【高中数学基础课】二项式定理

为与高中教材相契合，本文中的组合数采取苏式记法 C_{n}^{m} 而不是美式记法{n \choose m}

n\in\mathbb{N}^{*}

\left( a+b \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}} =C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}

这就是二项式定理，等式右边即为 \left( a+b \right)^{n} 的二项展开式，它共有 n+1 项贝尔定律

C_{n望远镜选购}^{r}a^{n-r}b^{r} 叫做二项展开式的第 r+1 项，也即通项，用 T_{r+1} 表示

T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}

C_{n}^{r} （ r=0,1,2,\cdots,n ）叫做第 r+1 项的二项式系数

证明：

方法（一）组合证法

将乘积

\left( a+b \right)^{n}= \left( a+b \right)\left( a+b \right)\cdots\left( a+b \right)

按乘法对加法的分配律展开，直至没有括号

因为每一项都可选 a 或 b ，因此（未合并同类项时）共有 2^{n} 项

显然所有项都是 a^{n-r}b^{r} （ r=0,1,2,\cdots,n ）的形式

为了计数形如 a^{n-r}b^{r} 的项的系数，必须从 n 个 a+b 中选取 n-r 个 a （从而乘积中其余的 r 个项都是 b ）

所以 a^{n-r}b^{r} 的系数是 C_{n}^{n-r}=C_{n}^{r}

这就证明了二项式定理

方法（二）数学归纳法

\left( a+b \right)^{1} =\sum_{r=0}^{1}{C_{1}^{r}a^{1-r}b^{r}} =C_{1}^{0}a^{1}+C_{1}^{1}b^{1}

当然成立

假设 n=m 时定理成立，即

\left( a+b \right)^{m} =\sum_{r=0}^{m}{C_{m}^{r}a^{m-r}b^{r}} =C_{m}^{0}a^{m}+C_{m}^{1}a^{m-1}b+\cdots +C_{m}^{r}a^{m-r}b^{r}+\cdots+C_{m}^{m}b^{m}

则 n=m+1 时

\begin{alignat}{0} \left( a+b \right)^{m+1} =\left( a+b \right)\left( a+b \right)^{m} =\left( a+b \right)\sum_{r=0}^{m}{C_{m}^{r}a^{m-r}b^{r}}\\ =a\sum_{r=0}^{m}{C_{m}^{r}a^{m-r}b^{r}} +b\sum_{r=0}^{m}{C_{m}^{r}a^{m-r}b^{r}}\\ =\sum_{r=0}^{m}{C_{m}^{r}a^{m+1-r}b^{r}} +\sum_{r=0}^{m}{C_{m}^{r}a^{m-r}b^{r+1}}\\ =C_{m}^{0}a^{m+1} +\sum_{r=1}^{m}{C_{m}^{r}a^{m+1-r}b^{r}} +\sum_{r=0}^{m-1}{C_{m}nba湖人^{r}a^{m-r}b^{r+1}} +C_{m}^{m}b^{m+1}\\ =C_{m+1}^{0}a^{m+1} +\sum_{r=1}^新中国的发展{m}{C_{m}^{r}a^{m+1-r}b^{r}} +\sum_{r=1}^{m}{C_{m}^{r-1}a^{m+1-咳嗽怎么治r}b^{r}} +C_{m+1}^{m+1}b^{m+1} \end{alignat}

根据之后会讲到的组合恒等式

C_{n+1}^{r}=C_{n}^{r}+C_{n}^{r-1}

\begin{alignat}{0} \left( a+b \right)^{m+1}\\ =C_{m+1}^{0}a^{m+1} +\sum_{r=1}^{m}{C_{m}^{r}a^{m+1-r}b^{r}} +\sum_{r=1}^{m}{C_{m}^{r-1}a^{m+1-r}b^{r}} +C_{m+1}^{m+1}b^{m+1}\\ =C_{m+1}^{0}a^{m+1} +\sum_{r=1}^{m}{C_{m+1}^{r}a^{m+1-r}b^{r}} +C_{m+1}^{m+1}b^{m+1}\\ =\sum_{r=0}^{m+1}{C_{m+1}^{r}a^{m+1-r}b^{r}} \end{alignat}

这样便由数学归纳法证明了二项式定理

（1）对称性

C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}

证明：

方法（一）

直接由定义

C_{n}^{k}=\fra留白c{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

C_{n}^{n-k}=\frac{n(n-1)\cdots(k+1)}{(n-k)!} =\frac{n!}{k!(n-k)!}

方法（二）

注意到组合学上的意义，从 n 个元素中选 k 个元素，与从 n 个元素中选出 n-k 个元素再剔除掉，保留剩下 k 个是等价的

（2）单峰性

n 为偶数时

C_{n}^{0}<C_{n}^{1}<\cdots<C_{n}^{n/2-1}<C_{n}^{n/2}

C_{n}^{n/2}>C_{n}^{n/2+1}>\cdots>C_{n}^{n-1}>C_{n}^{n}

n 为奇数时r级电影推荐

C_{n}^{0}<C_{n}^{1}<\cdots<C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}

C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}>\cdots>C_{n}^{n-1}>C_{n}^{n}

证明：

令 1\leq k\leq n nwa

我们考虑 C_{n}^{k-1} 与 C_{n}^{k} 的比值

\frac{C_{n}^{k}}{C_{n}^{k-1}} =\cfrac{\cfrac{n!}{k!(n-k)!}}{\cfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}} 钢结构节点图集=\frac{n-k+1}{k}

通过比较 n-k+1 与 k 的大小，即可比较C_{n}^{k} 与 C_{n}^{k-1} 的大小

1）当 n 为偶数时

若 k\leq\frac{n}{2}

n-k+1\geq n-\frac{n}{2}+1>\frac{n}{2}\geq k

这胡佛总统就得到

C_{n}^{k}>C_{n}^{k-1}

若 k\geq\frac{n}{2}+1

n-k+1\leq n-(\frac{n}{2}+1)+1=\frac{n}{2}<k

这就得到

C_{n}^{k}<C_{n}^{k-1}

2）当 n 为奇数时

若 k=\frac{n+1}{2}

n-k+1=n-\frac{n+1}{2}+1=\frac{n+1}{2}=k

这就得到

C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}

若 k\leq\frac{n-1}{2}

n-k+1\stackoverflowgeq n-\frac{n-1}{2}+1>\frac{n+1}{2}\geq k

这就得到

C_{n}^{k}>C_{n}^{k-1}

若 k>\frac{n+1}{2}

n-k+1<n-\frac{n+1}{2}+1=\frac{n+1}{2}<k

这就得到

C_{n}^{k}<C_{n}^{k-1}

综上，命题得证

（3） \sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}

证明：

方法（一）

二项式定理中，令 a=1 ， b=1

2^{n}=\left( 1+1 \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}} =C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}

即可

方法（二）

一个 n 元素集合恰好有 2^{n} 个子集（子集的集合也即幂集）

每个子集可能有 0 个元素、 1 个元素、…、 n 个元素

具马丁麦克多纳有 0 个元素的子集有 C_{n}^{0} 个

具有 1 个元素的子集有 C_{n}^{1} 个

具有 2 个元素的子集有 C_{n}^{2} 个

…

具有 n 个元素的子集有 C_{n}^{n} 个

\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}} =C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n} 即是该 n 元素集合的子集的个数，等于 2^{n}

命题得证

（4） \sum_{r=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+\cdots+\left( -1 \r伯里曼ight)^{n}C_{n}^{n} =0

证明：

方法（一）

二项式定理中，令 a=1 ， b=-1

0^{n}=\left( 1-1 \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+\cdots+\left( -1 \right)^{n}C_{n}^{n}

即可

它的一个推论是

奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即

C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\cdots= C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdots

方法（二）

设 T 是一个有 n 个元素的集合，对 T 中任意一个元素 a

从 T 中选取 r 个元素，从元素 a 的角度讲，这 r 个元素的组合只分包含 a 和不含 a 两类

若 r 为奇数时，这个组合里含有 a ，去掉 a 便得到一个 r 为偶数的组合

若 r 为奇数时，这个组合里不含 a ，加上 a 便得到一个 r 为偶数的组合

但是所有组合要么含 a 要么不含 a

这就说明 r 为奇数的组合与r 为偶数的组合是一一对应的

（5） \sum_{r=0}^{n}{2^{r}C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+\cdots+2^{n}C_{n}^{n}=3^{n}

证明：

二项式定理中，令 a=1 ， b=2

3^{n}=\left( 1+2 \right)^{n}=\sum_{r=0}^{n}{2^{r}C_{n}^{r}} =C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+\cdots+2^{n}C_{n}^{n}

即可

（6） \sum_{r=1}^{n}{r\cdot C_{n}^{r}}= C_{n}^{1}+2\cdot C_{n}^{2}+\cdots+n\cdot C_{n}^{n}=n\cdot2^{n-1}

证明：

只要对等式

\left( 1+x \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}x^{r}} =C_{n}^{企业免费建站0}+C_{n}^{1}x+\cdots+C_{n}^{n}x^{n}

两边对 x 求导，再代入 x=1 即可

（7）帕斯卡恒等式

设 n,k\in\mathbb{N}^{*} ， n\geq k

C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}

证明：

方法（一）

C_{n}^{k-1}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} 宝宝眼屎多=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)}{\left( k-1 \right)!}

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} =\frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}

\begin{alignat}{0} C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}\\ =\frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)}{\left( k-1 \right)!}+ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}\\ =\frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)k}{k!}+ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+2)苏缘(n-k+1)}{k!}\\ =\frac{(n+1)n(n-1)\cdots(n-k+2)}{k!}\\ =C_{n+1}^{k} \end{alignat}

方法（二）

设 T 是一个有 n+1 个元素的集合，其中一个元素为 a\in T

设集合 S 是集合 T 去掉元素 a 后的子集，即 S=T-\left\{ a \right\}

显然 T 中包含 k 顾客满意度个元素的子集有 C_{n+1}^{k} 个

这些子集，要么不包含 a ，但包含集合 S 中的 k 个元素

要么包含 a ，以及包含集合 S 中的 k-1 个元素

集合 S 中包含 k 个元素的子集有 C_{n}^{k} 个，所以 T 的不包含 a 的 k 元子集有 C_{n}^{k} 个

集合 S 中包含 k-1 个元素的子集有 C_{n}^{k-1} 个，所以 T 的包含 a 的 k 元子集有 长石C_{n}^{k-1} 个

而集合 T 的 k 元子集要么包含元素 a ，要么不包含元素 a

所以它总共有 C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1} 个

所以有

C_{n穆斯塔菲+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}

Kenneth H.Rosen《离散数学及其应用》，机械工业出版社

Sheldon M.Ross《概率论基础教程》，机械工业出版社

许胤龙、孙淑玲《组合数学引论》，中国科学技术大学出版社