应力分析

三种受力

体积力体力是指分布在物体整个体积内的外力，例如物体所受的重力。

\lim _{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta V}=F\

表面力力是指分布在物体表面上的外力，例如液体压力

\lim _{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta P}{\Delta A电影三级片}=P\

应力

\lim_{\Delta A\rightarrow 0} \frac{\Delta P}{\Delta A}=P\

设一任意形状的物体，受外力和体力作用而处于平衡，任意截面上某一点 处的内力

\lim _{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta P}{\Delta A}=\sigma\

通常把应力 p 分解为沿其所在截面的法线方向和切线方向的两个分量\sigma\和\tau\

一点的应力状态

已知三个正交截面的应力分布就可知该点的应力状态，六面体元正面的应力分布

应力张量

\left(\sigma_{i j分别}\right)=\left(\begin{array}{lll} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \si带状疱疹偏方gma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{array}\right)\

应力矩阵

[\sigma]=\left[\begin{array}{ccc} \sigma_{x} & \tau_{x y} & \t湖南师大医学院包吗au_{x z} \\ \tau_{y x} & \sigma_{y} & \tau_{y z} \\ \tau_{z x} & \tau_{z y} & \sigma_{z} \end{array}\right]\

i面元指标，j分量指标若i=j\那么叫正应力\sigma\，若i\ne j\那么叫剪应力\tau\

剪应力互等定理：

\sigma_{ij}=\sigma_{ji}\

所以应力张量和应力矩阵是对称的

负面上应力分量正方向与坐标轴相反。

斜截面应力：

O'点应力张量：[\sigma]\

外法线的单位矢量：\boldsymbol{n}\

斜截面应力

\boldsymbol{T}=\left[ \sigma \right] \b伴随着你oldsymbol{n}\\boldsymbol {T} _ {\boldsymbol {\sig保时捷多少钱ma}} = \boldsymbol {T} \cdot \boldsymbol东南大学九龙湖校区 {n}\\boldsymbol {T} _ {\boldsymbol {\tau}} =\boldsymbol {T} -\boldsymbol {T} _ {\boldsymbol {\sigma}}\

应力的坐标变换式

坐标转换矩阵

\boldsymbol{[n]} =\left[ \begin{matrix} n_{11}&n_{12}&n_{13}\\ n_{21}&n_{22}&n_{23}\\ n_{31}&n_{32}&n_{33}\\ \end{matrix} \r回奶药ight]\

新坐标轴下的应力张量：

\left[ \sigma ' \right] =\left[ \boldsymbol{n} \right] \left[ \sigma \right] \left[ \boldsymbol{n} \right] ^T\

应力莫尔圆

如何发表文章对于二维的情况，坐标轴转过\theta\时

\boldsymbol{[n]}=\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\\left[ \sigma \right] =\begin{bmatrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} \\ \sigma _{21} & \sigma _{22} \end{bmatrix}=\left[\begin{array}{cc} \sigma_{x} & \tau_{x y} \\ \tau_{y x} & \sigma_{y} \\ \end{array}\right]\

根据应力张量的坐标变换式

\left[ \sigma ' \right] =\left[ \boldsymbol{n} \right] \left[ \sigma \right] \ljava堆栈eft[ \boldsymbol{n} \right] ^T\

可得摩尔圆方程

\left.\begin{array}{c} \sigma_{成人用品店x}^{\prime}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \cos 2 \theta+\tau_{x y} \sin 2 \theta \\ \tau_{x y}^{\prime}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \sin 2 \theta+\tau_{x y} \cos 2 \theta \end{array}\right\}\

摩尔圆中规定\tau_{xy}\正方向向下,\tau_{yx}\正方向向右，所以一个负，一个正

当微元转过\the本机的ip地址ta\,应力张量从两个A点转过-2\theta\，截面应力大小不变​\sigma_{1},\sigma_{2}\为主应力最大值和最小值，根据大小顺序称为第一主应力和第二主应力

\sigma_{max,min}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \pm \sqr土尔扈特t{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}\

主应力方向：

\theta_{1}=\frac{1}{2} \arctan \left(\frac{2 \tau_{x y}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}}\right) ; \quad \theta_{2}=\theta_{1}+\pi / 2\

摩尔圆中主应力两点夹角为180度，因此主应力相互正交

\tau_{max}\为最大剪应力，其截面方向位于\sigma_{1}\向\sigma_{3}\旋转45度方向

主应力和最大剪应力

在三维中，存在三个相互垂直无剪应力的截面，称为羊肉烩面主平面，法王力宏gay线称为主方向，三个主方向构成主坐标，正应力称为主应力，按大小排序称为第一、第二、第三主应力，记为\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}\三个二维摩尔圆构成的三维莫尔圆：

主应力的截面绕主反向转动时，应力点落在阴影边缘，截面绕非主方向转动时，应力点福字大全落在阴影内部。

性质：

主应力不依赖坐标轴主应力一定是实数主应力相互正交，主坐标下的应力矩阵为对角阵主应力\sigma_{1},\sigma_{3}\是正应力和全应力的最大和最小值最大剪应力的截面方向位于\sigma_{1}\向\sigma_{3}\逆时针旋转45度方向，大小为：\tau_{max}=(\sigma_{1}-\sigma_{2})/2\，对应的正应力为\sigma_{n}|_{\tau=\tau_{max}}=(\sigma_{1}+\sigma_{2})/2\

因此，最大正应力和最大剪应力常用来评估工程强度若有两个主应力相等，则截面绕第三个主应力方向转动时，正应力不变，剪应力为0，处于二维均匀拉伸状态；若三个主应力相等，则处于三维均匀拉伸状态。

另一种求解主应力的计算方法主方向为\boldsymbol{n}\的主应力：

\boldsymbol{T}=\left[ \sigma \right] \boldsymbol{n}=\boldsymbol{T_{\sigma}}=T_{\sigma}\boldsymbol{n}\

所以，应力张量的特征向量就是主应力方向，应力张量的特征值就是主应力大小

由于[\sigma]\为对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交方程有解，移项后令行列式为零得特征方程：

T_{\sigma}^{3}-I_1T_{\sigma}^{2}博学之+I_2T_{\sigma}^{3}-I_3=0\

系数：

\begin{array}{c} I_{1}=tr[\sigma] \\ I_{2}=(\sigma照片墙怎么挂_{x} \sigma_{y}-\tau_{x y}^{2})+(\sigma_{y} \sigma_{z}-\tau_{y z}^{2})+(\sigma_{z} \sigma_{x}-\tau_{z x}^{2}) \\ I_{3}=\left|[\sigma ]\right| \end{array}\

系数也称为应力张量的第一、第二、第三不变量由特征方程可解出特征值，即主应力大小特征值代入原方程可解出特征向量，即主应力方向若已知一个主应力，则可退化为二维摩尔圆问题

总结应力求法

应力方向沿直角坐标分解

斜截面应力公式\boldsymbol{T}=\left[ \sigma \right] \boldsymbol{n}\

应力方向沿法线和切向分解

应力张量的旋转变换\left[ \sigma ' \right] =\left[ \boldsymbol{n} \right] \left[ \sigma \right] \left[ \boldsymbol{n} \right] ^T\莫尔圆

平衡微分方程

应力张量的空间分布构成应力场，平衡微分方程描述了应力场的变化规律设微元受力\{f\}=\{f_{1},f_{2},f_{3}\}^{T}\,对微元的x_{1}\方向进行受力分析：

沿x_{1}\方向的力平衡方程：

\begin{array}{l} \left(\sigma_{11}+\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_{1}} \mathrm{~d} x_{1}\right) \mathrm{d} x_{2} \mathrm{~d} x_{3}-\sigma_{11} \mathrm{~d} x_{2} \mathrm{~d} x_{3} \\ +\left(\sigma_{21}+\frac{\partial \sigma_{21}}{\partial x_{2}} \mathrm{~d} x_{2}\right) \mathrm{d} x_{3} \mathrm{~d} x_{1}-\sigma_{21} \mathrm{~d} x_{3} \mathrm{~d} x_{1} \\ +\left(\sigma_{31}+\frac{\partial \sigma_{31}}{\partial x_{3}} \mathrm{~d} x_{3}\right) \mathrm{d} x_{1} \mathrm{~d} x_{2}-\sigma_{31} \mathrm{~d} x_{1} \mathrm{~d} x_{2}+f_{1} \mathrm{~d} x_{1} \mathrm{~d} x_{2} \mathrm{~d} x_{3}=0 \end{array}\

可得平衡微分方程

\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \sigma_{21}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \sigma_{31}}{\partial x_{3}}+f_{1}=0\

由F=ma，同理可得运动微分方程

\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \sigma_{21}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial \sigma_{31}}{\partial x_{3}}+f_{1}=\rho \frac{\partial^{2} u_{1}}{\partial t^{2}}\

u_{1}\表示沿x方向的位移

沿形心点沿x3方向的力矩平衡方程

\left(\sigma_{1竞业禁止2} \mathrm{~d} x_{2} \mathrm{~d} x_{3}\right) \mathrm{d} x_{1}-\left(\sigma_{21} \mathrm{~d} x_{3} \mathrm{~d} x_{1}\right) \mathrm{d} x_{2}=0\

得剪应力互等定理

\sigma_{12}=\sigma_{21}\