有理数的定义

前段时间出了一个关于自然数定义的文章：

引发了大家广泛的讨论。下面我再接着这篇文章来建立整数和有理数的定义。

整数的定义

要定义整数，我们只需定义整数集 \mathbb Z ，则 \mathbb Z 中的元素就称为整数。要做到在自然数集的基础上定义整数集，我们可以会很自然地想到这样去定义：

\mathbb Z = \mathbb N \cup\{-n|n\in \mathbb N\}

因为 \mathbb N 就是自然数的集合，而 \{-n|n\in \mathbb N\} 就是非负整数的集合，它们的琴岛学院并集自然就是整数集。但是这犯了一个逻辑上的错误：自然数范围内是不存在相反数的，也就是说 -n 这个写法在整数范围内才有意义，而我们现在要做的就是定义整数，所以这里犯了循环定义的逻辑错误。整数的定义里必须不含任何在整数集上定义的概念。

笛卡尔积

这里先穿插一个预备知识。设 a, b 是两个对象，则称 (a,b) 为一个有序对。有序对可以表示任何含义，例如表示人和它的年龄 (张三, 男士项链品牌18), 表示青少年近视商品的价格 (衬衫, 9镑15便士), 表示倒数关系 (2, 0.5), 当然还有最常见的表示点的坐标 (x, y). 有序对顾名思义是有序的，即 (x,y)\neq (y,x) , 除非 x=y 。

设 A,B 是两个集合，定义它们的笛卡尔积（也称直积）

A\times B=\{ (a,b)| a\in A, b \in B \}

它包含 A 中各元素与 B 中各元素组成有有序对。例如

A=\{1,2\}, B=\{3,4\}

则

A\times B=\{ (1,3),(1,4),(2,3),(2,4) \}

显然笛卡尔积不满足交换律，即 A\times B\neq B\times A .

整数——带符号的自然数

通过我们对整数的直观感受，我们可以感觉到整数其实可以看作在自然数前加上一个正负号。如果我们把整数看作是由正负号和自然数组成的有序对，如 -1=(-,1) , -3=(-, 3) , 5=(+,5) ，等等，定义符号集 S=\{+,-\} , 则上述几个数都属于集合

\mathbb Z^*=S\times \mathbb N^web游戏*

其中 \mathbb N^* 表示非零自然数集，因此 \mathbb Z^* 包含全体非零整数。在我们的观念中，零既不是正数，也不是负数，但为了理论的完备性和简洁性，我们还是要把0表示成 (符号, 0) 的形式。我们不妨把0的符号设置为"+"（这并不意味着承认0是正数），那么整数集就可以定义为

\mathbb Z=\mathbb Z^* \cup\{(+,0)\}

在定义了整数集以后，我们就可以把 \mathbb Z 中的元素称为整数，并定义其算术运算。为了书写的简洁，我们把 (-,n) 记作 -n , 把 (+,n) 记作 n . 在对于未知符号的整数，我们用希腊字母 \sigma, \tau 表示符号，拉丁字母 m,n 等表示自然数。

整数加法： \sigma m+\tau n = \begin{cases} \sigma(m+n),&\sigma=\tau \\ m-n , &\sigma=+,\tau=-, m\geq n \\ -(n-m), &\sigma=+,\tau=-, m<n \\ \tau n+\sigma m, &\sigma=-, \tau=+ \end{cases}

相反数： -\sigma m=\begin{cases} 0, &m=0 \\ -m, &m\neq 0, \sigma=+ \\ m, &m\neq0, \sigma=- \end{cases}

减法： \sigma m-\tau n= \sigma m+(-\tau n)

绝对值： |\sigma m|=m

符号乘法： \sigma\times\tau=\begin{cases} +, &a中央民族大学怎么样mp;\sigma=\tau \\ -, &\sigma\neq \tau \end{cases}

整数乘法： \sigma m\times \tau n=(\sigma\times\tau)(m\times n)

……

整数与自然数的关系

定义整数一个子集，称为非负整数集，它包含所有符号为正的整数（也包括0，因为我们规定了0的符号为+）：

\mathbb {N_Z}=\{\sigma m\in \mathbb Z|\sigma=+\}

那么定义 \mathb赣县人民政府b{N_Z} 到 \mathbb N 映射

f:\mathbb {N_Z}\rightarrow \mathbb N

f(+ m)=m

显然 f 是一个双射。而且容易验证

f(+m +(+n))=m+n

f(+m\times (+n))=m\times n

f(+m) >f(+n)\Leftrightarrow m>n

……

因此非负整数与自然数的加法与乘法运算是完全同构的，且大小比较法则也保持了结构的不变性。因此我们一般不再区分非负整数集 \mathbb{N_Z} 与自然数集 \mathbb N ，并认为自然数集就是整数集的一个子集，或者说自然数是整数的一个子类。

有理数的定义

有理数是可以表示成整数比 \frac a b(a,b\in \mathbb Z) 形式的数。参照整数的定义，我们很容易联想到将 \frac a b 表示成有序对 (a,b) ，然后将有理数集定义为整数集与正整数集的笛卡尔积：

\tilde{\mathbb Q}=\mathbb Z\times \mathbb N^*=\{(a,b)|a\in\mathbb Z, b\in\mathbb N^* \}

注：(1) \mathbb N^* 表示正整数集 (2) 由于分子可以是负数，所以分母不必包含负数。例如 -\frac 12 可以对应到 (-1,2) ，而不必对应到 (1,-2) (3) 在后文中我们将混用记号 (a,b) 与 \frac ab

但验证码的作用这样做存在一个问题——一系列相等的分数，如 \frac{1}{2},\frac 2 4,\frac 3 6,\dots 将共存于 \tilde{\mathbb Q} 中，这违背了集合的互异性。于是我们需要对 \tilde{\mathbb Q} 作进一蚝油怎么用步处理使其成为符合我们预期的那个有理数集 \mathbb Q .

集合的分割与等价关系

如果一个集合 A 可以表示为一系列集合的并集：

A=A_1\cup A_2\cup \cdots

这个记号不严谨，但在本文中不会引起歧义

其中 A_1,A_2,\dots 是两两不相交的（即任意两者的交集为 \varnothing ），则称 \{A_1,A_2,\dots\} 是 A 的一个分割。例如，当 A=\{1,2,3,4,5\} ，则

A_1=\{1\}, A_2=\{2,3\}, A_3=\{4,5\}

是它的一个分割，或者

A_1=\{1,2\},A_2=\{3,5\}, A_3=\{4\},A_4=\varnothing

也是它的窗户设计一个分割。又如，对于 A=\mathbb Z ， A_1 表示奇数集， A_2 表示偶数集，则 \{A_1,A_2\} 是它的一个分割。

我们通常把 A 的分割记作 P(A) . 例如上面的第一个例子 P(A)=\{\{1\},\{2,3\},\{4,5\}\} ；第二个例子 P(A)=\{\{1,2\},\{3,5\},\{4\},\varnothing\} . 注意这里面的“套娃”关系，即 P(A) 是一个集合，它所包含的元素也是集合。

集合的一个分割定义了集合上的一种等价关系。若 a,b 出现在分割后的同一个集合，则称 a 等价于 b ，记作 a\sim b . 例如，当A=\mathbb Z ， A_1 表示奇数集， A_2 表示偶数集，则 1\in A_1, 3\in A_1 , 故 1\sim 3 ；同理有 3\sim 5,5\sim 7, 2\sim 4 等等。

有理数集的分割

集合分割与等价关系的意义是将集合中的元素划分成更细的分类，例如上述例子将oem是什么整数划分为奇数和偶数。当然不同的分割方法也代表了不同的分类方法。沿着这一思路，我们可以将 \tilde{\mathbb Q} 进行分割，将数值相等的有理数划分为一类。例如， \frac 12, \frac 24, \frac 36,\dots 应被划分到同一个集合中；而 \frac 23, \frac 46, \frac 69,\dots 应被划分到另一集合中。

我们知道，一系列相等的有理数等于在最简分数的基础上将分子分母同乘以一个正整数，例如 \frac 12, \frac 24, \frac 36,\dots 等于在 \frac 12 的基础上分子分母同乘以 1,2,3,\dots ，于是我们可以定义由最简分数构成的集合

\mathbb Q_S=\{(a,b)\in \tilde{\mathbb Q}|\gcd(|a|,b)=1 \}

gcd(x,y) 表示x, y的最大公约数。由于 a 可以是负数，所以必须取绝对值

注意这个集合包含了全体整数（分子为整数，分母为1）；也包含了零（分子为0，分母为1）。

任何自然数与1的最大公约数都是1；任何正整数与0的最大公约数都是它本身

于是 \tilde{\mathbb Q} 可以分割为

P(\tilde{\mathbb Q}) = \{ \{ (ka,kb)|k\in\mathbb N^* \} | (a,b)\in \mathbb Q_S\}

这样看起来有点绕，我们换一个写法：

P(\tilde{\mathbb Q})=\left\{ \left\{ \frac 11, \frac22, \frac33,\cdots \right\}, \left\{ \frac 12, \frac24, \frac36,\cdots \right\}, \left\{ \frac 23, \frac46, \fraexcel下拉菜单怎么做c69,\cdots \right\}, \cdots \right\}

有理数集的最终定义

我们说过集合的分割可以定义一种等价关系 a\sim b ，在这里我们有 \frac 11\sim \frac 22, \frac 12\sim\frac 36 ，等等。我们直接将这种等价关系定义为相等关系： \frac 11=\frac 22, \frac 12=\frac 36,\cdots ，有符号语言表示为：

q_1=q_2\Leftrightarrow(\exists X\in P(\tilde{\mathbb Q}):q_1,q_2 \in X)

在定义了相等关系的“半成品”有理数集 \tilde{\mathbb Q} 的基础上，我们定义“成品”有理数集 \mathbb Q 为其分割

\mathbb Q=P(\tilde{\mathbb Q})

有理数 \frac ab 不再像 \tilde{\m强直性脊柱athbb Q} 中那样直接对应到 (a,b) ，而是对应到 \mathbb Q 中包含 (a,b) 的那个集合。这样一来就解决了前面提到的集合的互异性的问题。例如 \frac 12 和 \frac 24 都对应到集合 \lef电影制作t\{ \frac 12, \frac24, \frac36,\cdots \right\} ，于是自然就有 \frac 12=\frac 24 ，它们梁朝伟刘嘉玲都是 \mathbb Q 中的同一元素。

定义了有理数后，便能进一步定义有理数的运算。

加法： \frac ab+\frac cd=\frac {ad+bc}{bd}

相反数： -\frac ab=\frac{-a}{b} （由于前面规定了b是正数）

减法： \frac ab-\frac cd=\frac ab+\frac{-c}d

乘法： \frac ab\times \fra乌鲁木齐市政府网c cd=\frac{ac}{bd}

除法： \frac {\sigma m}b\div \frac {\tau n}d= \frac{(\sigma\times\tau)md}{nb} （ m\geq0,n>0 . 我们总是谨慎地将符号放在分子上，以符合前面有理数的定义）

……

有理数集与整数集的关系

对于有理数集的子集 \mathbb {Z_Q}=\left\{ \frac a1| a\in \mathbb Z \right\} ，定义映射 f:\mathbb{Z_Q}\rightarrow \mathbb Z ：

f\left(\frac a1\right)=a

显然对于整数的所有法则， f 是其在有理数集的一个同构。因此我们一般不再区分 \mathbb{Z_Q} 和 \mathbb Z ，并把 \mathbb Z 看作 \mathbb Q 的一个子集。更重要的是，有理数的出现使得我们可以对整数定义除法运算：

\sigma m\div \tau n= \frac{(\sigma\times\tau) m}{n}~~~(n>0)

关于有理数有一个熟知的定大连中考理——一个数是有理数的充要条件是它可以表示成有限小数或循环小数。

总结

本文写得非常长，目的是便于大家搞清楚整数与有理数用数理逻辑的表示。实际海运费英文上，这两个定义用两个式子就能概括：

\mathbb Z=(\{+,-\}\times \mathbb N^*)\cup\{(+,0)\}

\mathbb Q=\{ \{(ka, kb)|k\in\mathbb N^*\} | a\in 我在你眼里到底算什么\m联想和戴尔athbb Z, b\i给排水专业n \mathbb N^*, \gcd(|a|,b)=1 \}

这也体现了数学的抽象性：如果写成 \mathbb Z\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} 估计大家就都明白了。