对数表

发现指数与对数互为逆关系的是欧拉。对于 y=a^x ，我们给出 x 的值，求出 y 的值。可是欧拉问：“如果反过来呢？给出 y 的值，怎么去求出 x 的值。”这么一问，其实是把 x 当做了 y 男士修身衬衫 的函数，自变量是 y ，因变量是 x 。我们称 x 为真数 y 的对数，记为 x=\log_a y 。

那么对数有什么用呢？举个例子，要算 \frac{\sqrt[4]{a}b^2c}{d^5e东罗马帝国灭亡\sqrt{fg}} 这么一个庞然大物，取常用对数，只需要算 \fraxshellc{1}{4}\lg a+2\lg b+\lg c-5\lg d-\lg e-\frac{1}{2}\lg f-\frac{1}{2}\lg g ，算出来后再反过来求真数。

不过我们刚开始的对数表很有限，远不能满足实际工程计算的要求。

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y&0.001&0.01&0.1&1&10&100&1000&10000&1李希勇00000\\ \hline x&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\ \hline \end{array}

这样一张对数表只能求 10 的整次幂的对数，事实上不要表格我们也能轻松计算。

怎么去制作靠得更紧、更加密集的对数表呢？先介绍一种古老的方法。例子来源于欧拉的《无穷分析引论》。

问题：求 \lg 5

解：由于 5 在 1 到 10 之间，而 1 的对数是 0 ， 10 的对数是 1 ，因此 \lg 5 在 0 和 1 之间。通中老年人用品过逐次求平方根使真数靠近 5 。

\begin{align} &A=1.000000,\lg A=0.0000000\\ &B=10.000000,\lg B=1.0000000,C=\sqrt{AB}\\ &C=3.162277,\lg C=0.5000000,D=\sqrt{BC}\\ &D=5.623413,\lg D=0.7500000,E=\sqrt{CD}\\ &E=4.216964,\lg E=0.6250000,F=\sqrt{DE}\\ &F=4.869674,\lg F=0.6875000,G=\sqrt{DF}\\ &G=5.232991,\lg G=0.7187500,H=\sqrt{FG}\\ &H=5.048065,\lg H=0.7031250,J=\急性荨麻疹症状sqrt{FH}\\ &促销券J=4.958069,\lg J=0.6953125,K=\sqrt{HJ}\\ &K=5.002865,\lg K=0.6992187,L=\sqrt{JK}\\ &L=4.980416,\lg L=0.6972656,M=\sqrt{KL}\\ &M=4.991627,\lg M=0.6982421,N=\sqrt{KM}\\ &N=4.997242,\lg N=0.6987304,O=\sqrt{KN}\\ &O=5.000052,\lg O=0.6989745,P=\sqrt{NO}\\ &P=4.998647,\lg P=0.6988525,Q=\sqrt{OP}\\ &Q=4.999350,\lg Q=0.6989135,R=\sqrt{OQ}\\ &R=4.999701,\lg R=0.6989440今天第几周,S=\sqrt{OR}\\ &S=4.999876,\lg S=0.6989592,T=\sqrt{OS}\\ &T=4.999963,\lg T=0.6989668,V=\sqrt{OT}\\ &V=5米十.000008,\lg V=0.6989707,W=\sqrt{TV}\\ &W=4.999984,\lg W=0.6989687,X=\sqrt{VW}\\ &X=4.999997,\lg X=0.6989697,Y=\sqrt{VX}\\ &Y=5.000003,\lg Y=0.6989702,Z=\sqrt{XY}\\ &Z=5.000000,\lg Z=0.6989700 \end{align}

这种类似二分法的方法既说明对数的计算很繁琐，又表明了 \lg 5 的确是存在的，因为它稳定在了一个值的附近。

其实我们也可以借助指数函数图像来计算对数。取解析式为： x=1.0001^y ，底数选取靠近 1 的 1.0001 是为了让对数表饱满（或精确）起来，因为对不同的 y ， x 会靠得很近。

\begin{align} &\because x+\Delta x=1.0001^{y+\Delta y}(\Delta y=1)\\ &\therefore \Delta x=1.0001^{y+\Delta y}-1.0001^y=\frac{1.0001^y}{10^4}=\frac{x}{10^4}\\ &\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10^4}{x} \end{align}

因此，知道一组 (x,y) ，就能够算媒介策略出对应于 (y+1) 的新的 x 。

至此为止，我们了解到一些制作对数表的方法。现在来思考一个问题：为什么把底取为 10 的对数叫常用对数？lg冰箱怎么样哦，你会说，我们用的是十进制啊。然后呢？

看个例子：求 \lg 127.5

解： \lg内比都 127.5=\lg(10^2 \times 1.275)=2+\lg 1.275

卢卡奇 在这里， 2 称为首数， \lg 1.275 称为尾数。 1.275 宠物狗交易市场在 1 到 10 之间，所以它的对数在 0 到 1 之间。任何数都可以这么干，最后的化简有一个首数，又有一个尾数。这时候我们想：如果有一个真数在 1 到 10 之间的对数表把尾数求出来，那该多好。

于是人们就做了常用对数表。

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline log&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 10&0000&雅诗兰黛祛斑;0043&0086&0128&0170&0212&0253&0294&0334\\ \hline 11&0414&0453&0492&0531&0569&0607&0645&0682&0719\\ \hline 12&0792&0828&0864&089杨寿平百美图9&aopnetmp;0934&0969&1004&\color{deeppink}{1038}&1072\\ \hline 13&1139&1173&1206&1239&1271&1303&1335&1367&1399\\ \肌美精hline \end{array}

以上是表格的一小部分。

要算出 \lg 1.275 ，先找到 12 那一行，再找 7 那一列，交出来的数是 1股票网上开户038 。 最后一个数是 5 ，再找尾差（上图没有显示），得到修正值 17 ，所以 \lg 1.275=0.1038+0.0017=0.1055 ，因此 \lg 127.5=2.1055 。

于是任何对数我们都可以算了，比如你要算 \log_{23}1954 。 \log_{23}1954如何在网上找工作=\frac{\lg 1954}{\lg 23}=\frac{\lg(10^3 \times 1.954)}{\lg(10 \times 2.3)}=\frac{3+\lg 1.954}{1+\lg 2.3} ，接下来查表即可。

参考资料：《无穷分析引论》（欧拉著）；《高观点下的初等数学》（克莱因著）