001－1－00001

11000－00011－2－00010

01000－00010－3－00011

01100－00110－4－00100

11100－00111－5－00101

10100－00101－6－00110

00100－00100－7－00111

00110－01100－8－01000

10110－01101－9－01001

11110－01111－10－01010

01110－01110－11－01011

01010－01010－12－01100

11010－01011－13－01101

10010－01001－14－01110

00010－01000－15－01111

00011－11000－16－10000

10011－11001－17－10001

11011－11011－18－10010

01011－11010－19－10011

01111－11110－20－10100

11111－11111－21－10101

我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！ 这当然需要21

步。如果把5位二进制数依次写完，就是

10111－11101－22－10110

00111－11100－23－10111

00101－10100－24－11000

10101－10101－25－11001

11101－10111－26－11010

01101－10110－27－11011

01001－10010－28－11100

11001－10011－29－11101

10001－10001－30－11110

00001－10000－31－11111

这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态

00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最

多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，

表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学

内涵。

注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；

如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110.

由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数

字不变；如果是奇数，该数字改变。

例 格雷码11011表示为二进制数是10010.

以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。

例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解

法各需要多少步？过程如何？

解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十

进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，

相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。

简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，

对于N=141，得到N0=103；对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结

果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。

32、狐狸买葱与数学

狐狸瘸着腿一拐一拐地走着，心里琢磨着怎样才能发财。

瘸腿狐狸看见老山羊在卖大葱，走过去问：“老山羊，这大葱怎样卖法？共有多少葱啊？”

老山羊说：“1千克葱卖1元钱，共有100千克。”

瘸腿狐狸眼珠一转，问：“你这葱，葱白多少，葱叶又是多少呀？”

老山羊颇不耐烦地说：“一棵大葱，葱白占20％，其余80％都是葱叶。”

瘸腿狐狸掰着指头算了算，说：“葱白哪，1千克我给你7角钱。葱叶哪，1千克给你3

角。7角加3角正好等于1元，行吗？”

老山羊想了想，觉得狐狸说得也有道理，就答应卖给他了。狐狸笑了笑，开始算钱了。

狐狸先列了个算式：

0.7×20+0.3×80=14+24=38（元），然后说：“100千克大葱，葱白占20％，就是20千克。

葱白1千克7角钱，总共是14元；葱叶占80％，就是80千克，1千克3角钱，总共是24

元。合在一起是38元。对不对？”

老山羊算了半天，也没算出个数来，只好说：“你算对了就行。”

“我狐狸从不蒙人！给你38元，数好啦！”狐狸把钱递给了老山羊。老山羊卖完葱往家

走，总觉得这钱好像少了点，可是少在哪儿呢？想不出来。他低头看见小鼹鼠从地里钻了出

来。他让小鼹鼠帮忙算算这笔帐。

小鼹鼠说：“你原来大葱是1千克卖1元。你有100千克，应该卖100元才对，瘸狐狸

怎么只给你38元呢？”

老山羊点了点头，知道自己吃亏了。可是他不明白，自己是怎样吃的亏？

鼹鼠说：“狐狸给你1千克葱白7角，1千克葱叶3角，合起来算是2千克才1元钱，

这你已经吃一半亏了。”

老山羊问：“吃一半亏，我也应该得50元才对，怎么只得38元呢？”

鼹鼠写了一个算式：

（1－0.7）×20＋（1－0.3）×80＝6＋56＝62（元）。“你1千克葱白吃亏0.3元，20千

克吃亏6元；1千克葱叶吃亏0.7元，80千克吃亏56元，合起来正好少卖了62元。”

老山羊掉头就往回跑，看见狐狸正在卖葱，每千克卖2元。老山羊二话没说，一低头，

用羊角顶住瘸腿狐狸的后腰，一直把他顶进了水塘里。

举世闻名的数学难题

“七大千年数学难题”之一的庞加莱猜想，是本次国际数学家大会讨论的焦点。其实，除了

“七大千年数学难题”之外，数学史上还有一些有趣的数学难题给人留下深刻印象。

哥德巴赫猜想

提出者：德国教师哥德巴赫；

提出时间：1742年；

内容表述：任何一个大于2的偶数都可以表示为 两个素数之和；

研究进展：尚未完全破解。

费马大定理

提出者：法国数学家费马；

提出时间：1637年；

内容表述：x的n次方加y的n次方等于z的n次方，在n是大于2的自然数时没有正

整数解；

研究进展：由英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。

四色猜想

提出者：英国学生格思里；

提出时间：1852年；

内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色；

研究进展：于1976年被计算机验证。

女生散步问题

提出者：英国数学家柯克曼；

提出时间：1850年；

内容表述：某学生宿舍共有15位女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使

每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每周一次；

研究进展：已获证明。

七桥问题

提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今俄罗斯加里宁格勒）；

提出时间：18世纪初；

内容表述：一条河的两条支流绕过一个岛，有7座桥横跨这两条支流，问一名散步者能

否走过每一座桥，而且每座桥只能走一次，就让这名散步者回到原地。

34、数学隐修士佩雷尔曼

8月22日，西班牙马德里，当西班牙国王卡洛斯一世在3000名世界一流的数学家面前

颁发菲尔茨奖章时，获奖者格里戈里·佩雷尔曼在巨大的荣誉面前缺席了。

格里戈里·佩雷尔曼，这名40岁的俄罗斯圣彼得堡数学奇人并不是第一次拒绝荣誉和奖

项——1995年，他拒绝斯坦福大学等一批美国著名学府的邀请；1996年，他拒绝接受欧洲

数学学会颁发的杰出青年数学家奖。

“我想他是一个非传统的人。他很讨厌被卷入各种浮华和偶像崇拜。”哈佛大学的

ArthurJaffe说。除了拒绝学术荣誉，佩雷尔曼似乎对金钱也不感兴趣。

2000年，美国克莱数学研究所筛选出了七大千年数学难题，并为每道题悬赏百万美元

求解，庞加莱猜想是其中之一。

2002年，在花了8年时间，终于攻克了这个足有一个世纪的古老数学难题后，佩雷尔

曼并没有将研究成果发表在正规杂志上，而只是将3份手稿粘贴到一家专门刊登数学和物理

论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。

“他把论文发到网上，简单地说‘就是它'.”牛津大学教授NigelHitchin回忆说。

“如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博

士说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。”

佩雷尔曼的做法让克莱数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了

猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩

雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。

“我从没见过他坐在加长的豪华轿车里，手中挥舞着支票。这不是他的风格。”牛津大学

数学历史学家JeremyGray说。

对于佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的

天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的国际

数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。此外，他还是一名天才的小提琴家，桌球打得也不错。

从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数

学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。大约10年前，

他回到斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。

证明庞加莱猜想让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据

说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》、《科学》这样声名显赫杂志的采访，

他也不屑一顾。

“我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。”佩雷尔曼说，“我不

愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机

密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横

财没有丝毫的兴趣。

2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的

视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太

人家庭很少对外开放。对此，他的朋友并不感到奇怪。

“他有一点使自己疏离于整个数学界。”牛津大学的DuSautoy教授说，“他对金钱没兴趣。

对他来说，最大的奖励就是证明自己的理论。”

33、韩信点兵

我国汉代有位大将，名叫韩信。他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7

报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人

们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，

数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用

7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。

比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里

有鸡蛋一定是52个。算式是：

1×70＋2×21＋3×15＝157

157－105＝52（个）

34、平方塔

这里有一座小小的宝塔，由四个完全平方数排列而成：

25=52，

625=252，

5625=752，

15625=1252.

这个宝塔的左边，从下往上走，每一层的平方数划掉最前面一位数字，就得到上一层的

平方数。

下面是另外一座类似的平方塔。

25=52，

225=152，

1225=352，

81225=2852.

还存在一些以25为塔顶的平方塔，你如果有兴趣，很容易把它们找出来。

35、奇妙的666

用珠算做加法练习，常做的一道题目是：

1+2+3+4+…+36=？

为什么从1加到36，而不是加到30或50，或者其他整数呢？这是因为从1加到36的

得数容易记住，等于666：

1+2+3+4+…+36=666.

666还有一些其他美妙性质，例如：

（6+6+6）+（63+63+63）=666.

上面这个等式表明，666等于它的各位数字的和加上各位数字的立方和。

666与它的各位数字之和的平方也有关系：

（6+6+6）2+（6+6+6）2+（6+6+6）=666.

下面的等式提供了666与前面6个自然数的联系：

13+23+33+43+53+63+53+43+33+23+13=666.

一个更有趣的等式是：

22+32+52+72+112+132+172＝666.

式中的数2、3、5、7、11、13、I7都是质数，而且是前面7个质数。由此可见，666

等于前7个质数的平方和。

36、8的怪圈

很多人喜欢数字 8，因为“八”和“发”的读音相近。下面介绍几个有关8的有趣等式：

83=512，5+1+2=8；

183=5832，5+8+3+2=18；

285=17210368，1+7+2+1+0+3+6+8=28.

在上面这些等式里，利用了乘方记号。其中，83表示3个8连乘，读成8的3次方；

285表示5个28连乘，读成28的5次方；其余类推。2次方简称为平方，3次方简称为立

方。

计算面积和体积都离不开乘方，特别是平方和立方。在竞赛题和各种算术趣题中，更是

经常要和乘方打交道。

37、数木块

用一些同样大小的方木块，堆成图1的形状。数数看，这里共有多少木块？

观察图1木块堆成的形状，发现可以看成一个4级阶梯。从下往上，最低的一级只

有1块木块；第二级阶梯由两层木块组成，每层3块；第三级阶梯有3层，每层5块；第四

级4层，每层7块。所以木块的总数是1+3×2+5×3+7×4=50.

即：共有50块方木块。

上面的思考方法是用加法。还可以改用减法来解。

图1的形状，可以看成从一个每边4块木块的大立方体里面挖去若干木块而得到的。最

上面一层挖去的是一个每边3块的正方形，往下看第二层挖去每边2块的正方形，第三层挖

去每边1块的正方形。所以实际留下的木块数是43-32-22-12=50.

两种解法，得到完全相同的结果。

38、生活趣味数学题：划数字

把1、2、3、…、19、20这20个连续整数连写，不加标点，也不空格，连成一个大数：

12345 67891 01112 13141 51617 18192 0.

这个数共有31位数字。要从其中划去20位数字，使所剩数字组成的数最大，应该怎样

划？

划去20位数字的方法很多，每种划法都留下一个11位的数。两个数的位数相同，要比

较大小，先看第一位数字（第一位较大的，整个数也较大），第一位相同时看第二位数字，

其余类推。所以，为了使得到的数最大，在划数字时，应该使保留数字中的开头几个尽可能

大些。

先看首位数字：在从1到9这一段，只保留9，划去前面的8位数字12345678.还要再

划掉12个数字。在9的后面，划去1，留下数字5，再划去后面16中的数字1，

得到：95617181920，这就是所能得到的最大的数。

现在保持题型，扩大规模，把20改成80，题目变成：把1、2、3、…、79、80这80

个连续整数连写，不加标点，也不空格，连成一个大数：1112…787980.

要从其中划去80位数字，使所剩数字组成的数最大，应该怎样划？

思考方法照旧：划剩下来前面几位的数字越大越好。

从1到9这一段，保留最后的9，划去前面8个数字；

从10到19这一段，保留最后的9，划去前面19个数字；

从20到29、从30到39，这两段也都保留最后的9，划去前面19个数字。

到此为止，已划去数字的个数是8+19+19+19=65，还需再划的数字个数是80-65=15.

接下来是从40到49的一段，划去其中前面15个数字，这一段里留下74849.全部剩余

数字组成的数是9999748495051…787980.

这就是所能得到的最大的数。

39、生活趣味数学题：质数排座位

下面的式子里有8个空框“□”：

A=（□+□+□+□+□+□+□）÷□。

在这些□里，填进20以内各不相同的质数，使A是整数，并且尽可能大。

填数以前，先要把20以内的质数全部找出来。它们是：

2，3，5，7，11，13，17，19.

不多不少，正好8个。

8个空白的□是一些座位，等待安排8位质数就席。关键是除号后面安排哪一个质数，

其余位置都无所谓。

为此，计算这8个质数的和：

2+3+5+7+11+13+17+19=77

=7×11.

由此可见，从这8个质数里，如果拿出7，那么其余各数的和是7的倍数，因而A是整

数：

A=（7×11-7）÷7＝11-1＝10.

如果拿出11，那么其余各数的和是11的倍数，因而A也是整数：

A=（7×11-11）÷11=7-1=6.

如果拿出其它质数，A都不是整数。

所以，要使A是整数，并且尽可能大，应该取7做除数，其余各质数任意排列（例如

可从小到大排列），得到

A=（2+3+5+11+13+17+19）÷7.

40、生活趣味数学题：加减乘除

下面的式子里，共有5个6，在每两个相邻的6的中间都有一个空框：6□6□6□6□6.

把加、减、乘、除四个运算符号分别填进这四个空框，要使运算得数最大，应该怎样填？

因为四种算术运算都有，要使结果最大，只需使减去的数目最小。所以可采用下面的填

法：6×6+6-6÷6=41.

按照原来的题意，只能填加减乘除符号，并且四个符号全要填，不能另添括号。如果允

许添括号，可以得到更大的运算结果，例如6×（6+6）-6÷6=71.

41、生活趣味数学题：同一星期过生日

一个班级里有55位学生，班主任是数学老师。课间休息的时候，一位同学凑近邻座同

学的耳朵，小声说：“祝你生日快乐！”数学老师听见了，笑着说：“过生日有什么神秘？我

就知道，你们班级至少有两个人在同一周里过生日。”

同学们你看看我，我看看你，只见其中有两个人互相眨眨眼睛，笑了起来，然后站起来

对老师说：“我们两个人都在下星期过生日。老师，你怎么知道的？”

老师说，虽然不能确定谁和谁的生日在同一周，也不能确定在哪一周，但是可以算出来，

你们55个人中间，至少有两个人在同一周里过生日。算法很简单，一听就懂，一学就会。

一年通常有365天，碰上闰年有366天。每周有7天，1年有52周加上1天或两天零

头：365÷7=52……余1，366÷7=52……余2.

从星期一开始，到星期天为止，算是一周。包含1月1日的那一星期算第一周，往下挨

次排，一直排到12月31日，一般年份是第53周，充其量遇到特殊年份能排到第54周。

如果每一周里只许有一个人过生日，那么全年充其量54周里，充其量只能容许54个人。

但是你们全班有55个人。就算前面54个人各自占领一周，过自己的生日，最后这第

55个人的生日往哪儿放呢？总得属于一年里面的某一周吧？无论属于哪一周，都会和已经

占领那一周过生日的同学碰头。

所以，任何55个人里，至少有两个人在同一周里过生日。

这个道理，就像往3个抽屉里放4只苹果，至少有两只苹果被放在同一只抽屉里，所以

叫做抽屉原则。同周过生日的问题，每周看成一个抽屉，54周相当于54个抽屉，55个生日

相当于55只苹果，苹果数目比抽屉个数多，至少有两只苹果落在同一个抽屉里。

本周过生日的同学说：“懂了！1年至多366天，如果把每天当成1个抽屉，那么任何

367个人在一起，其中至少有两个人在同一天里过生日。”

数学老师很高兴，说：“你一听就懂了，一学就会了！”

有一位同学问：“有没有哪一年真的有54周？”

老师回答：“如果碰上闰年，而且碰巧元旦是星期天，那么第1周只有1天，这样排下

去，12月31日就是第54周的星期一了。1984年就是一个有54周的特殊年份。”

42、生活趣味数学题：新挂历提前使用

离元旦还有十天，爸爸兴冲冲夹回来一卷明年的挂历。小洁比爸爸还要来劲，等不到晚，

就把墙上今年的挂历取下来，换上了明年的新挂历。

过了三天，妈妈走过来查问，“今年的挂历呢？”

小洁惟恐要把新挂历撤下来，忙说：“找旧挂历？不用啦，新挂历更好看。”

妈妈抚摸着小洁的头发，问道：“今年9月1日是星期几？新挂历上能查到吗？”

“能查到。你看，明年9月份。1号，星期一。”小洁听说“9月1日”，来不及细想，赶

紧去翻挂历，顺便看看挂历上的图片。

“我要查今年的，不是明年的。快把今年的挂历找出来。快呀！”妈妈有些着急了。

“如果新挂历能告诉你……”小洁开始犹豫，拖长话音，试探试探。

“这本明年的挂历，如果能查到今年哪一天是星期几，就让你提前用它。”妈妈说话里带

有“如果”，比较婉转。

“好，就这样定了！”小洁抓住战机，和妈妈击掌为约，然后郑重宣布：“今年9月1日

是星期天。”

妈妈将信将疑，说：“真的？好孩子不说谎！”

小洁乐得合不拢嘴，说：“我当然是好孩子。你想想看，从今年9月1日到明年9月1

日，相差整整1年。这1年是平年，365天，也就是52个星期再加1天。推算星期几的时

候，52个整星期不起作用，只有那1天零头引起变化，可以把1年当成1天过。所以，如

果今年今天是星期二，明年今天一定是星期三。反过来，明年9月1日是星期一，退回1

年，还是当成1天，算出今年9月1日一定是星期天。”

妈妈也乐了，说：“你是好孩子，也是聪明孩子。只听说度日如年，你现在推算星期几，

却是度年如日，新鲜得很。老挂历不用找了，就用新挂历吧！”

小洁对新挂历的图片再次观赏一番，庆幸自己的数学知识派上了用场。推算星期几的时

候，应用了带余除法365÷7=52……余1，想出“把一年当一天过”的妙计，新挂历就能提前用

了。

过了一会儿，小洁又冒出一个新的想法：“如果明年在国庆节就能买到后年的挂历……”

43、生活趣味数学题：四对半双休日

暑假里，小刚和几位同学约好，8月8日一起回学校看老师。回到家里，忽然想起，老

师说过，每逢双休日，他们全家轮流到父母和岳父母家里去看望老人家。8月8日是不是星

期六？是不是星期天？但愿不是。

8月8日是星期几呢？实在想不起来。只记得8月份有四对半双休日：4个星期天，5

个星期六。

奇怪呀。星期天总是紧跟在星期六后面，可是在8月份，星期六有5个，星期天却只有

4个。怎么有一个星期天跟得不紧，竟然跟丢了呢？

紧跟还是不会错的，一定是被挤到界外去了。8月份最后一天刚好是星期六，紧接在它

后面的星期天就不是8月的，而是9月的了。

照这样看，8月31日一定是星期六。往前21天，是8月10日，还是星期六。再往前

去两天，是8月8日，星期四。

这样就放心了，和同学们约好的8月8日这天，不是星期六，也不是星期天，这正是所

希望的。

44、数不清的鸡蛋

一位朋友性格开朗，做事爱出花样。有一天，他从菜场买回一箱鸡蛋，买时是论重量的，

回家后想要数数共有多少只。数了几遍，总是数不清，嘴里不停地说“咦！”

他是怎样数的呢？

先是两个两个地把鸡蛋从硬纸箱里拿出来，放到地上，最后还剩一个，这时才发现忘记

数拿过多少次了，抓抓头，说一声：“咦！”

于是把鸡蛋全放在地上，三个三个地往纸箱里放，最后还是剩一个，还是忘记了次数，

只好还是抓抓头，说一声：“咦！”

再变个花样，把鸡蛋全放在纸箱里，四个四个地往地上搬，最后又是剩一个，又……只

好抓抓头，说一声：“咦！”

再数一遍。把鸡蛋全放在地上，六个六个地往纸箱里放，结果不变，剩一个，抓抓头，

说一声：“咦！”

好在鸡蛋的个数不多。坚持一下，再把鸡蛋全放在纸箱里，七个七个地数出来往地上搬，

数到最后，抓抓头，说：“终于刚好一个也不剩！……咦！”哎呀，又忘记搬过多少次了，真

是数不清的鸡蛋呀！

让我们来帮帮忙，算一算他买了多少只鸡蛋。

每次数2个、每次数3个、每次数4个、每次数6个，数到最后总是剩1个。所以，如

果从全部鸡蛋里暂时拿走1个，剩下的鸡蛋个数应该同时是2的倍数、3的倍数、4的倍数

和6的倍数。四个数2、3、4、6的最小公倍数是24，由此可见，从鸡蛋总数减去1，所得

的差一定是24的倍数。因而鸡蛋总数等于24的某个倍数加上1，从小往大排列顺次是25，

49，…。

又因为全部鸡蛋每次数7个刚好数完，所以鸡蛋总数是7的倍数，因而至少是49个。

考虑到鸡蛋的个数不多，可以推断，这位朋友买回来的鸡蛋正是49个。

如果这位朋友摇手说，“我买的鸡蛋虽然不很多，但是决不止50个”，那么下一个可供

选择的答数是多少呢？

增加的数目不但要是24的倍数，还应该是7的倍数，因而应该增加24和7的最小公倍

数168.由此得到下一个可供选择的答数是49+168=217.

45、一堆夹心糖

小奇出生那年的年份数目有一点儿小小的奇怪。

如果用这个年份数加5，就得到9的倍数；用它加6，就得到10的倍数；用它加7，就

得到11的倍数；而如果用它加8，就得到12的倍数。

小奇是哪一年出生的呢？

条件中出现的数字，5、6、7、8、9、10、11、12，各不相同，多彩多姿。

数字变化太多，不容易控制。可以想办法把数字变得少些。

因为用这个年份数加5，得到9的倍数；所以用这个数减4，还是得到9的倍数。

同样地，因为用年份数加6得到10的倍数，所以用它减4还是得到10的倍数。

同理，因为用它加7得11的倍数，加8得12的倍数，所以用它减4，还是11的倍数，

也是12的倍数。

这样一来，用小奇的出生年份减4，就得到四个数9、10、11、12的公倍数。

9、10、11和12的最小公倍数是：

22×32×5×11=1980.

这样就算出，小奇的出生年份，等于1980的某个倍数加4.

因为小奇是现代人，不是未来人，所以小奇出生在1984年。

46、二十四点牌

很多人会用扑克牌玩二十四点游戏。这是一种两人游戏，从一副扑克牌中拿走两张司令，

其余52张牌都只考虑点数，A看成1，J看成11，Q看成12，K看成13.每次每人各出两张

牌，共有4张，这样就得到4个数，要用这4个数通过加减乘除运算得出24，看谁的办法

想得最快。

在书店里可以买到一种专门用来玩二十四点游戏的纸牌，叫做“数学24戏”，全套牌

共有64张，图1和图2画出了其中的两张。

从图看出，这种二十四点牌，每一张的四个角上各有一个数字。玩的时候，每次只

拿出一张牌，要用这张牌四个角上的数字通过加减乘除运算得出24.

例如，在图1中，牌角上的四个数字是6，7，9，6.经过试探，知道从它们可以通过下

面的运算得到24：

（7+6-9）×6=24；

（6+6）×（9-7）=24.

图2牌角上的数字是7，8，2，9.用下面的算式可以从这些数字得到24：

27÷9×8=24.

47、生活趣味数学题：总是慢一拍

某数除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，求某数。

上面这道趣题，现今常能遇到。不过它的岁数已经不小，早在1703年俄国人马格尼茨

基的《算术》书中就已出现，至今将近300年，讲数学的人还是喜欢拿它做习题或例题，学

数学的人解起它来还是觉得津津有味。

从题目的内容上看，这个“某数”总是慢一拍：除以2余1，余数比除数少1；除以3余

2，除以4余3，除以5余4，每次的余数仍然都是比除数少1.少了1就麻烦，要是不缺少这

个1，每次就都能整除，那多方便！

对呀，让某数加上1，结果就能被2整除、被3整除、被4整除、被5整除。因而，某

数加1以后，是2、3、4、5的公倍数。

2、3、4、5的最小公倍数是60，所以某数加1是60的倍数。

由此推出，某数等于60的任一倍数减1.所以某数可取无穷多个值，其中最小的值是59.

球赛中要“换人”，解数学题时要“换元”。在本题中，某数总是慢一拍，叫它暂时到球场

外边长板凳上坐下来歇歇，把“某数加1”换上去取胜。解题中的换元和球场上的换人是一个

道理。

48、生活趣味数学题：电话号码

外婆家的电话分机号码是四位数，记不清是多少，只记得它没有重复数字，并且能同时

被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除。这个号码究竟是多少呢？

从条件知道，外婆家的电话分机号码是九个数1、2、3、4、5、6、7、8、9的一个公倍

数。

这九个数的最小公倍数是：

8×9×5×7=2520.

2520是四位数，但是有重复数字（2出现两次），不合条件。

四位数中，还有两个是2520的倍数，它们分别是5040和7560，其中只有7560不含重

复数字。因而所求的电话分机号码是7560.

49、生活趣味数学题：妈妈的年龄

1、哥哥和弟弟两人3年后年龄和是27岁，弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人年龄

的差。哥哥和弟弟今年各多少岁？

2、1994年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的4倍，2002年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年

龄和的2倍，问妈妈出生是哪一年？

答案：

1、解题思路：从题中“哥哥和弟弟两人3年后年龄和是27岁”这句话，可以求出哥哥和

弟弟今年的年龄和是 27-3×2＝21（岁），从“弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人的年龄

差”，即哥哥年龄-弟弟年龄＝弟弟年龄。可以知道哥哥今年的年龄是弟弟年龄的2 倍，弟弟

年龄是哥哥年龄的1/2.

解：弟弟今年的年龄 （27-3×2）÷（1+2）＝7（岁）

哥哥今年的年龄 7×2＝14（岁）

或（27-3×2）÷（1+1/2）＝14（岁）

14×1/2＝7（岁）

2、解题思路：把1994年姐姐和妹妹的年龄和看作1倍，那么妈妈1994年就是这样的

4倍。到2002年过了 8年，姐姐妹妹的年龄增加了8×2＝16（岁），要使妈妈年龄仍然是姐

姐和妹妹年龄和的4倍，那么妈妈必须增加16×4＝64（岁），而实际只增加8岁。现在少增

加64-8＝56（岁），就少了2002年姐姐和妹妹这时的年龄和56÷2＝28（岁），也求出了2002

年妈妈的年龄。

解：（2002-1994）×2＝16（岁）

（16×4-8）÷（4-2）＝28（岁）

妈妈的年龄28×2＝56（岁）

妈妈出生年2002-56＝1946（年）

50、诸葛亮秘传手稿

诸葛亮是三国时代刘备的军师，博学多才，神机妙算。古典长篇小说《三国演义》第

104回里，讲到诸葛亮在出师与魏兵打仗的过程中，身患重病，手下的大将姜维到行军帐里

看望他。诸葛亮对姜维说：

“……吾平生所学，已著书二十四篇，计十万四千一百一十二字，内有八务、七戒、六

恐、五惧之法。吾遍观诸将，无人可授，独汝可传我书。切勿轻忽！”

“从这段话里知道，诸葛亮秘传给姜维的手稿有24篇，共104112字。大概估计一下，

就可以知道平均每篇四千多字。

现在提一个问题：不做除法，能否知道每篇的平均字数是不是整数？

这就要利用数的整除性判别法了。

由于：

24=3×8，

3和8互质，只要看总字数104112能否同时被3和8整除。

104112的各位数字的和是：

1+0+4+1+1+2=9，

9能被3整除，所以104112能被3整除。

要看104112能否被8整除，只要看它的末三位112能否被8整除。而：

112÷8=14，

可见112是8的倍数，因而104112也能被8整除。

所以104112能被24整除，即：诸葛亮每篇手稿的平均字数是整数。

实际上，直接做除法，可以算出诸葛亮每篇手稿的平均字数是：

104112÷24=4338.

51、桔子、饼干和糖

幼儿园的老师们捧着3只纸箱，给大班的小朋友送来好吃的东西。

大纸箱里有74只桔子，中等大小的纸箱里有200块饼干，小纸箱里有120颗糖。平均

分发完毕，每种小食品都剩下些零头，纸箱里还有2只桔子、12颗糖和20块饼干。大班里

共有多少位小朋友？

带来74只桔子，还剩2只，发下去的是72只。可见大班小朋友的人数是72的约数。

带来200块饼干，还剩20块，发下去的是180块。可见大班小朋友的人数也是180的

约数。

带来120颗糖，还剩12颗，发下去的是108颗。可见大班小朋友的人数又是108的约

数。

所以，大班小朋友的人数是72、180和108的公约数。

3个数72、180和108的最大公约数是36，其余公约数都不超过18.由于发到后来剩下

的零头里有20块饼干，可见小朋友的人数大于20.所以大班的小朋友共有36人。

幸亏饼干剩得多，如果剩下的饼干只有17块，就不能确定人数是36个还是18个了。

52、对答数

任意写一个4位数，例如 1996.把这个数乘以3456，乘积记为A：

A= 1996×3456=6898176.

然后把A的各位数字相加，得到的数记为B：

B=6+8+9+8+1+7+6=45.

最后再把B的各位数字相加，得到的数记为C：

C=4+5=9.

如果有好几位朋友在一起，可以请朋友们各写各的4位数，各算各的A、B、C，算完

以后，大家凑在一起对答数。只要计算正确，不管当初写的4位数是什么，最后答数一定是：

C=9.

为什么最后一定得到9呢？

因为最初求A时，总是乘以3456.在这里，3456是9的倍数。所以A是9的倍数。

如果一个数是9的倍数，那么它的各位数字的和也是9的倍数。所以B也是9的倍数。

同理C，也是9的倍数。

A是两个4位数的乘积，所以A至多是8位数。A的各位数字相加，不会大于 8个9

的和，所以 B值不超过 72. B又是9的倍数，所以B的数字的和等于9，也就是C=9.

在开始学习多位数乘法时，可以用这个小游戏来做乘法练习。可以自己一个人做，也可

以几个人一起做。

53、握手人次

电视屏幕上有一群人正在互相握手。

可以即席发表评论：其中握过奇数次手的人一定有偶数个。

为什么呢？

设想每个人握过一次手以后，立刻在这个人名下画一横，叫做一个人次。因为每次握手

都是在两个人之间进行，所以每握一次手，就在两个人的名下各画一横，增加2人次。由此

可见，不管握过多少次手，可以肯定，握手的总人次一定是偶数。

把这些人临时分成两派：握过奇数次手的人，属于奇派；握过偶数次手的人，属于偶派。

一个握过偶数次手的人，名下的人次当然是偶数。若干个偶数的和，还是偶数。因而偶

派的全部人次加起来，一定是偶数。

又因为：奇派人次=总人次-偶派人次，偶数减去偶数，结果还是偶数。所以奇派的人次

一定是偶数。

但是，奇派每人名下的人次都是奇数。奇数个奇数相加还是奇数，只有偶数个奇数相加

才能得到偶数。所以，握过奇数次手的人，一定有偶数个。

54、小白鼠逃生

小花猫捉到5只老鼠。它命令老鼠们排成一队。然后一、二报数，吃掉所有数一的老鼠。

剩下的老鼠进行第二轮一、二报数，吃掉所有数一的老鼠。最后剩下一只小白鼠。

小花猫又捉到9只老鼠，连同上次吃剩下来的小白鼠，共计10只。它还是命令这些老

鼠排成一队，然后按照“一、二报数，吃掉数一”的老办法，进行三轮，最后还是剩下这只小

白鼠。

猫觉得很奇怪，问道：“怎么还是你？”

小白鼠回答说：“我计算过，剩下的一定是我。”

猫又问：“上次你排第4位，这次排第8位，位置都是算出来的吗？”

小白鼠说，“是的。我的办法是：乘2、乘2、再乘2.一直乘到不能再乘，如果再乘，就

要超过队伍长度，这时就不乘了。第一次5只老鼠，利用2×2=4，排在第4个位置。第二次

10只老鼠，利用2×2×2=8，排在第8个位置。下次如果有20只老鼠，就排在第16个位置

了。”

这时正好猫的主人从屋里走出来，一眼就看见小白鼠，忙说：“这不是实验室里丢失的

小白鼠吗？你偷跑出来，和猫一起玩，多危险！”

就这样，小白鼠死里逃生，被主人带回了实验室。

55、换卡片

按照规定，两张带有记号△的卡片可以换一张有□的卡片，两张有□的卡片换一张有☆

的卡片，两张有☆的卡片换一张有○的卡片，两张有○的卡片换一张有◎的卡片。

一个人有6张卡片，上面的记号分别是

△ △ □ ☆ ☆ ○

他去交换卡片，希望卡片的张数越少越好。换卡后，他身边还有几张卡片？上面是些什

么图形？

借用数学符号，可以将换卡过程表示如下。

（△+△）+□+（☆+☆）+○=□+□+○+○=☆+◎。

由此可见，换卡后还剩两张卡片，上面的图形分别是☆和◎。

这题目很简单，一会儿就把卡片换好了。但是这题目又不简单，因为它后面有背景。

实际上，这个“两张换一张”的卡片问题，是以二进位制为背景的。

要使总的卡片张数最少，每种卡片留下的张数只能是0或1，相当于在二进位制里只用

两个数字0和1.

每两张同一种的卡片换一张高一级的卡片，相当于二进位制里同一位上的两个单位合并

起来向上面一位进1，“逢二进一”。

本题中每一张带有符号的卡片，相当于一个二进位制的数，对应关系如下：

△=1，

□=10，

☆=100，

○=1000，

◎=10000.

原来的卡片，有两张△，一张□，两张☆和一张○，可以用二进位制求它们的总和，得

到

（1+1）+10+（100+100）+1000=10+10+1000+1000

=100+10000

=10100.

最后，将卡片记号排名榜和二进位制答数对照：

◎ ○ ☆ □ △

1 0 1 0 0

在◎和☆的位置上是数字1，其他位置上都是0.由此可见，换卡片的结果，最后保留1

张◎卡和1张☆卡。

在生活中，很多场合都只有两种状态换来换去，例如灯泡的亮和熄，风扇叶的转和停，

门铃的叮咚和寂静，都是由一个开关控制，有电送过去就工作，没有电送过去就休息。

在数学上，可以用二进位制的数字1和0分别表示有和无，二进位制数的每一位相当于

一个转换有无的开关。所以二进位制可以在很多地方施展身手。特别是电子计算机，在那里

面，二进位制可算是大显神通了。

56、数字赞英雄

下面一副对联，说的是两位人人钦佩个个敬仰的英雄豪杰。用不着说出名和姓，只要一

看内容，就知道他们是谁。对联写道：

取二川，排八阵，六出七擒，五丈原前，点四十九盏明灯，一心只为酬三顾。

抱孤子，出重围，匹马单枪，长坂桥边，战数百千员上将，独我犹能保两全。

讲的是谁呢？

知道，上联是诸葛亮，下联是赵云。

为什么？

那还有错吗？上联这“三顾”，是说刘备三顾茅庐，恭恭敬敬请诸葛亮走出家门，帮助他

平战乱、打天下。“七擒”，是说诸葛亮为了平定南方，七擒孟获，捉住了放掉，再捉住再放

掉，直到对手口服心服，老老实实投降。“排八阵”，是说诸葛亮摆下八阵图，把东吴大将陆

逊困在里面出不来。“取二川”，是说诸葛亮辅助刘备取得川东、川西。“六出”，是说诸葛亮

不辞劳苦，从四川发兵，六出祁山，多次同魏较量，看谁能统一大好河山。“五丈原前，点

四十九盏明灯”，是说诸葛亮积劳成疾，最后一次出兵与魏军作战期间，病得快要不行了，

不甘心“壮志未酬身先逝”，只好搞点儿迷信活动，在军队驻地五丈原点了四十九盏明灯，向

老天借寿，没有成功。上联里说了这么多事情，每件都能对上号，除去诸葛亮，还能是谁？

那么下联呢？哪里说到赵云啦？

这要抓特征。下联里不是说到长坂桥吗？谁在长坂桥打仗显威风？那是赵云。赵云在曹

操大军包围圈里杀来杀去，找到刘备的妻子糜夫人和儿子阿斗，糜夫人把阿斗托付给赵云，

然后跳井自杀，阿斗成了孤儿。赵云把阿斗抱护在怀里，单枪匹马，冲出重重包围，杀死曹

营许多大将，自己和阿斗却都没有受伤，正像京剧里唱的，“长坂坡，救阿斗，杀得曹兵个

个愁。”整个下联就是讲赵云百万军中救阿斗的故事。

这副对联，用字不多，内容却很丰富，非常生动，读起来特别带劲。这是什么原因呢？

是因为作者下了功夫，在对联里嵌进许多数字，讲事情高度浓缩，读起来朗朗上口。

你看，在上联里，数词一、二、三、四、五、六、七、八、九、十全部出动，一个不少。

在下联里为了避免重复，变着花样对上同样多的数词，例如孤子、匹马、单枪、独我都暗含

数字1；重围中的“重”字是说许多层，数百千中的“数”字就是若干，“许多”和“若干”也是数

词，只不过数目不确定，带有模糊色彩。现代人不是也很喜欢用数字吗？“十佳”呀，“百强‘呀，

一大套一大套的，说起来顺畅，听起来舒服，记起来容易。现在就连学生复习迎考，也会自

己归纳出这里几条、那里几点的，办法管用得很。

说起现在，就让我们按照现在数学里的习惯，改用阿拉伯数字，把上联中的一连串数目

按照出场先后顺序，依次写成一行：

2 8 6 7 5 49 1 3

能不能在这些数字之间添加适当的数学符号，组成一道等式呢？

这个嘛，试试看。这样一来，那样一来，这般如此，如此这般，有了：

（2×8×6+7-5）÷49+1=3.

感觉怎么样？

太好了，太巧了。故事里面有数学，数学里面有故事，妙哉！

58、唐诗鸡蛋宴

从前，有两位要好朋友，一位是喜欢吟诗的厨师，一位是爱好数学的诗人。

这一天，厨师到诗人家里串门。诗人拿出两个鸡蛋，说，“交给你啦，做一桌菜，看你

的杰作！”

厨师答道：“没问题，还要配诗一首！”

诗人拿了两双筷子放在桌上，自己先坐下来。

一会儿，厨师端上来一只小碟子，里面装的是两只煮熟的蛋黄，一面走一面高声朗诵：

两个黄鹏鸣翠柳。

放下这碟“黄鹏”，转身又进厨房拿出一只盘子，里面是用蛋白切成丝，排列得像一行飞

鸟。厨师把这盘菜放到诗人面前，用手指指，说：

一行白鹭上青天。

第三次从厨房里端出来的，是一碟凉拌蛋衣。这是把蛋壳和蛋白之间的一层很薄的皮小

心揭下来，剪成碎末，雪片似的洒在碟子里，上面又洒了些精盐。这碟小菜配的诗句是：

窗含西岭千秋雪。

最后，厨师又端出一碗汤，汤面上浮着些蛋壳做的小船。伴随着蛋壳船在汤面上的晃动，

厨师吟道：

门泊东吴万里船。

就这样，一桌三菜一汤的鸡蛋宴，正好配了一首家喻户晓的唐诗，这是唐代大诗人杜甫

住在成都草堂时著的《绝句》。

厨师显过了本领，诗人的兴致上来了。

诗人说：这首诗为什么特别优美动人？不但因为它情景交融，而且因为诗中有数学帮忙，

把景物数量化，显得更投入，更动情。你看，“两个黄鹏”，这里有数字2；“一行白鹭”，这

里有数字1；“西岭千秋雪”用到了数1000；“东吴万里船”运用了数10000.每一句都离不开数。

诗人又说，先别忙动筷子，请你做一道数学小问题。用刚才杜甫诗句里的四个数2、1、

1000和10000，再连同我们这桌菜的原料，两个鸡蛋，算是两个0，添加适当的数学符号，

组成一个等式。怎么样？

厨师把几样菜看了又看，说：这可能吗？你写写看！

诗人立刻写出一道算式：

10×1000＋2×0=10000.

厨师拿起筷子，说，我也有了：

（20-10）×1000=10000.

这就是关于唐诗、鸡蛋宴外加数字游戏的故事。

59、学数学动脑筋很高兴

下面的图形里，所画人物的面部表情是“动脑筋，很高兴”。

有人说，只看见图中的人凝眉苦思，他的表情不过是“动脑筋”罢了，哪里有什么高

兴的样子？

不能性急。动脑筋而暂时想不出的时候，当然要眯细眼睛，皱起眉头，聚拢精神，沉着

思考。等到想出来了，自然会眉开眼笑，心花怒放，十分高兴。请把这幅图倒转过来看，那

位大胡子朋友已经动脑筋想出来了，笑眯眯的，确实“很高兴”呢！

60、三五步六七人

看电影讲究场面大。银幕上千军万马潮水般涌来，看不清谁是谁，只听得一片喊杀声惊

天动地，犹如身临其境。

舞台表演艺术却不同。演一场《三国》戏，曹操八十三万人马下江南，如果动员一千名

群众演员出演小兵，恐怕剧场里就没有观众立锥之地了。所以在传统京剧艺术里，四个跑龙

套的演员可以代表百万雄师，在舞台上紧锣密鼓登登登走上几圈可以象征行程数千里，高度

概括，简洁明快。

有一副对联，专讲戏剧表演的妙处：

三五步，行遍天下；

六七人，雄会万师。

现在从对联里的“三五步”、“六七人”里，取出数字3、5、6、7，能不能添加适当的数学

符号，组成等式？

一个满足条件的等式是：

7-5＝6÷3.

容易写出另外一些类似的等式来。

61、一本书的页数

我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如15，就要用2个

铅字；158，就要用3个铅字。现在知道有一本书在排版时，光是排出所有的页数就用了6869

个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封面、封底、扉页不算在内）

分析与解

仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、……。

一位数有9个，使用1×9=9个铅字；

两位数有（99-9）个，使用2×90=180个铅字；

三位数有（999-90-9）个，使用3×900=2700个铅字；

依此类推。

我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从1到999共需用9＋

2×90+3×900=2889个铅字，从1到9999共需用9＋2×90＋3×900＋4×9000=38889个铅字，

而2889＜6869＜38889，所以这本书的页数用到四位数。

排满三位数的页数共用了2889个铅字，排四位数使用的铅字应有6869-2889=3980（个），

那么四位数的页数共有3980÷4=995（页）。因此这本书共有999+995=1994（页）。

62、池塘边的鹅群

儿童看见鹅，很容易着迷。那鹅披着一身洁白羽毛，走路摇摇摆摆，昂首高歌，悠然自

得，实在可爱。这时，儿童身边的父母就会情不自禁，回想起自己小时候学会的一首诗：

鹅、鹅、鹅，

曲项向天歌。

白毛浮绿水，

红掌拨清波。

这是唐代才子骆宾王七岁时写的《咏鹅》诗。骆宾王后来由于声讨武则天的檄文而垂名

史册，享誉文坛，这首童年作品《咏鹅》却在民间口头流传，世世代代的家长们像教儿歌一

样把它传授给自己的小孩。

现在有一道关于鹅的题目，需要动一点点脑筋。

如图1，在正方形池塘周围，有一群鹅散步。它们共有12只，恰好在正方形的每条边

上都有3只。牧鹅少年对他的四位小朋友说，“我到树荫下面躺一会儿，你们帮我看住这些

鹅，池塘的每一边岸上都要保持3只。”

牧鹅少年很快进入梦乡。鹅群抵挡不住水的诱惑，有4只溜进池塘游泳去了。4位帮忙

的朋友赶紧商量对策。能不能让游泳的鹅继续游泳，岸上的鹅又保持每边3只呢？

结果想出一个妙计：如图2，调动岸上的8只鹅，让它们在正方形的每个角上各站一只，

每条边的中间各站一只，就能保持每条边上3只，同时又可任凭池中的4只鹅继续“白毛浮

绿水，红掌拨清波”，两全其美。

63、排座位

题目1、从左下角的2开始，依次在数字间填上“+”或“－”，使最后结果等于7

2 4 6 9 5 1 = 7

题目2、学校小会议室，第一排有4个座位，以后每一排都比前一排多2个座位，最后

一排有18个座位，这个会议室一共有多少个座位？

题目一答案：2 + 4 + 6 – 9 + 5 – 1 = 7

题目二答案：

（18—4）÷2+1=8（排）

（18+4）×8÷2=88（个）

题目水平：2年级奥数题型

64、聪明的欧拉智改羊圈

欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的

分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，

他是一个被学校除了名的小学生。

事情是因为星星而引起的。当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师提

问，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，圣经上也没

有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个

老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上

帝镶嵌上去的就够了。”

欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶

嵌到一在幕上的呢？上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢？

上帝会不会太粗心了呢？

他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老

师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使

老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记

住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问

题。

在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶，绝对不允许自由思

考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心

中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住？他又

想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，

根本就不存在。

回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，

有不少数学书。

爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的

羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600平方

米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，

不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米（15 15 40 40=110）父亲感

到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就

会小于6平方米。

小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有

办法。父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一

下羊圈的桩子就行了。

父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是，小欧拉却坚持说，他一

定能两全齐美。父亲终于同意让儿子试试看。

小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原

来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎么成呢？这个羊

圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加

了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。

然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，篱笆也够了，面积也够了。”

父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用

光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴。孩子比自己聪明，真会

动脑筋，将来一定大有出息。

父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一

个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。

这一年，小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。

65、各据一方

在下面的算式里，共有十个空白方框。把0、1、2、…、9这十个不同数字全部填进去，

使每个数字各自占据一个方框（“各据一方”），并且得到三个正确等式，应该怎样填？

□+□=□，

□+□=□，

□×□=□□。

容易验证，下面的填法完全满足要求：

1＋7=8，

3＋6=9，

4×5=20.

怎么知道能这样填？有没有其他不同填法呢？

由于十个方框里的数字各不相同，0又不能做二位数的首位数字，所以0只能填在第三

个等式里的最后一个方框，作为二位数的末位数字。

由此推出，第三式的左边一定有一个方框里填5，另一个填写偶数非零数字，可能是2、

4、6、8中的某一个，并且所填的这个偶数数字的一半，恰好等于等号右边乘积的十位数字。

0和5已经有了确定的位置，剩下的数字是1、2、3、4、6、7、8、9.要把这八个数字

分成三组，前两组各有三个数字，并且其中最大的等于另两个的和；最后一组包含两个数字，

其中一个等于另一个的两倍。不考虑顺序，唯一可能的分组方法是：

（1，7，8），（3，6，9），（2，4）。

这样就得到上面写出的填法。

两个加法算式可以互相交换位置，加号和乘号前后的两个数可以交换位置，这些简单变

形可以不加区别。在这种意义上，本题只有唯一的答案。

从上面这道题，可以变化出一道新题。

减法是加法的逆运算。从一个加法算式：

3＋6=9，

可以得到两个减法算式：

9-3=6， 9-6=3.

所以，知道怎样解答上面这道题目，也就会解答从它变形得到的下面的问题：

把0、1、2、…、9这十个不同数字全部填进下面的空格，使每个数字各占一格，并且

得到三个正确等式，应该怎样填？

□+□=□，

□-□=□，

□×□=□□。

变形以后的题目，有加、有减、有乘，变化更多，答案也从1个变成4个了。

66、比例百分数篇

1、甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利

润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是________元.

【解】：设方程：设甲成本为X元，则乙为2200-X元。根据条件我们可以求出列出方

程：90%×[（1+20%）X+(1+15%)(2200-X)]-2200=131。解得X=1200。

2、100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这

100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？

【解】：转化成浓度问题

相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）X，解得X=50。

方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％的干蘑菇加水后得

到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问

题了。但要注意，10千克的标注应该是含水量为99％的重量。将100千克按1∶1分配，

所以蒸发了100×1/2=50升水。

3、有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比

是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是________升。

【解】此题的关键是抓住不变量：差不变。这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中

加进同样多的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5÷（7-5）×5=12.5，所以加入水量为

4.5升。

4、有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重。如果从乙堆运

12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍。这两堆煤共重（ ）吨。

【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12×2=24吨，这样

乙堆运12吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，

说明相差1份，所以现在甲重48×2=96吨，总共重量为48×3=144吨。

5、一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再

拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开始时黑棋子，求白棋子各有多少枚？

【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10：5）变为1:5，而其

中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了

9份。

这样原来黑棋=45÷9×10=50，白棋=45÷9×5+15=40。

6、某中学，上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4％，女生增加5％，

共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人？

【解】男生156人，女生147人。

如果女生也是增加 4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比 13人少 1.4人.

因此上年度是 1.4÷（5％- 4％）＝140（人）.本年度女生有140×（1＋5％）＝ 147（人）.

7、袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与数量之比变为5：

3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少80

只，那么原先袋子里共有多少只球？

【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干

只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比

较。

红 白

原来 19 ：13=57：39

加红 5 ： 3=65：39

加白 13 ：11=65：55

原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39，再把加红与加白的前项统一

为65

与13的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球

从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份

为10只，总数为（57+39）×10=960只。

67、寻找沙漠中失散的伙伴

一个阿拉伯人在沙漠里与骑骆驼的同伴失散了，他找了整整一天也没有找到。傍晚，他

遇到了一个贝都印人。阿拉伯人询问贝都印人是否见到失踪的同伴和他的骆驼。

“你的同伴不仅是胖子，而且是跛子，对吗？”贝都印人问，“他手里是不是拿一根棍子？

他的骆驼只有一只眼，驮着枣子，是吗？”

阿拉伯人高兴地回答说：“对！对！这就是我的同伴和他的骆驼。你是什么时候看见的？

他往哪个方向走？”

贝都印人回答说：“我没有看见他。”

阿拉伯人生气地说：“你刚才详细地说出我的同伴和骆驼的样子，现在怎么又说没有见

到过呢？”

“我没有骗你，我确实没有看见过他。”贝都印人平静地说，“不过，我还知道，他在这

棵棕榈树下休息了许多时间，然后向叙利亚方向走去了。这一切发生在三个小时前。”

“你既然没有看见过他，那么，这一切又是怎么知道的呢？”

“我确实没有看见过他。我是从他的脚印里看出来的。你看这个人的脚印：左脚印要比

右脚印大且深，这不是说明，走过这里的人是个跛子吗？现在再比一比他和我的脚印，你会

发现，他的脚印比我的深，这不是表明他比我胖？你看，骆驼只吃它身体右边的草，这就说

明，骆驼只有一只眼，它只看到路的一边。你看，这些蚂蚁都聚在一起，难道你没有看清它

们都在吸吮枣汁吗？”

“你怎么确定他在三个小时前离开这里的呢？”

贝都印人解释说：“你看棕榈树的影子。在这样的大热天，你总不会认为一个人不要凉

快而坐在太阳光下吧！所以，可以肯定，你的同伴曾经是在树荫下休息过。可以推算出，阴

影从他躺下的地方移到现在我们站的地方，需要三个小时左右。”

听罢之后，阿拉伯人急忙朝叙利亚方向去找，果然找到了他的同伴。事实证明，贝都印

人说的一切都是正确的。

读完这则故事，想必你会钦佩这位贝都印人的敏锐的观察力。

一个观察力强的人能从一般人认为是司空见惯的事件中发现奇迹。一个观察力弱的人即

使进入宝山，也可能空手而返。苹果落地，火炉上的水壶盖被水蒸气掀开，这些都是人们十

分熟悉的现象，但牛顿和瓦特却由此分别发现和发明了万有引力定律和蒸气机。当然，这些

伟大的发现和发明并不是这么简单，但是观察力强的确是他们成功的重要因素。

68、一千零一

有一本书，叫做《一千零一夜》。

用数字1、2、3、4、5组成一个式子，使它等于1001，每个数字各用一次，数的排列

顺序可以打乱，添什么运算符号也随便，只要运算结果等于1001。能做到吗？

可以做到。下面就是一个满足条件的式子：

53×4×2＋1=1001。

在这里，记号53表示3个5连乘：

53=5×5×5。

记号53读成5的3次方，简称为5的立方。一个每边长度为5的正方体，它的体积等

于5的立方。

69、

三九变九三

“三九”是冬至以后第三个九天，寒冷的1月中旬。“九三”是九月三日，秋高

气爽，景色宜人。把“三”字和“九”字对调，“三九”就变成了“九三”。

有没有什么数学式子，能把三九变成九三呢？

随手就能写出一个：

3＋9=9+3.

做加法时，三九十二，九三也是十二。

这太容易，加法交换律众所周知。还有呢？

好吧，不用加法，改用乘法：

3×9=9×3.

做乘法时，三九二十七，九三还是二十七。

乘法交换律也熟悉透了。还有没有？

还要另外的三九？另外的九三？

一定要另外的，新鲜些的。

不容易呀。如果有点儿拖泥带水，请多包涵！

没问题，式子里夹点其他东西无所谓，但一定要有新意。试试看吧。999有三个

数字9，算不算三九？

算！九三呢？

333333333有九个数字3，算不算九三？

也算。怎么变过去？一定要用数学式子！

变变变变……变！出来了：999×333667=333333333.

通过乘以333667，把三个9变成了九个3。

70、加加减减得一百

一百，这个数常被人们挂在嘴边。公园里百花齐放，球场上投篮百发百中，商店里服务

员百问不厌、百拿不烦，学校里百年树人、考试拿一百分。

下面有一个式子，左边是123456789，九个不为零的数字全出场，从小到大按自然增长

顺序排列；右边就是常被挂在嘴边的100.

123456789=100.

怎样在左边插进一些加号和减号，使左边的运算结果等于右边？

可以写出很多不同的式子，都满足问题的条件。下面是其中的几个：

12＋3-4＋5＋67＋8＋9=100

12+3＋4+5-6-7+89=100

1＋23-4＋56＋7＋8＋9=100

123-4-5-6-7＋8-9=100

123+45-67+8-9＝100

123+4-5+67-89=100

71、祝福短信里的数学

电话、手机、计算机，朋友之间传信息；新年、新春、新景象，祝福朋友皆安康。逢年

过节，近道的走亲访友，远路的打电话问候。随着生活的发展，除打电话拜年问好之外，用

手机、计算机发短信祝福又成了时尚。除夕夜，我的手机短信接连不断，读着远方朋友的真

挚祝福，我发现这短信里也有很多数学。

数学是交流的语言，尤其是数字，一二三四五，六七八九十用得最多。如：

（1）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘

子六斤桃，年年招财又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒果十斤瓜，愿你天

天乐开花！

（2）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，五福临门，六六大顺，七星高照，

八方来财，九九同心，十全十美。

（3）新年到了，送你一个饺子平安皮儿包着如意馅，用真情煮熟，吃一口快乐两口幸

福三口顺利然后喝全家健康汤，回味是温馨，余香是祝福。

（4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰，第二片叶子是希望，第三片叶子是

爱情，第四片叶子是幸运。送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！

有的干脆把汉字一二三四五，换成了阿拉伯数字12345，如：

（5）新的1年开始，祝好事接2连3，心情4季如春，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔

8点小财，烦恼抛到9霄云外！

（6）新的1年就要开始了，愿好事接2连3，心情4春天阳光，生活5颜6色，7彩缤

纷，偶尔8点小财，一切烦恼抛到9宵云外，请接受我10全10美的祝福。

两条短信很类似，有很多成语是相同的，除了都精选了吉祥的含有数字的成语外，都取

了“发”的谐音8.第二条短信中“心情4春天阳光”，还取了“似”的谐音4.

下面的这条短信，则把一年的时间用不同的计时单位进行了换算。

（7）在新的一年里，祝你十二个月月月开心，五十二个星期期期愉快，三百六十五天

天天好运，八千七百六十小时时时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，三千一百五十三万

六千秒秒秒成功。

用一年两个字能表示的，却用三千一百五十三万六千秒这一“冗长”的话来表达，好话语

百听不厌嘛。不如此，不足以表达自己真挚、细腻、酣畅而热烈的美好祝愿。

祝福的话说得越多越好，有限的词语与无限的祝福相比较，总有言不尽意之感觉，如何

解决这多与少的矛盾，数学中整体与部分的关系在这里有了用武之地：

（8）如果一滴水代表一个祝福，我送你一个东海；如果一颗星代表一份幸福，我送你

一条银河；如果一棵树代表一份思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！

解决祝福的心情无限与词语有限的矛盾，还有一个方法，就是用虚数表达。我国汉语中

有很多数字是虚数，不是实指，而是代表很多。下面两则短信中的“千万”、“万两”都是虚数。

前一条还用到了数学中的加减与分解，后一条诙谐幽默，着实能给我们以快乐。

（9）新年到了，想想没什么送给你的，又不打算给你太多，只有给你五千万：千万要

快乐！千万要健康！千万要平安！千万要知足！千万不要忘记我！

（10）圣旨到！奉天承运，皇帝诏曰：猴年已到特赐红包一个，内有幸福万两，快乐万

两，笑容万两，愿卿家饱尝幸福快乐之微笑，钦此！

72、怎样算卖鸡蛋

一个农村少年，提了一筐鸡蛋到市场上去卖。他把所有鸡蛋的一半加半个，卖给了第一

个顾客；又把剩下的一半加半个，卖给了第二个顾客；再把剩下的一半加半个，卖给了第三

个顾客……当他把最后剩下的一半加半个，卖给了第六个顾客的时候，所有的鸡蛋全部卖完

了，并且所有顾客买到的都是整个的鸡蛋。请问：这个少年一共拿了多少鸡蛋到市场上去卖？

半个鸡蛋怎么卖呢？这个题看起来难，其实简单。用倒推法，问题一下就解决了。要紧

的是要想清楚，第六次的一半加半个只能是一个鸡蛋。倒推法简便可靠，是一种解决问题的

好方法。

73、习惯路线(图)

有一户人家，父女二人在同一所学校工作。如图，这两个人从家走到学校，各有自己的

习惯路线。父亲喜欢尽量少拐弯；女儿却喜欢一路穿街走巷，不放弃每次拐弯的机会。如果

图中每一条路都是沿着南北或东西的方向，那么父亲和女儿谁走的路短一些？

答案是：两条路的长短相同。

74、找零钱

小华到商店买练习薄，每本3角钱，共买 9本，应该付款 2元7角。

服务员问：“您有零钱吗？”

小华说，“我带的都是零钱，5角一张。”

服务员说，“真不凑巧，您没有2角一张的，我的零钱反而都是2角的，没有1角的。”

有没有办法能把零钱找开呢？

由于：

27=35-8=5×7-2×4，

只要由小华付出7张5角的，服务员找回4张2角的，就能解决找零钱的麻烦。

75、

改个符号变等式

语文老师改作文，只在关键地方做一点点很小的改动，就能使病句变成佳句。

现在有一道错误的数学式子：

1＋2＋3+4+5+6＋7＋8＋9=35.

能不能只改一个符号，就使它变成正确的等式？由于：

1＋2＋3+4＋5+6＋7+8+9=45，

如果允许改动数字，只要把原式右边的十位数字3改成4，改动也很小。但是规

定只能改符号，不能改数字，还需另想办法。

因为原式左边比右边大10，要想办法使左边减少10.为此，只要把加5改成减5，

就能达到目的。所以可将原式修改成：

1＋2＋3＋4-5＋6＋7＋8＋9=35.

刚改好一道式子，紧接着又来一道：

1＋2×3+4×5+6×7+8×9=86.

也是只能改动一个符号，要使它变成正确等式。

先计算左边的值究竟是多少：

1+2×3＋4×5＋6×7＋8×9=141.

左边值大，右边值小，两边的差是：

141-86=55.

在左边改动哪一个符号，能使它的值减少55呢？

前面各项的值都不超过42，太小，改一处不顶用；只有最后一项的值是72，大

于55，回旋余地较大，有点希望。试将最后一个乘号改成加号，结果得到正确的等

式：

1＋2×3+4×5＋6×7+8+9=86.

76、三个9做游戏

用三个9和适当的数学符号能得到11吗？

这题目很容易，答案脱口而出：

99÷9＝11.

用三个9和适当的数学符号能得到10吗？

这题目也不难，稍稍想一想，就能写出：

9÷9＋9＝10.

用三个9和适当的数学符号，能不能得到20呢？

试试看……

加号、减号、乘号、除号、乘方、括号，能想到的办法全试过了，就是得不出20。是

不是应该回答“不能”？

暂时不要下结论，再想想，还有什么常用数学符号？

还有……有了，小数点！可以利用小数点，得到：

（9＋9）÷。9=20.

小数点只有一点点小，容易被人忘记，但是它的作用却很大，不可忽视。

77、蝴蝶效应

气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙

卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶

效应」。就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数

也不一定是相同的。Lorenz为何要写这篇论文呢？

这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只

需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下

一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。

这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输

入电脑，让电脑计算出更多的后续结果。当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来

之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时后，结果出来了，不过令他目瞪口呆。

结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的

两笔资讯。而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0.000127，而这些微的差异却造

成天壤之别。所以长期的准确预测天气是不可能的。

78、四个4

用四个4和适当的数学符号，可以分别得到1、2、3、4、5、6、7、8、9、10.例如：

4÷4＋4-4=1，

4÷4＋4÷4=2，

（4＋4＋4）÷4=3，

4＋4×（4-4）=4，

（4×4＋4）÷4=5，

（4+4）÷4＋4=6，

4＋4-4÷4=7，

4＋4＋4-4=8，

4÷4＋4+4=9，

（44-4）÷4＝10.

仔细观察上面十个等式，就会发现它们是分别按照几种不同思路组成的。这一方面是为

了适当变化，增加趣味，另一方面也由于只用一种思路不能解决全部问题。

即使是空闲时做个这样的数学小游戏，也不宜抱着单一思路强攻硬上。在平时的学习和

工作中更需注意针对问题特点，采取灵活多变的思路。

79、数字与符号的舞蹈

怎样用五个数字1、2、3、4、5和适当的数学符号，分别得到10、20、40和80？

下面对每种得数写出了一种解法：

（1＋2＋3-4）×5=10，

（1＋2-3＋4）×5=20，

（12÷3＋4）×5=40，

12÷3×4×5＝80.

其中，在得数为80的等式中，只用了乘法和除法两种运算。

请问，在用1、2、3、4、5和数学符号得到10的时候，能否也只用两种运算呢？

回答是“能”。因为可以写出下面的等式，其中只用乘法和减法：

（1×2×3-4）×5＝10.

事实上，前三个自然数1、2、3有一个有趣的性质：

1＋2+3=1×2×3，

所以，把原来在1、2、3之间的两个加号同时换成两个乘号，结果不变。

80、三对运算 九个数字

下面是一个有趣的等式：

（6×9）÷（3×18）＝（2＋7）÷（4＋5）。

在这个式子里，数字1、2、3、4、5、6、7、8、9全出现，并且都只出现一次。等式里

的运算符号，有两个加号、两个乘号和两个除号，共计3对运算。

略微改动一下，就可以把两个加换成两个减：

（6×9）÷（3×18）＝（4-2）÷（7-5）。

还可以使等式两边各有一加、一减、一乘：

（12+3）×（5-4）=（6+9）×（8-7）。

最后这个等式里，小数字都在左边，大数字都在右边。

81、两个算式

从0到9，共有10个不同数字，分别填进下面的10个空格里，使它们成为两道正确的

算式，应该怎样填？

□□×□=□□，

□□×□=□□。

容易知道，数字0一定要写在等号右边的个位上。有0的这个式子，左边一定要在个位

上出现5.

由此，通过试验，可以得到下面的答案：

15×4=60，

29×3＝87。

82、九九二千的数学题

人们常说“九九八十一”，这是一句乘法口诀。

在特定的情形下，也可以说“九九二千”，因为这句话概括了一道数学题：

用9个9和适当的数学符号组成算式，使计算结果等于2000.

可以先用6个9组成两个数999、999，两数相加，比2000还差2，只需用剩下的3个

9得到2就行了。由此得到等式：

999+999＋（9+9）÷9=2000.

能不能把“九九二千”换成“八九二千”？

就是说，能否用8个9和适当的数学符号组成算式，使计算结果等于2000呢？

可以从其中的3个9得到2，从另外5个9得到1000，组成下面的等式：

（999＋9÷9）×［（9＋9）÷9］=2000.

83、

添添符号就相等

在下列各式的左边添进适当的数学符号，使等号两边变成相等。

321＝9，

4321=9，

54321=9，

654321=9，

7654321=9，

87654321=9，

987654321=9.

可用的办法很多，下面是一组参考答案。

3×（2＋1）＝9，

4＋3＋2×1=9，

54÷3÷2÷1＝9，

（6＋54）÷3÷2-1＝9，

（76＋5）÷（4×3-2-1）＝9，

（87-6-54）÷3×（2-1）＝9，

（98÷7-6）×5÷4-3＋2×1=9.

84、怎样得到8

怎样在以下各式左边添加适当的数学符号，使等号两边相等？

1234=8，

12345=8，

123456=8，

1234567=8，

12345678=8.

每个人可以充分发挥自己的创造性，写出各种可能的等式。下面是一组参考答案。

12÷3＋4＝8，

12-3＋4-5=8，

（1+2＋3+4）÷5+6=8，

（1+2-3）×4＋56÷7=8，

[1×（2+3-4）+56+7]÷8=8.

85、九前八后(图)

如图，老师在黑板上写了一道奇怪的等式，让大家思考。

老师写在黑板上的式子 图片来源于网络

老师写在黑板上的式子是：

123456798=100.

其中，等号右边是100，左边是从 1到9，但是8和9的位置对调，9在前，8在后。

式于下面还写了加、减、乘、除符号。题目的要求是，不改变数字排列顺序，在左边适当添

上一些运算符号，也可以加括号，使它变成正确的等式。

一种最容易想到的思考方法是从近处往远处联想。原式左边最靠近答数100的是98，

因此只要用前面的1至7运算得出2，就能满足要求。从这条路想下去，得到等式：

12÷3＋4-5+6-7＋98=100.

另一种常用思考方法是从远处向近处靠拢。观察左边数字串123456798的开头部分，截

取最前三位123，它与答数100比较接近。从123再设法向100靠拢，得到算式：

123＋45-67-9＋8=100.

86、加加减减得一百

一百，这个数常被人们挂在嘴边。公园里百花齐放，球场上投篮百发百中，商店里服务

员百问不厌、百拿不烦，学校里百年树人、考试拿一百分。

下面有一个式子，左边是123456789，九个不为零的数字全出场，从小到大按自然增长

顺序排列；右边就是常被挂在嘴边的100。

123456789=100.

怎样在左边插进一些加号和减号，使左边的运算结果等于右边？

可以写出很多不同的式子，都满足问题的条件。下面是其中的几个：

12＋3-4＋5＋67＋8＋9=100，

12+3＋4+5-6-7+89=100，

1＋23-4＋56＋7＋8＋9=100，

123-4-5-6-7＋8-9=100，

123+45-67+8-9＝100，

123+4-5+67-89=100.

87、

回家路上

如图1，一个小孩要从右上角他现在站的地方回到左下角的家里。他希望走路不

重复，并且走过的各数乘起来刚好等于1000.应该走哪条路呢？

答案见图2.这是唯一满足条件的路线。

88、九缺一

有一个奇妙的数98765432，简称为魔数。在九个非零数字中，魔数拥有八个数字，只

缺一个，可说是“九缺一”。而缺少的这个，又恰好是数字“1”。

不仅如此，魔数98765432的“九缺一”特性大发挥，还引出了一系列的九缺一连锁题。

问题（a）把魔数除以2，得到：98765432÷2＝49382716，商数49382716在九个数字1

至9中，只缺一个5。

问题（b）把（a）的结果除以2，得到：49382716÷2=24691358，商数24691358在九个

数字里只缺7。

问题（c）把（b）的结果除以2，得到：24691358÷2＝12345679，商数12345679在九

个数字里缺8。

问题（d）把（c）的结果乘以5，得到：12345679×5=61728395，乘积61728395缺4。

问题（e）把（d）的结果与（b）的结果相加，得到：61728395+24691358=86417953，

和数86417953缺2。

问题（f）用9分别去乘魔数，以及去乘（a）到（e）各题的结果，所得乘积顺次如下：

魔数缺1，乘以9后，得到888888888；

（a）的得数缺5，乘以9后，得到444444444；

（b）的得数缺7，乘以9后，得到222222222；

（C）的得数缺8，乘以9后，得到111111111；

（d）的得数缺4，乘以9后，得到555555555；

（e）的得数缺2，乘以9后，得到777777777。

以上所得几个乘积的共同规律是：如果原数缺数字n，那么它与9的乘积是由数字（9-n）

重复组成的九位数。

89、有八无八

有一个特别的数，可以用“有八无八”四个字来描写它。

“有八”，是说这个数有八位数字：“无八”，是说从数字1到数字9顺次出场，其中

惟独没有数字8。

“有”和“无”结合，可知这个数是：12345679。

这个数的妙处，可以从下面的等式里看出：12345679×9＝111111111。

原来的数很有规律，乘过9以后，得到的数更有规律，变成9个1了。

刚开始学习用珠算或笔算做乘法时，老师和学生都喜欢下面一组练习题：

12345679×9=111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

这些题目的被乘数和乘数都很容易记住，乘积更容易记住。反复做这几题，用不着

抄题目，也无需对答案，非常方便。

90、

宝塔加高

这里有一座用等式堆积而成的5层宝塔。

9×6=54

99×96=9504

999×996=995004

9999×9996=99950004

99999×99996＝9999500004

请你将这宝塔再加高两层，变成7层。

通过观察原来的宝塔，揣摩各层排列的规律，可以按原规律往下再接两层：

999999×999996=999995000004

9999999×9999996=99999950000004

两道式子是添上去了，式子中间的等号也写了，可是心里不踏实。这只是大胆猜

想，不知道对不对？果真相等吗？

可以任意抽查其中一道或几道式于。例如抽查最后一道等式。计算左边的乘积，

得到：

9999999×9999996=(10000000-1)×9999996

=9999996000

=99999950000004

可见原等式正确。

同理可知其他各式也都是正确的。

91、

连环数字塔

这里有一座八层宝塔，由一串等式组成。在每个等式里，左端各数的数字从前往

后顺次加1，右端各数的数字从前往后顺次减1.

1×8＋1=9

12×8＋2=98

123×8＋3=987

1234×8＋4＝9876

12345×8＋5=98765

123456×8＋6=987654

1234567×8＋7=9876543

12345678×8＋8=98765432

用上面这座宝塔右边各数改做左边，可以得到另一座数的宝塔如下。

9×9＋7＝88

98×9＋6=888

987×9＋5=8888

9876×9＋4=88888

98765×9＋3=888888

987654×9＋2=8888888

9876543×9＋1=88888888

98765432×9＋0=888888888

通过变形，还能由此得到新的数塔。

例如，取出第一座数塔的最下面一行：

12345678×8+8=98765432.

把它的两边同时加上左边第一个数12345678，然后两边加1，成为：

12345678×8+12345678＋8＋1

=98765432+12345678+1，

也就是

12345678×9+9=111111111.

从这一行往上面去，每一行都作类似变形，就得到形状完全不同的另一个数塔。

所得的新数塔也有八层，再另加一层类似结构的塔尖，就得到上节中的九层数塔

了。

92、

九层数塔

下面的九层宝塔，是由一些有趣的等式组成的。

1×9＋2=11

12×9＋3=111

123×9＋4=1111

1234×9＋5=11111

12345×9＋6=111111

123456×9＋7=1111111

1234567×9＋8=11111111

12345678×9＋9=111111111

123456789×9＋10=1111111111

怎么会这样凑巧？有没有搞错呢？

随便抽查一道式子，算算看，两边是否真的相等？

例如，查一查从上往下第四道算式，用乘法速算，把乘数9换成(10-1)，得到：

1234×9＋5=1234×(10-1)+5

=12340-1234+5

=12345-1234

=11111

通过验证，知道原式果然是正确的。

如果一开始就写12345-1234=11111，谁都会说，“这不奇怪，这很简单。”学

习数学，可以学会变形，把奇怪的变成不奇怪的，复杂的变成简单的。

93、有八无八

有一个特别的数，可以用“有八无八”四个字来描写它。

“有八”，是说这个数有八位数字：“无八”，是说从数字1到数字9顺次出场，其中

惟独没有数字8。

“有”和“无”结合，可知这个数是：12345679。

这个数的妙处，可以从下面的等式里看出：12345679×9＝111111111。

原来的数很有规律，乘过9以后，得到的数更有规律，变成9个1了。

刚开始学习用珠算或笔算做乘法时，老师和学生都喜欢下面一组练习题：

12345679×9=111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

这些题目的被乘数和乘数都很容易记住，乘积更容易记住。反复做这几题，用不着

抄题目，也无需对答案，非常方便。

94、数字信

有一个人，干起工作来很认真，技术又好，不过有个缺点，喝起酒来一醉方休。喝醉了

酒，不是骂人，就是打架。亲戚朋友都劝他少喝酒，甚至不喝，却总是改不了。

一天，这位爱喝酒的朋友收到一封信。拆开一看，信纸上写的全是数字：

99

8179 7954

76229 8406 9405

769 18934

1.291817

奇怪呀，这么多数字，什么意思？怎么一点点文字说明都没有呢？

是帐单？是银行存款单的帐号和金额？是密码？是朋友开玩笑，还是坏蛋恐吓敲诈？越

想越紧张，越想越害怕，赶紧找对门数学老师帮助看看。

数学老师把信仔细看了几遍，问道：“你的小外甥爱不爱看电视？”

“怎么不爱看，经常学电视里说话，南腔北调，一说一大套。一会儿称我舅舅，一会儿

喊我动动腰。”

“要你活动活动腰部？”

“哪里，外甥封我做001号警长啦！他说电视里面的警察手拿对讲机，想找代号01的人，

就喊‘动腰动腰’；想找02，就喊‘动两动两’。见了我001，就喊‘动动腰’啦。”

数学老师微微一笑，说：“这就对了。打电话怕数字听错，0读成‘洞’，1读成‘么’，2

读成‘两’。这封信是你那满口南腔北调的好外甥写的，我读出来你听听。”

这封全是数字的信，读起来，原来是这样的：

舅舅

不要吃酒 吃酒误事

吃了二两酒 不是动怒 就是动武

吃了酒 要被酒杀死

一点儿酒 也不要吃

舅舅听了，脸红到耳根，连声说道：“不吃！不吃！”

95、火柴等式

图1是用火柴摆成的数学式子，虽然里面有一个等号，但实际上两边并不相等。只许移

动一根火柴，要使它变成正确的等式。应该移动哪一根？

只要在右边把6改成9，就得到正确等式，如图2.

如果不许移动任何火柴，就要把原图变成正确等式，能做到吗？

可以做到，只要把图形倒过来看就行了。

96、井和口

水井的计量单位是“口”，人们常说“一口井”、“两口井”，等等。图1是用16根火柴棒

排成的一个“井”字。

现在希望移动6根火柴，使它变成两个同样大小的“口”字。应该怎样移动？

由简单的计算知道，16=（4×2）×2。

因而可用16根火柴排成两个边长为2的正方形。

原图“井”字的中间已经有一个边长为2的正方形，只需移动“井”字四角的8根火柴，使

它们也组成一个边长为2的正方形。

但是题目要求只移动6根火柴，所以应该保留“井”字的一角不动，将其他三个角上的火

柴移过来，得到图2所示的答案。

97、一弓变二口

从一盒火柴中取出15根，排成图1所示的“弓”字形。

只许移动其中的4根，要用这些火柴排成两个正方形，怎样移动？

一动手搬火柴，就会发现，先要知道两个正方形各是多大。所以不妨先做一点简单的计

算。

一个正方形的四边所用火柴棒的根数相同，所以排成一个正方形所用火柴棒的根数是4

的倍数。

原图共有火柴15根，试从15中拆出一个4的倍数，得到：

15=12＋3

=12＋4-1

=4×3+4×1-1

由此可见，可以设法排成一个每边3根火柴的正方形和一个每边1根火柴的正方形，使

小正方形有一边在大正方形的边上，例如可以排成图2。

从原图移动4根火柴得到新图的方法，如图3所示，其中虚线表示移动的火柴。

98、扩大总面积

图1所示的方格图案由28根火些组成，共有5个正方形。

把一根火柴的长度取成长度单位，那么图1中5个正方形的总面积是：4×2+1×3=11。

还是用28根火柴，还是组成5个正方形，但是要使总面积变得更大，能不能做到呢？

可以采用图2的排列方法。

在图2中，从左上到右下一连串4个小正方形，再加上外围1个大正方形，正方形的总

数还是5个。

外围大正方形有4条边，每边用4根火柴；里面有3横、3竖，每横每竖各用2根火柴，

总根数是：4×4＋2×3＋2×3=28，所以图2用的火柴数目还是28根。

边长为1的正方形有4个，边长为4的正方形有1个，它们的面积的和是：

1×4+16×1=20。

这样，就把5个正方形的总面积从11扩大到20，一根火柴也没有多用。实际上，仅仅

现在一个大正方形的面积，就已超过原来5个正方形面积的总和了。