力学要点(六)：机械振动

01 振动的概念

物理量随时间来回往复的变化称之为振动，若质点的位移随着时间往复变化，则为机械振动。

02 简谐振动运动学特征

简谐振动是指满足以下余弦函数形式

的振动，三个特征物理量：

振幅 A ，质点运动的最大位置，决定振动的能量。

角频率 \omega赫克托，决定振动的周期和频率：

初相 \phi ，决定振动初始时刻的状态。

根据傅里叶级数，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，据此，任何复杂的振动总手癣用什么药可以分解为若干个简谐振动，所以简谐振动在数学上是最简单的振动。

03 简富春山居图赏析谐振动的相位

简谐振动的核心是 \omeg春夏女鞋a t+\phi 梅艳芳母亲，即{\rm cos}函数里面的那一团东东，称之为相位。只需对其施加一个固定的运算（余弦函数运算法则）就得到质点的位置，因此，相位的值决定了质点的位置，也就决定了它的状态。

相差：相位相减得到的差

同相：两个振动的相差是

反相：两个振动的相差是

以上式中 k 为整数。

04 简谐振动的动力学特征

力的特点：所受到的合外力与位移的大小成正比，但方向相反，即回复力

动力学方程：根据牛顿第二定律 f=ma ，令 \omega=\sqrt{k/m} 得到

振动方程：即动力学方程的解 A{\rm cos}(\omega t+\phi)

初始条件： t=0 时位置 x_0 和速度 v_0 代入得到

以及

振动速度：对振动方程求时间导数，得到

振动加速度：

为了要比较位置、速度和加速度的相位关系，将其统一为余弦函数的形式，并确保系数为正数（振幅总是正数）

可以看到，加速度的相位超前于速度，而速度的相位又超前于位置，体现了一种它们彼此之间的因果关系。

05 简谐振动实例

弹簧振子：

单摆：摆动角度 \theta<5^{\circ}

推而广之： 一个受到势 U(x) 作用的质点，若U(x) 具有局域极小值，在最低点附近可以看成一个开口向上的抛物线位于最低点的那一部分，很显然，它与弹簧振子的势函数 (1/2)kx^2 是类似的，因此所对应的保守力也有 f=-kx 的形式，满足简谐振动的要求，据此，我们可以得出一个普遍的结论：若质点处于稳定平衡的附近，会导致简谐振动。

06 简谐振动的旋转矢量法

将简谐振动看成是一个绕着固定端逆时针匀速转动的棒子的另一端在 x 轴上的投影点的运动，设该棒子长为 A ，角速度为 \omega ，如图所示

华硕x450vt 时刻，它与 x 轴之间的夹角是 \omega t+\phi ，因此，端点 P 的投影点的横坐标为

刚好就是简谐振动的运动学方程。

在旋转矢量的直观图像中，简谐振动的初相对应旋转矢量零时刻时与 x 轴正向的夹角，而任意时刻 t 的相位就对应该时刻旋转矢量与 x 轴正向之间的夹角 \omega t+\phi 。

根据旋转矢量法，快速确定简谐振动的初相，分步如下：

1. 根据0时刻的位置 x 的值，找到可能的旋转矢量，一般是两个。

2. 根据0时刻的速度 v 的值，排除其中一个旋转矢量。

3. 剩下的那个旋转矢量与 x 轴的夹角就是初相 \p少儿重疾险hi 。

07 简谐振动的能量

动能：

势能：

总能量：

可见，简谐振动动能和势能也是做周期变化，振幅和频率相同，但彼此刚好反相变化，故它们的和保持恒定，即机械能守恒。

08 简谐振动的合成

a. 同方向同频率振动的合成，设

则合振动

其中振幅和初相分别如下：

据相位差 \Delta\phi=\phi_2-\phi_1 可知

振动最强：当 \Delta\phi=2k\pi 时， A=A_1+A_2

振动最弱：当 \Delta\phi=(2k+1)\pi 时， A=|A_1-A_2|

根据旋转矢量法，可以直观的理解同方向同频率的抗战到底振动港货网的合成，即看作是两个匀速转动的矢量，以它们为邻边的平行四边形的形状保持不变，它的对角线的长度恒定，且也以相同的角速度转动，它是合振动的旋转矢量，作图分析可以得出以上数学结论。

b. 同方向频率接近的简谐振动的合成，为了简化分析，设两个振动的初相相同(都为 \p考研人hi )，振幅相同(都为 A_0 )，且 \omega_2&肌肉女gt;\omega_1 ，则合振怒江旅游动为

令合振动的振幅为 A=2A_0{\rm cos}\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t ，则合振动为

因此seo推广软件合振动是一个振幅做周期性变化的振动，不再是简谐振动，即形成所谓“拍"现象，其拍频为 \nu=\nu_2-\nu_1 。

c. 振动方向互相垂直，振动频率相同的振动的合成，设

消去参数 t 可得到运动的轨迹方程为

通常运动轨迹是一个椭圆，当 \phi_2-\phi_1=k\pi 时，轨迹退化为一条直写诗软件线。

对于椭圆轨迹，根据相位关系，质点可能西塘住宿推荐顺时针或者逆时针移动。

举例说明如何分析质点在轨迹上的运动方向，设 \phi_1=0,\phi_2=\pi/2 。分析：根据旋转矢量法，零时刻时， x 轴方向的位置在正向最大位置 A_1 处， y刘先生 轴方向的位置在原点处， 并且朝 y 轴负向运动，可见接下来的时刻，质点必须沿着顺时针方向运动，以满足 y 坐标为负的要求，故必定是顺时针运动。

d. 相互垂直，频率不同的简谐振动的合成

这种情况比较复杂，但若二者的频率之比为简单的整数比的关系，则合成的运动的轨迹具有稳定mpacc分数线且封闭的特点，称之为李萨如图像。

09 阻尼淘宝网打折振动

引入阻尼力 f_{\gamma}=-\gamma v ，则动力学方程jsp为

其中阻尼 \beta=\frac{\gamma}{2m} ， \omega_0=\sqrt{k/m高中试卷网} 。

当 \beta<\omega_0 时，它的解为

其中 \omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2} ，代表一种振幅不断衰减的一种振动，其周期为

比简谐振动的周期大一些，这是弱阻尼的情况。

当 \beta>\omega_0 时，它的解不再具有周期性，而是经过缓慢的单向运动回到平衡点，称之为过阻尼；而当 \beta=\omega_0 时，质点将经过最短的时间回到平衡点，称之为临界阻尼。

10 受迫振动

在阻尼振动的基础上引入周期性的策动力项 f_\omega=F_0{\rm cos}\omega t ，则得到动力学方程为

其中

方程通解为

稳定解为

其中振幅和初相由动力学方程直接给出，

受迫振动的稳定解呈现的运动形式与简谐振动相同。

11 共振

受迫振动的振幅随着策动力的频率变化，极大值取在当

时，此时的共振称之为振幅共振。

根据速度的稳定解

其幅度 \omega A 的极大值取在当 \omega=\omega_0 时，此时称之为速度共振。

两个同方向同频率的振动的振幅为 A ，如果同相，则合成振幅变为 2A ，显然能量变为原来每个振动的4倍，为什么能量并不是二者之和？

实际上同方向的速度分为两个分速度，本身就不是一个能量守恒的自发过程，需要借助外力才能完成，但若是正交的速度合成，则能量必定守恒。