加法交换律、结合律与数学归纳法

现在是㋈㏵㍦（这些字符真好玩儿）。

上一次提到了自然数的公理化定义和“加法”的定义，那么小学大家（包括我）都学习过加法交换律、结合律——那时候至少我没有思考过它们为什么是对的，中学大家（也包括我）都学习过数学归纳法——不过那时候我真的思考过它为什么是可以用的，结果是想不squirrel是什么意思透..@_@|||||.. 。

好了，下面正式（虽然还是不非常严谨）介绍“自然数超高压电缆的加法交换律、结合律与数学归纳法”——这是通常的陈述顺序，而“事实上”（准确地说是“在这个公理体系下”）陈述的顺序则是“自然数的归纳、加法的结合律、加法的交换律”。

上次介绍皮亚诺自然数公理化定义时，其实“故意忽略”了另外一个重要的公理——归纳公理(axiom of induction)：

假设 M\sub网站制作价格seteq\m考研英语黄皮书athbb{N} 增发满足

1\in M ；且如果 n\in M ，那么 S(n)纽约人寿\in M 。

则 M 是包含全体自然数的集合，即 M=\mathbb{N} 。

——这个公理本身就是“数学归纳法”。

接下来，首先要证明“自然数加法的结德勤笔试合律”（这需要使用到归纳女神有三宝公理）：

固定 a 和 b ，设 M_1=\{c|c\in\mathbb{N},(a+b)+c=a+(b+c)\} 。

则

由 (a+b)+1 =魁拔票房 S(a+b) = a+S(b) = a+(b+1) 知孟军 1\in M_1 ；若 c\in M_1 ，则由下图知 (c+1)\in M_1 。

由归纳公理有 M_1=\math监狱生活bb{N} 。

要证明“自然数加法的交换律”，先得证明一个交换律的“特殊情况”：

•设 M_2=\{a角动量|a\in\mathbb{N},1+a=a+1\}

•则

1\in M_2 ；若 c\in M_2 ，则由下图知 (c+1镭射打印机)\in M_2 。

故而维克多英语由归纳公理有， M_2=\mathbb{N} 。

下面可以活塞耳机完整证明“自然数加法的交换律”——

•固定 a ，设 M_3=\{b|b\in\mathbb{N},a+b=b+a\} 如何选购电脑，则

1\in M_3 ；若 b\in M_3 ，则由下图知 (b+1)\in M_3 。

故而由归纳公理有， M_3=\mathbb{N} 。

自然数和加法就说到这里吧。什么是整数？什么是有理数？什么是减法？什么是大于影视化妆师工资、小于？什么是乘天水华天科技法？什么是除法？……这些问题我不想谈了，读者可以查阅其他文献（都不难）。

至于“什么是实数”、“自然数还有别的定义方法么”？这些问题便血咋回事，以后会聊！什么动漫好看。