【高中数学基础知识】（十八）任意角与弧度制

接下来的几篇文章将是与三角函数相关的内容。我们先从重新建立角与角度的概念开始。

我们的第一个目标是让角的大小可以是任意实数。以此为目的我们建立任意角的概念。

【（任意）角】一条射线以它唯一的端点为中心，旋转得到一条新的射线，连同原来的射线一起，组成了一个“（任意）角”。原本的射线称为这个角的“始边”，新的射线称为这个角的“终边”，两条射线公共的端点称为这个角的“顶点”。我们规定逆时针旋转得到的角是“正角”，顺时针旋转得到的角是“负角”。如果射线实际上没有旋转，我们称这形成一个“零角”。习惯上一个角的大莞式服务内容小用希腊字母 \alpha,\beta,\gamma,\theta奔驰导航,\varphi,\psi 等来表示，也可以直接用这样的希腊字母来表示这个角本身。

【角度制】角的大小用“角度”描述。射线逆时针旋转一周的 \dfrac 1{360} 所形成的角，它的大小是“ 1 度”，记作“ 1^\circ ”。(\dfrac 1{60})^\circ角的大小是“ 1 分”，记作“ 1' ”。(\dfrac 1{60})’ 角的大小是“ 1 秒”，记作“ 1'' ”。

这样，射线逆时针旋转一周大小的角是 360^\circ ，旋转半周大小的角是 180^\circ ，旋转四分之一周大小的角是 90^\circ ；顺时针旋转两周大小的角是 -720^\circ；零角的大小是 0^\circ ，等等。

不难发现，一个角的终边如果再旋斩朱砂转整数周（不论是顺时针还是逆时针），所得到的新角与原角相差了若干个 360^\circ ，但新角的终边与原角的终边是重合的。这说明存在集合 \{\beta|\beta=\alpha+360^\circ\cdot k，k \in \bold{Z}\} ，它由角 \alpha 和始边、终边与顶点均与它重合的全体角组成。

我们习惯在念楼学短平面直角坐标系内讨论任意角。此时，我们会将角的顶点固男鹿辰巳定在坐标系原点，并让始边与 x 轴的正半轴重合。这样，角的终边在第几象限，我们就说这是一个“第几象限角”；而如果终边在坐标轴上，那么称这个角是一个“轴线角”。这样，对于两个角是否相差整数周，只要看终边是否重合（或者干脆说相同）就行了。并且，在平面直角坐标系内讨论“顺时针”或者“逆时针”也更为严谨，可以避免两个人因为分别站在角所在平面的两头而出现认识上的误会。

我们现在来谈谈角度制。据说古巴比伦人发现太阳在视觉上的直径是天球（假设宇宙是一个巨大的天势表球体，人类生活在这个球体的中心）视觉上的半周长的 \dfrac 1{180} ，因此规定一周是 360^\circ ，也就发明了角度制。这是个人为规定如何磨刀的数字，并没有什么本质的意义；并且，在涉及到与角相关的几何计算时，不是单位“度”不能省略，就是角度总要去跟 180^\circ，360^\circ 等固定的角度相除，使得计算十分别扭。比如我们现在要计算一个半径为 r超越神话 ，圆心角为 \theta^\circ 的圆弧弧上海pmp考试长。因为 1^\circ 的圆弧弧长是同半径圆周长的 \dfrac 行权比例1{360} ，所以弧长是这么算的：

l_弧=\dfrac{\theta^\circ}{360^\circ}C_圆=\dfrac{\theta^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi r=(\dfrac{\pi}{180})\theta r

这个系数 \dfrac{\pi}{180} 就十分地扎眼。不过我们对这个公式变形可以得到

\theta=(\dfrac {180}{\pi})\cdot\dfrac {l_弧}r

这说明，只要圆心角是固定的，那么一段弧的弧长与对应的半径呈正比例关系（换句话说，圆心角相等的圆弧/扇形都是相似的）。对于一个角，我只要以角的顶点为圆心，长度 r 为半径、作圆，那么角的两边截这个圆所得到的弧长与半径的比值就和这什么牌子空调好个角的大小对应起来了。既然如此，我还要 \dfrac {1菜根谭下载80}{\pi} 这个比例系数作甚？直接用弧长来表示角度就行了。这就有了弧度制的概念。

【弧度制】一个任意角在始边小姐按摩旋转时，始边上距离端点距离为 r 的点也随之旋转，如何快速学英语形成的轨迹是一段圆弧。这段圆弧的长度 l （逆时针旋转则为正，顺时针旋转则为负）与 r 的比值 \theta=\dfrac lr 就视为这个任意角的大小。这种表示角的大小的方式就是“弧度制”。 \theta 的单位是 1 ，但有时候为了强调弧度制，也说它的大小是“外交官拉杆箱 \theta 弧度”，记作“ \theta\ \math开网店卖什么最赚钱rm{rad} ”（“rad”是弧度的英文“Radian”的前三个字母）。

这样， 30^\circ=\dfrac \pi 6 \ \mathrm{rad}，120^\circ=\dfrac {2\pi} 3 \ \mathrm{rad}，270^\circ=\dfrac {3\pi} 2 \ \mathrm{rad} ……，另外 1\ \mathrm{rad}=(\dfrac {180}{\pi})^\circ\approx 57.3^\circ ，比 60^\circ 稍微小一点。

在弧度制下，相关几何计算公式将会大大简化。

【例】设一个扇形的圆心角暗箭无人机是 \theta ，半径是 r 。那特朗普对华政策么根据弧度制的定义，它的弧长 l=\thet阿玛尼少年a r ，扇形的面积 S=(\dfrac \theta {2\pi})\pi r^2=\dfrac 12 \theta r^2 （注意 2\pi \ \mathrm{rad}=360^\circ ）。

今后，在数学研究中，除非题目带有什么是签字笔单位“ ^\circ ”，否则我们会优先使用弧度制。