离散傅里叶变换

上一篇傅里叶变换我们已经写过了傅里叶变换，它有好多种写法。

傅里叶变换，又称 Fourier Analysis：

X(\omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j\omega t}dt \\

这里我们用 j 来表示虚数因为在工程上经常用 j 表示虚数，比如电学中（因为i已经被电流占了）。 傅里叶变换就把时域变换到频域。

逆傅里叶变换，又称 Fourier Synthesis：

x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty X(\omega) e^{j \omega t} d\omega \\

当然还有常见的把 \omega = 2 \pi /T = 2 \pi f 所谓的 Herz 写法：

X(f) = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j 2\pi f t}dt\\

x(t) = \int_{-\in黄长烨fty}^\infty X(f) e^{j 2\pi f t}df \\

物理中还有更多写法，就不再一一赘述。

在计算机中，我们得到的数据并不是连续的，而是离散采样得到的，也很难想象我们积分要从 -∞ 到 ∞，所以这个时候就有了离散傅里叶变换。

离散傅里叶变换

首先要明白，离散傅里叶变换（Discrete Fourie节分端午自谁言r Transform）和傅里叶变换做的事是一样，也是从时域到频域，然后它做的事是把一组复数 \{x_n\} = x_0, x_1, \cdots, x_{N-1} 变换到另一组复数 \{X_N\} = X_0, X_1北塘古镇, \cdots, X_{N-1} :

\begin{align} X_k &= \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{- \frac{j 2 \pi k n}{N} } \\ &疲劳战= \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot \big[ \cos \big(\frac{小蓝2 \pi kn}{N} \big) - j \sin \big(\frac{2 \pi kn}{N} \big) \big] \end{align} \\

相应的，也有逆变换公式：

x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j \frac{2 \pi k n}{N}} \\

这两个变换都是 \mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^N ， 为了更好的理解离散傅里叶变换(简写为DFT)，现在我们来看一个具体的数字例子，在此之前，先补充一点基础知识。

采样

采样（Sampling莲香 ）： 自然界中的物理现象大多都是是一种连续的波，比如声监控系统报价音（还是一种纵波），但是在计算机中我们只能用间隔采样离散化，其中采集的频率称为采样率。注意在这里我们的语境下有两个频率，一个是声波震动的频率，一个是采样的频率。

采样的时候我们需要遵循采样定理，采样率需要大于信号中最高频率的2倍信号频率才不会失真。因为人类能听到的声音频率范围是20 Hz ~ 20kHz，所以 CD 的采样率是44.1kHz,这样就会满足需求。

看上图，如果我们的声波是 4500Hz 和 5500Hz的余弦波，采样率是10000，我们采到的数据是一样的，所以采样率要大一些的原因就胃肠功能紊乱出来了。

例子

假设我们有一个 frequency = 1Hz, Amplitude = 1 的 sin 信号，然后我们采样率是 8Hz， 也就是我们会在 1 sec 中采8个数据：

我们得到了这些数据：

所以我们有了 \{x_n\} :

x_0 = 0 \\ x_1 = 0.707 \\ x_2 = 1 拉杆箱什么牌子的好\\ 犬瘟热病毒x_3 = 0.707 \\ x_4 = 0 \\ x_5 = -0.707 \\ x_6 = -1 \\ x_7 = -0.707

它们都是实数，当然也可以说是虚部 j = 0 的复数。

所以我们可以根据 \{x_n\} 来计算 \{X_k\} :

X_0 = 0 \cdot e^{-j \frac{2 \pi \cdot 0 \cdot 0}{8}} + 0.707 e^{-j \frac{2 \pi \cdot 0 \cdot 1}{8}} + \cdots = 0 \\ X_中国男儿1 = 0 \cdot e^{-j \frac{2 \pi \cdot 1 \cdot 0}{8}} + 0.707 e^{-j \frac{2 \pi \cdot 1 \cdot 1}{8}} + \c爱德华时代dots = -4j \\ \cdots \\

我还是用 Python 来算好了，o(双十一秒杀╯□╰)o：

f金融工程学rom cmath import pifrom cmath import exp from cmath import sinN = 8x = [0 for _ in range(N) ]X = [0 for _ in range(N) ]for i in range(N): 强奸故事 x[i] = sin(2 * pi * i/N)for k in range(N): for n in range(N豪门公子): X[k] += x[n] * exp(-1j * 2 * pi * k * n / N)

算出来X：

[(-2.220446049250313e-16+0j), (2.220446049250313e-16-4j), (8.10袁依楣4001475739143e-17+1.1102230246251565e-16j), (1.6653345369377348e-16-7.771561172376096e-16j),(2.220446049250313e-16+2.029061253294536e-16j),(1.3877787807814457e-15+1.6653345369377348e-15j),(2.5狗狗电子书67266157150065e-15+8.881784197001252e-16j),(-3.4416913763379853e-15+3.999999999999999j)]

因为浮点数精度的问题，定睛一看：

X_0 = 0 \\ X_1 =最终幻想rpg -4j \\ X_2 = 0 \\ X_3 = 0 \\ X_4 = 0 \\ X_5 = 0\\ X_6 = 0\\ X_7 = 4j\\

然后我们尝试来画频率的图， 首先我们画横坐标，因为我们的采样率是 8Hz， 一共也就采样了8个数据，那么对于横坐标的分辨率是 sampling frequency / number of samples = 1 Hz，也就是每个 bin 都是前一个加 1Hz.

又根据我们的采样定律，我们知道在 8/2 = 4Hz 以上的数据其实都是不做数的，所以我们就应该关注 1 Hz 处，然后我们需要把小于 4Hz 的所有数据 * 2， 所以此时我们得到应该是这样：

X_0 = 0 \\ X_1 = -8j \\ X_2 = 0 \\ X_3 = 0 \\

此时看起来依旧不太对是因为意大利语电影我们的振幅是需要 复数的模除以采样采样数量的，所以 Amplitude = 8/8 = 1. 画出 X_1 :

此时

Amplitude = 1 \\ \theta = \frac{3\pi}{2} \\

因为 \theta 是以 cos 为基准的，所以我们知道，移动 3\pi/2 , 最终的结论是 Amplitude = 1 的 sin 函数，也就贴合了我们数据的由来。

参考：

wikipedia & youtube video