应用随机过程 第二章 随机过程的基本概念

第二章 随机过程的基本概念1. 随机过程及其概率分布

例 1 : 扔一枚质地均匀硬币，其样本空间 \Omega=\{\omega_{1},\omega_{2}\} 。其中， \omega_{1} 代表正面， \omega_{2} 代表反面。记 X(\omega_{1})=1,~X(\omega_{2})=0 。设每次的实验结果均服从 0-1 分布， P(X=1)=P(X=0)=\frac{1}{2} 。则 \{X(t)|t\in N^{+}\} 这一族随机变量构成一个随机过程。

例 2 : 随机选取区间 [0,1] 之间的实数，则每次的实验结果均服从均匀分布，则 \{X(t)|t\in N^{+}\} 这一族随机变量构成一个随机过程。

例 3 : 当 t~(t\geq 0) 固定时，电话交换站在 [0,t) 时间内接到的呼叫次数设为一个随机变量 X(t) ，则 X(t)\sim P(\lambda t) ， \lambda 表示单位时间内的平均呼叫次数。 P(\lambda t) 表示 \lambda t 时间内呼叫发生的次数。则 \{X(t)|t\geq0\} 这一族随机变量构成了一个随机过程，

例 4. 设某一电子元件的电压为一个随机变量 X ，设其在 t 时刻服从高斯分布，即 X(t)\sim N\big(\sin(2\pi t), 1\big)~t\in [0,1] 。则 \{X(t)|t\in[0,1]\} 这一族随机变量构成了一个随药理学重点机过程。

定义 : 设 (\Omega,\mathscr{F},P) 是一个概率空间， T 是一个实数集， \{X(t,\omega),t\in T,\omega\in\Omega\} 是对应于 t 和 \omega 的函数，即为定义在 T 和 sat真题\Omega 上的多元函数，若此函数对任意固定的 t\in T ， X(t,\omega) 是 (\Omega,\mathscr{F},P) 上的随机变量，则称 \{X(t,\omega),t\in T,\omega\in\Omega\} 是随机过程。

由于随机过程是一个二元函数，因此可以从两个视角来对其进行分析

若固定 t ，则随机过程变成一个随机变量，称为随机过程在时刻 t 的状态或截口；若固定一个关于基本随机事件的序列 \pmb{w_{}}=(w_{1},w_{2},\cdots) ，则随机过程变成一个关于 t 的函数，称为随机过程的样本函数或样本曲线；随机过程可以简记为 \{X(t),t\in T\} ，通常并不指出概率空间 \Omega ，此时样本函数用 x(t) 表示，第 i 次试验（第 i 次实验得到一个随机事件的序列 \pmb{w_{}}=(w_{1},w_{2},\cdots) ）得到的样本函数为 x_{i}(t),i=1,2,\cdots ；随机过程的状态空间或值域为，对于任意固定的 t\in T ，随机变量 X(t) 的所有可能取的值构成的一个实数集（其实就是全体随机事件对应的实数值构成的集合），记为 E ，其中每个取值称为一个状态；

随机过程的分类（根据 T （参数空间）及 E （状态空间））：

离散参数，离散状态的随机过程；（例 1）离散参数，连续状态的随机过程；（例 2）连续参数，离散状态的随机过程；（例 3）连续参数，连续状态的随机过程；（例 4）

定义 : 对于任意的 t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}\in T ， F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})=P(\{X(t_{1})\leq x_{1},\cdots,X(t_{n})\leq x_{n}\}) ，称之为随机过程 X(t) 的 n 维分布函数。

定义 : f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})=\frac{\partial^{n}}{\partial x_{1}\partial x_{2}\cdots\partial x_{n}}F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}) ，为随机过程 X(t) 的 n 维分布密度。

定义 : 随机过程 X(t) 的一维分布函史学概论数，二维分布函数， \cdots ， n 维分布函数，等的全体构成的集合 \{F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})|t_{1},\cdots,t_{n}\in T,n\geq 1\} ，称为随机过程 X(t) 的有限维分布族。

有限维分布族的性质 :

对称性 : 对 1,2,\cdots,n 的任意一种排列 j_{1},j_{2},\cdots,j_{n} 有， F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})=F(x_{j_{1}},x_{j_{2}},\cdots,x_{j_{n}};t_{j_{1}},t_{j_{2}},\cdots,t_{j_{n}}) ； 用集合的无序性证明该对称性 相容性 : 对 m<n ，有， F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m};t_{1},t_{2},\cdots,t_{m})=F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{m},+\infty,\cdots,+\infty;t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}) ；

定理（柯尔莫哥洛夫定理）若给定参数集 T 及满足相容性的分布函数族 \{F(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n};t_{1},t_{2},\cdots,t_{n})|t_{1},\cdots,t_{n}\in T,n\geq 1\} ，则必存在概率空间 (\Omega,\mathscr{F},P) 及定义于其上的随机过程 \{X(t),t\in T\} ，使 X(t) 的有限维分布函数族与上述给定的分布函数族是重合的。

2. 随机过程的数字特征随机过程的均值函数 : m_{X}(t)=E(X(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF(x,t),~t\in T ，其中 F(x,t) 是随机过程的一维分布函数。随机过程的方差函数 : D_{X}(t)=D(X(t))=E[X(t)-m_{X}(t)]^{2},~t\in T 。随机过程的标准差函数 : \sigma_{X}(t)=\sqrt{D_{X}(t)}=\sqrt{D(X(t))} 。随机过程的协方差函数 : C_{X}(t_{1},t_{2})=cov(X(t_{1}),X(t_{2}))=E\big\{[X(t_{1})-m_{X}(t_{1})][X(t_{2})-m_{X}(t_{2})]\big\} 。随机过程的自相关函数 : R_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]m_{X}(t) 表示随机过程的样本函数在 t 时刻的状态的统计平均值， m_{X}(t) 是一条固定曲线；可以推导出 : D(X(t))=E(X^{2}(t))-m^{2}_{X}(t) ；可以推导出 : C_{X}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})\cdot X(t_{2})]-E[X(t_{1})]E[X(t_{2})]

定义 : 称随机过程 \{X(t),t\in T\} 为独立过程，如果对于任意的 n 及 t_{1},t_{2}.\cdots,t_{n}\in T ，有 X(t_{1}),\cdots,X(t_{n}) 相互独立。

定义 : 若随机过程 \{X(t),t\in T\} 的一、二阶原点矩存在，即 E[X(t)] 与 E[X^{2}(t)] 存在，则称 X(t) 是二阶矩过程。

3. 随机微积分

定义 : 设随机变量序列 \{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\} 和 随机变量 X ，且 E[|X_{i}|^{2}]<+\infty,~i=1,2,\cdots,n ， E[|X|^{2}]<+\infty ，若有 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} E[|X_{n}-X|^{2}]=0 ，则称 X_{n} 均方收敛于 X ， X 是 X_{n} 的均方极限，记 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=X 。

\lim 针对的是一般数列的极限；\mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}} 针对的是随机序列而言，指的是 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} E[|X_{n}-X|^{2}]=0 ；施瓦尔兹不等式 E(XY)\leq \sqrt{E(X^{2})E(Y^2{})} .

定理 : 若 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=X ，且 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=Y ，则 P(X=Y)=1 。

均方极限在概率为1相等的意义下唯一。 分析： D(X)=0 的充要条件是： X 以概率 1 取常数 E(X) ，即 P(X=E(X))=1 . （用切比雪夫不等式可以证明该定理） 若要证明 P(X=Y)=1 ，则需要证明 D(X-Y)=0 且 E(X-Y)=0 . 其实只需要证 E[(X-Y)^{2}]=0 即可，因为 D(X-Y)\geq 0 ， D(X-Y)=E[(X-Y)^{2}]-E^{2}(X-Y)\geq 0 因此，若 E[(X-Y)^{2}]=0 则 E^{2}(X-Y) 一定为 0 ，因此 E(X-Y)=0 . 证明： \because \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=X,~\mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=Y \therefore \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} E[|X_{n}-X|^{2}]=0,~\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} E[|X_{n}-Y|^{2}]=0 下面的推导在 n\rightarrow +\infty 的前提下： \begin{array}{**lf**} E[(X-Y)^{2}]& = & E[|X-Y|^{2}]=E[|Y-X|^{2}]=E[|(X_{n}-X)-(X_{n}-Y)|^{2}]\\ & = & E[|(X_{n}-X)^{2}-2\cdot (X_{n}-X)\cdot (X_{n}-Y)+(X_{n}-Y)^{2}|] \\ & \leq & E[|X_{n}-X|^{2}]+2\cdot E[|X_{n}-X||X_{n}-Y|]+E[|X_{n}-Y|^{2}]\\ & = & 2\cdot E[|X_{n}-X||X_{n}-Y|] \end{array} 由施瓦尔兹不等式得： E[|X_{n}-X||X_{n}-Y|]\leq \sqrt{E[|X_{n}-X|^{2}]\cdot E[|X_{n}-Y|^{2}]}=0 \therefore E[(X-Y)^{2}]=0 即 P(X=Y)=1 . 证毕.

均方极限的性质：

若 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=X ，则 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}E(X_{n})=E(X) ，即 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}E(X_{n})=E(\mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}) ； 证明： \because D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)\geq0 \therefore E^{2}(X)\leq E(X^{2}) ，即 |E(X)|\leq \sqrt{E(X^{2})} \therefore 当 n\rightarrow 0,~ |E(X_{n})-E(X)|=|E(X_{n}-X)|\leq \sqrt{E[(X_{n}-X)^{2}]}=0 \therefore \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}E(X_{n})=E(X) 证毕. 若 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{m\rightarrow +\infty}~X_{m}=X ，且 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~Y_{n}=Y ，则 \lim\limits_{m\rightarrow +\infty,n\rightarrow +\infty}E(X_{m}Y_{n})=E(XY) ； 证明： \begin{array}{**lf**}\because~|E(X_{m}Y_{n})-E(XY)|&=&|E(X_{m}Y_{n}-XY)|=|E[(X_{m}-X)\cdot(Y_{n}-Y)+X(Y_{n}-Y)+(X_{m}-X)Y]| \\ &\leq &|E[(X_{m}-X)\cdot(Y_{n}-Y)]|+|E[X(Y_{n}-Y)]|+|E[(X_{m}-X)Y]|\end{array} \because~|E[(X_{m}-X)\cdot(Y_{n}-Y)]|\leq \sqrt{E[(X_{m}-X)^{2}]\cdot E[(Y_{n}-Y)^{2}]}\xlongequal[m\rightarrow +\infty]{n\rightarrow +\infty}0 \英语b级作文because~|E[X(Y_{n}-Y)]|\leq \sqrt{E[X^{2}]\cdot E[(Y_{n}-Y)^{2}]}\xlongequal{n\rightarrow +\infty}0 \because~|E[(X_{m}-X)Y]|\leq \sqrt{E[(X_{m}-X)^{2}\cdot E[Y^{2}]]}\xlongequal{m\rightarrow +\infty}0 \therefore~\lim\limits_{n\rightarrow +\infty,~m\rightarrow +\infty}|E(X_{m}Y_{n})-E(XY)|=0 ，即 \lim\limits_{m\rightarrow +\infty,n\rightarrow +\infty}E(X_{m}Y_{n})=E(XY) . 若 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}猫叫综合症=X ，且 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~Y_{n}=Y ，则对于任意的常数 a,~b 有 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}(aX_{n}+bY_{n})=aX+bY ; 证明：当 n\rightarrow +\infty 时： \begin{array}{**lf**} E[|aX_{n}+bY_{n}-aX-bY|^{2}] & = & E[|a(X_{n}-X)+b(Y_{n}-Y)|^{2}] \\ & = & E[a^{2}(X_{n}-X)^{2}+2ab(X_{n}-X)(Y_{n}-Y)+b^{2}(Y_{n}-Y)^{2}] \\ & = & a^{2}E[|X_{n}-X|^{2}]+2abE[{(X_{n}-X)(Y_{n}-Y)}]+b^{2}E[|Y_{n}-Y|^{2}] \\ & = & 2abE[{(X_{n}-X)(Y_{n}-Y)}] \\ \end{array} \because -\sqrt{E[|X_{n}-X|^{2}]E[|Y_{n}-Y|^{2}]}\leq E[{(X_{n}-X)(Y_{n}-Y)}]\leq\sqrt{E[|X_{n}-X|^{2}]E[|Y_{n}-Y|^{2}]} \therefore \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}E[{(X_{n}-X)(Y_{n}-Y)}]=0 \therefore E[|aX_{n}+bY_{n}-aX-bY|^{2}]=0 \therefore \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}(aX_{n}+bY_{n})=aX+bY 若数列 \{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\} 有极限 \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_{n}=0 ， X 为随机变量，则 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_{n}X)=0 ； 证明： E[|a_{n}X-0|^{2}]=E[a^{2}_{n}X^{2}]=a_{n}^{2}E[X^{2}]=0 \therefore \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}(a_{n}X)=0 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n} 存在的充要条件是 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{\begin{array}{**lf**}n\rightarrow +\infty\\m\rightarrow +\infty\end{array}}(X_{m}-X_{n})=0 ； 充分性证明：需要使用勒贝格 (Lebesgue) 控制收敛 必要性证明： 设 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{n\rightarrow +\infty}~X_{n}=X ，当 n\rightarrow +\infty,~m\rightarrow +\infty 时： \begin{array}{**lf**} E[|(X_{m}-X_{n})-0|^{2}] & = & E[|(X_{m}-X)-(X_{n}-X)|^{2}] \\ & = & E[(X_{m}-X)^{2}-2(X_{m}-X)(X_{n}-X)+(X_{n}-X)^{2}] \\ & = & E[(X_{m}-X)^{2}]+E[(X_{n}-X)^{2}]-2E[(X_{m}-X)(X_{n}-X)] \\ & = & -2E[(X_{m}-X)(X_{n}-X)] \end{array} \because -\sqrt{E[(X_{m}-X)^{2}]E[(X_{n}-X)^{2}]}\leq E[(X_{m}-X)(X_{n}-X)]\leq \sqrt{E[(X_{m}-X)^{2}]E[(X_{n}-X)^{2}]} \therefore \lim\limits_{\begin{array}{**lf**}n\rightarrow +\infty\\m\rightarrow +\infty\end{array}} E[(X_{m}-X)(X_{n}-X)]=0 \therefore \lim\limits_{\begin{array}{**lf**}n\rightarrow +\infty\\m\rightarrow +\infty\end{array}}E[|(X_{m}-X_{n})-0|^{2}]=0 \therefore \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{\begin{array}{**lf**}n\rightarrow +\infty\\m\rightarrow +\infty\end{array}}(X_{m}-X_{n})=0

定义 : 若随机过程 \{X(t),~t\in T\} ，对固定的 t_{0}\in T ，有 \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{t克洛泽儿子\rightarrow t_{0}}X(t)=X(t_{0}) ，则称 X(t) 在 t_{0} 处均方连续。

\mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{t\rightarrow t_{0}}X(t)=X(t_{0}) 是指 \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}E[|X(t)-X(t_{0})|^{2}]=0 ；

定义 : 若随机过程 \{X(t),~t\in T\} 褥疮贴 在 T 中每一点 t 处都连杭电acm续，则称 X(t) 在 T 上均方连续。

以上这两个定义中的 T 均为连续的参数集。

定理 : 随机过程 \{X(t),t\in T\} 在 T 上均方连续的充要条件是其相关函数 R_{X}(t_{1},t_{2}) 在 \{(t,t)|t\in T\} 的所有点是连续的。

充分性证明： ​ 对于 \forall t_{0}\in T 有， \mathop{{\rm l\cdot i\cdot m}}\limits_{t_{1},t_{2}\rightarrow t_{0}}~R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{0},t_{0}) ​ \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}E[|X(t)-X(t_{0})|^{2}]=\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}E[X^{2}(t)]+E[X^{2}(t_{0})]-2E[X(t)X(t_{0})]=\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}R_{X}(t,t)+R_{X}(t_{0},t_{0})-2R_{X}(t,t_{0})=0 ​ \therefore \{X(t),t\in T\} 在 T 上均方连续。 必要性证明： ​ 对于 \forall t_{0}\in T 有， \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}E[|X(t)-X(t_{0})|^{2}]=0 ​ 由均方极限的性质2可得 \lim\limits_{t_{1},t_{2}\舆情系统rightarrow t_{0}}E[X(t_{1})X(t_{2})]=E[X(t_{0})X(t_{0})] ​ \therefore R_{X}(t_{1},t_{2}) 在 \{(t,t)|t\in T\} 的所有点是连续的。

定义 : 若随机过程 \{X(t),t\in T\} 在 t_{0} 处均方极限 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\frac{X(t_{0}+h)-X(t_{0})}{h} 存在，则称此极限为 X(t) 在 t_{0} 处的均方导数，记 X^{'}(t_{0}) 或 \frac{dX(t)}{dt}\Big{|}_{t=t_{0}} 。

设 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\fr流氓文化ac{X(t_{0}+h)-X(t_{0})}{h}=Q ，本质意义是， Q 是一个随机变量， \lim\limits_{h\rightarrow 0} E[|\frac{X(t_{0}+h)-X(t_{0})}{h}-Q|^{2}]=0 ；

定义 : 若随机过程 \{X(t),t\in T\} 在 T 上的每一点都均方可导，则称 X(t) 在 T 上均方可导。

定理 : 随机过程 \{X(t),t\in T\} 在 t 处均方可导的充要条件是极限 \l如何改善睡眠im\limits_{h\rightarrow90后女毒枭 0,h^{'}\rightarrow 0}\frac{R_{X}(t+h,t+h^{'})-R_{X}(t+h,t)-R_{X}(t,t+h^{'})+R_{X}(t,t)}{h\times h^{'}} 存在。

充分性证明： ​ 已知 \lim\limits_{h\rightarrow 0,h^{'}\rightarrow 0}\frac{R_{X}(t+h,t+h^{'})-R_{X}(t+h,t)-R_{X}(t,t+h^{'})+R_{X}(t,t)}{h\times h^{'}}=\lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0}E\Bigg[\frac{X(t+h)-X(t)}{h}\times\frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}}\Bigg] 存在，设极限值为 L 。 ​ 也意味着令 h=h^{'} 时， \lim\limits_{h\rightarrow 0}E\Bigg[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h})^{2}\Bigg] 与 \lim\limits_{h^{'}\rightarrow 0}E\Bigg[(\frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}})^{2}\Bigg] 均存在且极限值均为 L 。 ​ h,h^{'}\rightarrow 0 极限存在，意味着 h 和 h^{'} 以任意的变化关系（包含以相同的关系）趋于 0 ，极限值均为同一个值。 ​ 则 \lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0}E\Bigg[\Bigg|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-\frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}}\Bigg|^{2}\Bigg]=\lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0} E[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h})^{2}]-2E[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h})(\frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}})]+E[(\frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}})^{2}]=0 由均方极限的性质5，可得 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\frac{X(t_{0}+h)-X(t_{0})}{h} 存在，则此时随机过程 \{X(t),t\in T\} 在 t 处均方可导 必要性证明： ​ 已知 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\frac{X(t+h)-X(t)}{h} 存在，则 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h^{'}\rightarrow 0}\frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}} 也存在，根据均方极限性质2，有 \lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0}E[\frac{X(t+h)-X(t)}{h}\times \frac{X(t+h^{'})-X(t)}{h^{'}}] 存在。 ​ 即 \lim\limits_{h\rightarrow 0,h^{'}\rightarrow 0}\frac{R_{X}(t+h,t+h^{'})-R_{X}(t+h,t)-R_{X}(t,t+h^{'})+R_{X}(t,t)}{h\times h^{'}} 存在。

均方导数的性质：

若随机过程 X(t) 在 t 处可导，则它在 t 处连续； 证明： 已知 \lim\limits_{h\rightarrow 0} E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t)|^{2}]=0 \begin{array}{**lf**} \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[|X(t+h)-X(t)|^{2}] &a宋楚瑜mp; = &\lim\limits_{h\rightarrow西南交通大学土木工程学院 0}E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}\cdot h|^{2}] \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0} h^{2}E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t)+X^{'}(t)|^{2}] \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0} h^{2}\Bigg\{E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t)|^{2}]+E[(X^{'}(t))^{2}]+2E[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t))\cdot X^{'}(t)]\Bigg\} \end{array} 其中， \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t)|^{2}]=0 ， \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[(X^{'}(t))^{2}]=E[(X^{'}(t))^{2}] ， 利用施瓦尔兹不等式， \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[(\frac{X(t+h)-X(情侣笑话t)}{h}-X^{'}(t))\cdot X^{'}(t)]=0 ， \therefore \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[|X(t+h)-X(t)|^{2}]=0 ，即随机过程 X(t) 在 t 处连续。 X(t) 均方导数 X^{'}(t) 的期望是 m_{X^{'}}(t)=E[X^{'}(t)]=\frac{d}{dt}E[X(t)]=m_{X}^{'}(t) ； 证明：使用均方极限的性质1 E[X^{'}(t)]=E[\mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\frac{X(t+h)-X(t)}{h}]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{E[X(t+h)]-E[X(t)]}{h}=\frac{d}{dt}E[X(t)]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{m_{X}(t+h)-m_{X}(t)}{h}=m_{X}^{'}(t) 随机过程 X(t) 的均方导数 X^{'}(t) 的相关函数是 R_{X^{'}}(t_{1},t_{2})=E[X^{'}(t_{1})X^{'}(t_{2})]=\frac{\partial^{2}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}R_{X}(t_{1},t_{2})=\frac{\partial^{2}}{\partial t_{2}\partial t_{1}}R_{X}(t_{1},t_{2}) ； 证明：使用均方极限的性质2 \begin{array}{**lf**} R_{X^{'}}(t_{1},t_{2}) & = & E[\mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\frac{X(t_{1}+h)-X(t_{1})}{h}\mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h^{'}\rightarrow 0}\frac{X(t_{2}+h^{'})-X(t_{2})}{h^{'}}] \\ & = & \lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0}E[\frac{(X(t_{1}+h)-X(t_{1}))(X(t_{2}+h^{'})-X(t_{2}))}{h\times h^{'}}] \\ & = & \lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0}\frac{R_{X}(t_{1}+h,t_{2}+h^{'})-R_{X}(t_{1}+h,t_{2})-R_{X}(t_{1},t_{2}+h^{'})+R_{X}(t_{1},t_{2})}{h\times h^{'}} \\ & = & \lim\limits_{h,h^{'}\rightarrow 0}\frac{\frac{R_{X}(t_{1}+h,t_{2}+h^{'})-R_{X}(t_{1}+h,t_{2}))}{h^{'}}-\frac{R_{X}(t_{1},t_{2}+h^{'})-R_{X}(t_{1},t_{2}))}{h^{'}}}{h} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\lim\limits_{h^{'}\rightarrow 0}\frac{R_{X}(t_{1}+h,t_{2}+h^{'})-R_{X}(t_{1}+h,t_{2}))}{h^{'}}-\lim\limits_{h^{'}\rightarrow 0}\frac{R_{X}(t_{1},t_{2}+h^{'})-R_{X}(t_{1},t_{2}))}{h^{'}}}{h} \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial R_{X}(t_{1}+h,t_{2})}{\p皮肤白斑artial t_{2}}-\frac{\partial R_{X}(t_{1},t_{2})}{t_{2}}}{h} \\ & = & \frac{\partial}{\partial t_{1}}(\frac{\partial R_{X}(t_{1},t_{2})}{\partial t_{2}})=\frac{\partial^{2}}{\partial t_{2}\partial t_{1}}R_{X}(t_{1},t_{2}) \end{array} 同理可证： R_{X^{'}}(t_{1},t_{2})=\frac{\partial^{2}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}R_{X}(t_{1},t_{2}) 。 若 X 为随机变量，则 X^{'}=0 ； 证明： \because \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-0|]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}E[|\frac{X(t)-X(t)}{h}-0|]=0 \therefore \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{h\rightarrow 0}\frac{X(t+h)-X(t)}{h}=X^{'}(t)=X^{'}=0 若 X(t),~Y(t) 是随机过程， a,~b 是常数，则 [aX(t)+bY(t)]^{'}=aX^{'}(t)+bY^{'}(t) ； 证明： \begin{array}{**lf**} \lim\limits_{h\right畅销书arrow 0}E[|\frac{aX(t+h)+bY(t+h)-aX(t)-bY(t)}{h}-aX^{'}(t)-bY^{'}(t)|^{2}] & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}E[|a(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t))+b(\frac{Y(t+h)-Y(t)}{h}-Y^{'}(t))|^{2}] \\ & = & \lim\limits_{h\rightarrow 0}a^{2}E[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t))^{2}]+b^{2}E[(\frac{Y(t+h)-Y(t)}{h}-Y^{'}(t))^{2}] \\ & & + 2abE[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t))\cdot (\frac家用净水器{Y(t+h)-Y(t)}{h}-Y^{'}(t))] \\ & = & 2abE[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t))\cdot (\frac{Y(t+h)-Y(t)}{h}-Y^{'}(t))] \\ & \leq & 2|ab|E[(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t))\cdot (\frac{Y(t+h)-Y(t)}{h}-Y^{'}(t))] \\ & \leq & 2|ab|\sqrt{E[|\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{'}(t)|^{2}]E[|\frac{Y(t+h)-Y(t)}{h}-Y^{'}(t)|^{2}]} \\ & = & 0 \end{array} \therefore [aX(t)+bY(t)]^{'}=aX^{'}(t)+bY^{'}(t)

定义 : 设 \{X(t),t\in[a,b]\} 是随机过程， f(t)(t\in[a,b]) 是函数，将区间 [a,b] 分成 n 个子区间，分点为 a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b ，作和式 \sum\limits_{k=1}^{n}f(u_{k})X(u_{k})(t_{k}-t_{k-1}) 其中， u_{k} 是子区间 [t_{k-1},t_{k}] 中的任意一点， k=1,2,\cdots,n ，令 \Delta=\max\limits_{1\leq k\leq n}(t_{k}-t_{k-1}) ，若均方极限 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{\Delta\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(u_{k})X(u_{k})(t_{k}-t_{k-1}) 存在，且与子区间的分法和 u_{k} 的取法无关，则称此极限为 f(t)X(t) 在 [a,b] 上的均方积分，记为 \int_{a}^{b}f(t)X(t)dt ，此时也称 f(t)X(t) 在区间 [a,b] 上是均方可积的。

定理 : f(t)X(t) 在区间 [a,b] 上均方可积的充分条件是二重积分 \int_{a}^浩然剑{b}\int_{a}^{b}f(s)f(t)R_{X}(s,t)dsdt 存在，且有 E[|\int_{a}^{b}f(t)X(t)dt|^{2}]=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(s)f(t)R_{X}(s,t)dsdt 。

均方可积的性质：

若 X(t) 在 [a.b] 上均方连续，则 X(t) 在 [a,b] 上均方可积。E[\int_{a}^{b}f(t)X(t)dt]=\int_{a}^{b}f(t)E[X(t)]dt=\int_{a}^{b}f(t)m_{X}(t)dt 。E[|\int_{a}^{b}f(t)X(t)dt|^{2}]=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(s)f(t)R_{X}(s,t)dsdt 。\alpha ,\beta 为常数，则 \int_{a}^{b}[\alpha X(t)+\beta Y(t)]dt=\alpha\int_{a}^{b}X(t)dt+\beta\int_{a}^{b}Y(t)dt 。X 为随机变量，则 \int_{a}^{b}f(t)Xdt=X\int_{a}^{b}f(t)dt 。\int_{a}^{b}X(t)dt=\int_{a}^{c}X(t)dt+\int_{c}^{b}X(t)dt 。X(t) 在 [a,b] 上均方连续，则 Y(t)=\int_{a}^{t}X(s)ds,~a\leq t\leq b ，在 [a,b] 上均方连续，均方可导，且 Y^{'}(t)无限循环=X(t) 。X(t) 在 [a,b] 上均方可导，且 X^{'}(t) 在 [a,b] 上均方连续，则 X(b)-X(a)=\int_{a}^{b}X^{'}(t) 。

上述性质1-5，可推广到无限区间 [a,+\infty),~(-\infty,b],~(-\infty,+\infty) 。

定义 : 设 \{X(t),t\in[a,b]\} 是随机过程，而 f(t)(t\in[a,b]) 是函数，把区间 [a,b] 分成 n 个子区间，分点为 a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b ，作和式 \sum_{k=1}^{n}f(u_{k})[X(t_{k})-X(t_{k-1})] ，其中， u_{k} 是子区间 [t_{k-1},t_{k}] 中的任意一点， k=1,2,\cdots,n ，令 \Delta=\max\limits_{1\leq k\leq n}(t_{k}-t_{k-1}) ，若均方极限 \mathop{\rm l\cdot i\cdot m}\limits_{\Delta\rightarrow 0}\sum\limits_{k=1}^{n}f(u_{k})(X(t_{k})-X(t_{k-1})) 存在，且与子区间的分法和 u_{k} 的取法无关，则称此极限为 f(t) 对 X(t) 在 [a,b] 上的均方斯蒂尔吉斯积分，记为 \int_{a}^{b}f(t)dX(t) 。

定理 : 均方斯蒂尔吉斯积分 \int_{a}^{b}f(t)dX(t) 存在的充分条件是二重积分 \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(s)f(t)dR_{X}(s,t) 存在 。

\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(s)f(t)dR_{X}(s,t)=\lim\limits_{\Delta_{1},\Delta_{2}\rightarrow 0}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{m}f(u_{jk})f(v_{jk})[R_{X}(s_{j},t_{k})-R_{X}(s_{j-1},t_{k})-R_{X}(s_{j},t_{k-1})+R_{X}(s_{j-1},t_{k-1})]

其中 s_{j-1}\leq u_{j}\leq s_{j},~t_{k-1}\leq v_{k}\leq t_{k},~\Delta_{1}=\max\limits_{1\leq j\leq n}(s_{j}-s_{j-1}),~\Delta_{2}=\max\limits_{1\leq k\leq n}(t_{j}-t_{j-1}) 。