易懂好学：二项式定理

一、什么是二项式

有动漫壁纸两项组成的式子，叫做二项式，例如：(a+b)、(a-b)，第一项是a，第二项是b。

① 2x：一项式，其中x是项，2是x项的系数

② 2x+3y：二项式，其中x,y项，2是x手机闪存(第一项)的系数，3是y(第二项)的系数复发性口腔溃疡

② 2x+3y+5z：三项式，同上，以此类推

二、二项式定理

主要指： (a+b)^{n} 的完全展开式，有一个规律可循：

通过该规律，可以快速知道展开后的第x项是什么，第x项的二项式系练习口语数是多少！

三、 二项式展开观察

① (a+b)^直女是什么意思{2}

行列相乘abaa^2abbbab^2

得到： a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

② (a+b)^{3}

行列相乘a^22abb^2aa^32a^2bab^2ba^2b2ab^2b^3

得到： a^{3}+2a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}

整理： a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

四、 二项式展开规律

(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)×(a+b)，好比ABCDE，5个人在打牌

ABCDE：每个人手里都有两张牌，分别是a和b，我们按照出先出a再出b的顺序，列举如下

第1轮出牌：5个人出a，0个人出b，就得到 a^{5}b^{0}=a^{5}×1=a^{5}

第2轮出牌：4个人出a，1个人出b，就得到 a^{4}b

第3轮出牌：3个人出a，2个人出b，就得到 a^{3}b^{2}

第4轮出牌：2个人出a，3个人出b，就得到 a^{2}b^{3}

第5轮出牌：1个人出a，4个人出b，就得到 a^{2}b^{4}

第6轮出牌：0个人出a，4个人出b，就得到 a^{0}b^{5}=1×b^{5}=b^{5}

所以就可以得到展开式的每一项：

x^{5}、 a^{4}b 、 a^{3}b^{2} 、 a^{2}b^{3} 、 a^{2}b^{4} 、 b^{5} ，从左至右分别为第1项~第6项

四、 二项式系数规律

(a+b)^{n} 我们按照：(b)项打出次数的递增关系，就可以列出这个式子

第1轮出牌：n人里0个人出b，即n人里n个人出a，则 C_{n}^{0}a^{n}b^{0}=C_{n}^{0}a^{n}

第2轮出牌：n人里任意1个人出b，即n人里n-1人出a，则 C_{n}^{1}a^{n-1}b^{1}

第3轮出牌：n人里任意2个人出b，即n人里n-2人出a，则 C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}

领队

第4轮出牌：n人里任意3个人出b，即海信电视怎么投屏n人里n-3人出a，则 C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}

第r轮出牌：n人里任意r个人出b，即n人里n-r人出a，则 C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}

第n轮出牌：n个人全出b，即n人里0个人出a，则 C_{n}^{n}a^{n-n安理会常任理事国}b^{n}=C_{n}^{n}b^{n}

通过组合数公式，按照b项从0~n次出牌次数+1递增的顺序，就能很快知道任一项的二项式系数

① 例： (a-b)^{5} ，第三项的二项式系数是多少？

第三项： -a^{5-2}b^{2}=-a^{3}b^{2}

第三项的二项式完整式： -C_{5}^{2}a^{3}b^{2} 法学硕士考试科目

第三项的二项式系数： -C_{5}^{2}=\frac{5×4}{2×1}=-10

① 二项式系数是特指：某一项前面的组合数 C_{n}^{m}

② 而某一项的系数：指原来的系数和二项式系数的积

五、 快速查询第x项的项和系数

如何快速查询： T_{x=r+健康米1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r} （又称为通项式）

① 例： (人寿保险怎么样a+b)^{8}hacknet ，求展开式的第8项

第一步：设x=8，于是8=r+1，得到r=7

第二步：将r=7代入式子得到 C_{8}^{7}a^{8-7}b^{7}

第三步：整理后得到 C_{8}^{1}ab^{7}

第四步：计算组合数后得到 8ab^{7}

答案：第8项为 天安号事件8ab^{7}

补充：常用的指数运算公式

<1> x^{m}·x^{n}=x^{m+n}

<2> (x^{m})^{n}=x^{m·n}

<3> (xy)^{m}=x^{m}·y^{m}

<4> \frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}

<5> x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^{m}}

<6> x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}

② 例求： (2x+y)^{6} 的第3项为？

第一步：设x=3，于是3=r+1，得到r=2

第二步：将r=2代入式子后生产力和生产关系得到 C_{6}^{2}(2x)^{4}(y)^{2}

第三步：整理后得到 C_{6}^{2}[(2^{4}x^{4}y^{2}]=C_{6}^{2}16x^{4}y^{2}

第四步：计算组合数： 15×16x^{4}y^{2}

第五步：整理后得到：240x^{4}y^{2}

六、二项式系数的最大值

C_{n}^{m} ，当m等于几时，这个二项式系数的值最大呢？

① 例： C_{7}^{m} ，m为几时，该二项式系数值最大？分类列举出来得到：

C_{5}^{0}=1

C_{5}^{1}=5

C_{5}^{2}=10

C_{5}^{3}=10

C_{5}^{4}=5

C_{5}^{5}=1

可以发现， C_{5}^{2}=C_{5}^{3}=10 时最大，所以得出

当 C_{n=奇数}^{m} 时，最大值为 C_{n}^{\frac{n+1}{2}}=C_{n}^{\frac{n-1}{2}}

② 例： C_{8}^{m}，m为几时，该二项式系数值最大？

显然是： C_{8}^{4} 。同样的，可得出： C_{n=偶数}^{m}，最大值为 C_{n}^{\frac{n}{2}}

七、二项式系数的和

当一个二项式完全展开后，所有二项式系数的和等于多少呢？

(x+y)^{n}=C_{n}^{0}x^{n-0}y^{0}+C_{n}^{1}x^{n-1}y^{1}+C_{n}^{r}x^{n-r}y^{r}··+C_{n}^{n}x^{n-n}y^{n}

二项式系数之和： C_{n}^{0}+C_{n}^{1齐襄公}+C_{n}^{r}+···C_{n}^{n}

假设(x=1)，(y=1)，代入到式子中得到：

(1+网上抢购1)^{n}=2^{n}=C_{n}^{0}1^{n}×1^{0}+C_{n}^{1}1^盆腔炎{n-台湾妹1}×1^{1}+···C_{n}^{n}1^{n-n}×1^{n}

已知：1的任意n次方都等于1（n在实数范围内），所以整理后得到：

2^{n}=C_{n}^{0如何科学减肥}+C_{n}^{1}+···C_{n}^{n}

① 例： C_{5}^{m} 计算m依次为0~5的和

展开依次计算法：

第一步： C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5}

第二步：1+5+漏磁10+10+5+1=32

二项式系数求和公式法：

2^{5}=32