复数的模公式(复数的对数运算)

数轴上，负整数填充正整数留下的空白，有理数填充整数的空白，无理数填充无理数的空白，这样实轴上就填充了无数个数，那么一定有一些数填充实数的空白，这些数就是复数。复数的起源已经有几百年的历史了。最早的时候是求二次方程ax2+bx+c=0的根。如果判别式δ = B2-4ac < 0，则无解。比如x2+1的解，可以根据公式求出。

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这在实数范围内是无法理解的。后来，数学家们引入了一个“虚数”I，它来自于英语中的imaginary的首字母，并把

,

解决了判别式小于零时一元二次方程无解的问题。我们称I为单位虚数。然后=7i。

虚数I满足下面的基本公式:

虚数 i 的定义虚数I的定义

可以看出，I的幂变换是每四个幂值为一个循环。

复数是实数和虚数的和。它的标准写法是a+bi，其中A是实部，B是虚部。整个复集合形成一个平面叫做复平面，是直角坐标平面上的一个点。X轴称为实轴，Y轴为虚轴，如图Complex -2+3i。

复数的一点复数的一个点

复数可以加、减、乘、除、乘、求根。本文不讨论复数的根。

1.复数的加法和减法，即两个复数的实部和虚部分别相加和相减。

复数相加减复杂的加法和减法

2.复数的乘法，和普通的代数运算完全一样:

复数的乘法运算复数乘法

3.在复数的除法中，分母中的A和B都不等于0。我们称a-bi为a+bi的共轭复数。为了消除分母中的虚数，分子和分母要同时乘以分母的共轭复数，如下运算，

复数的除法运算复数除法

4.复平面上的一点可以看作是起点为原点的向量的终点，这样就可以在复平面上进行向量运算。

复平面上向量的加减复平面上向量的加法和减法

1.复数的模

如果z = x+iy，定义

模的公式模数公式

是复数Z的模..图中θ角称为振幅角，其大小记为Argz = θ+2kπ，k为整数。如果-π < θ ≦ π，则称为主振幅角，记为argz。与此同时，

复数的极坐标表达复极坐标表达式

，那么复数可以表示为:

Z = r cosθ+ ir sinθ= r(cosθ+ i sinθ)，这是复数的极坐标形式或振幅-振幅角形式。

复数的模和幅角复数的模和振幅角

z = x+iy的共轭形式写为

共轭复数共轭复数

记住z的倒数是，

很容易证明下面的模方程:

复数的特性复数的特征

6.利用复数的模形式，可以推导出复数乘积的模角等于两个复数的模角之和。

其他的可以自己推导出来:

7.德莫维尔定理:若n为整数，且有下列等式，则是上述公式的推广。

最后说一个很简单的复数f(x) = x2+c点集构成的复图。这是一个迭代操作。如果初始x0=0，设:

这个迭代一直在进行。当复数C取某个定数时，就会形成曼德尔伯格点集，这是在复平面上形成一个分形的点的集合，以数学家本华·曼德尔伯格命名。以下图形由计算机迭代着色而成。

曼德博分形图曼德尔伯格分形图

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