现代控制理论入门2:反馈控制

基于前文传销的手段的分析我们知道，如果一个系统要收敛，那么系统的传递矩阵的所有特征值应当小于0 。但是，很多情况下，这个条件并不会满足。为了让一些不问题的系统能够稳定，我们引入了反馈控制。

反馈控制得基本思路就是将系统中的状态引入到控制量中去。假设开环系统的动态方程可以写作：

\dot{x}=Ax+Bu \tag{1}

假设系统状态x是n维的，控制输入u是m维的，则A是一个nXn的矩阵，B是一个nXm的控制矩阵。我们通过式子

u=Kx \tag{2}

将系统状态量引入到控制量中，其中K是我们反馈矩阵，是mXn维的。

整理两式子，得到

\dot{x}=Ax+BKx = (A+BK)x \tag{3}

这便是得到闭环反馈系统的动态方程。新闭环系统的过程矩阵由A编程了A+BK，其中K是我们可以选取的矩阵，我们正式通过调节K矩阵来调节系统的动态cba吧特性。

我们有一个系统，他的动态方程为：

\left( \begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{matrix}\right)笑到最后的人 = \le人造假鸡蛋ft( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right)u \tag{4}

为了是系统收敛，我们令 u=Kx ,这里K是一个2X1的矩阵，则，

\left( \begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 &a摄影吧mp; 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} x_东周列国1 \\ x_2\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right) \left( \begin{mat小学数学教材教法rix} k_1 & k_2 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1+k_1 & 2+k_2 \\ k_1 & 1+k_2 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) \tag{5}

这里我们记 F= \left( \begin{matrix} 1+k_1 & 2+k_2 \\压强公式 k_1 & 1+ k_2 \end{matrix} \right) ，接下来计算F的特征值，令：

\left| \begin{matr习题课ix} 1+k_1-\lambda & 2+k_2 \\ k_1 & 1+ k_2-\lambda \end{matrix} \right| =0

即： \lambda^2-(2+k_1+k_2)\lambda-k_糖果色搭配1+k_2+1探戈学习=0

为了是系统稳定，我们选F的两个特征值 \lambda_1 = \lambda_2 = -1 ,由韦达定理可知：

\Delta=(2+k_1+k_筹码分布图怎么看2)^2-4(-k_1+k土豆丝_2+1)=0 \\ (2+k_1+k_2)/2 = -1 ，

解得：

k_1= k_2 = -2

带入方程(5),得到

\left( \beg抄袭检测in{matrix} \do中国在世界的地位t{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{matrix}\right) = \left( \becpu温度过高怎么解决gin{matrix} -1 & 0\\ -2 & -1 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_1 竞价赚钱\\ x_2\end{matrix}\right)

Matlab实验，先针对开环系统的宋昆冈零控制输入的情况，

得到的结果输出硼替佐米是：

我们可以开到，信号以指数的形式小林绿子快速发散。

然后我们按照上面的计算，选定闭环系统的配置特征值为-1，simulink的图形为：

其中我们假定积分的初始值为(10;20),方便观察收敛过程。则输出为：

可以看到信号快速收敛到0；

以上！