无内鬼，来份数学物理方法学习指北

从学期中就开始想写数学物理方法的书评，但是本来平时应付完课内的东西留下打游戏的时间就不多了，于是就拖到现在。

成绩出了，看这么些书还真不是我想看，只是选了两门数理方法，老师要求的教材还不一样，自己差点升天

数学物理方法通常意义上分为上下两篇，上篇讲复变函数与积分变换，下篇讲数理方程。后面推荐的几本书内容上会有所差异，我会在后面指出来。

复变函数讲法已经是相当完备的，不同版本的书上内容大致相同，可能刚开始会介绍一些什么复数序列、点集拓扑概念之类的，这个不太重要，大概知道就行，非数学中国的核潜艇专业不会专门考这个，不同书的区别主要在数理方程的深度要求上，后面会仔细讲，记住这门课更多的是强调嗯算，掌握各种积分、解方程的技巧，一般而言不会有太深的证明题，觉得这门课很难大可不必。

不要听某些学长学姐说这门课难就当真了，喊难的同学估计他们大概率别的课也学不好，回头看看也不是多难，就计算量大了一点，技巧、思维上没什么难度，你要对自己要求低一点的话，完全可以看成是算算算bart，多做题搞熟练了就可以，熟练到能条件反射般地算出不同类型的积分，解出各类边界条件、初始条件对应的Legendre、Bessel方程，这门课的基本要求就达到了，不要给自smalltalk己找借口说懒得算，这门课的重点就是去算。

这门课数学基础当然是微积分（求导、积分、级数剑魂觉醒、二阶齐次微分方程玩得溜一点就行）+一点点线性代数（主要就是齐次方程组有非零解系数行列式为零）+二项式展开（到了Legendre多项式里有的题可能对要求高一点），总体上对前置知识要求也不高，如果当时没掌握好的话学的时候接受就可以了，没必要倒回去复习。物理基础嘛，应富士康收购夏普当是会牛顿定律就行 ~~( ﹁ ﹁ ) ~~~，有些东西吧，即便是学了也可能会忘掉，真的没必要回去再看，接受课本上讲的东西，自己多推几遍掌握了就行。

如果你高数学的不够深入的话，我建议你学数理方程之前去了解一下微分方程的算子解法和欧拉方程换元后的算子形式（后面几句内容看不懂没关系，学数理方程的时候再来看看）。当你把偏微分方程的非齐次项按照本征函数展开后比较系数得到二阶常微分方程，算子法能够帮你快速地确定特解（毕竟至少要解两个常微分方程）；当你在球坐标或者柱坐标分离变量得到径向本征函数后，欧拉方程的算子表示法可以帮你快速地把径向本征函数算出来。

这一门课学一遍肯定是掌握不来的，起码学三遍才能用的比较熟练一些，我的话大约学了五遍，当然算来算去的多了也没什么意义，差不多就行，熟悉这个的好处之一就是对后续学习有用，举个最简单的例子比如说你在刚开始学习分离变量法的时候会得到一个带这种边界条件的方程：

X''(x)+X(x)=0\\ X（0）=0 \quad X（l）=0

这种题做多了以后你就会发现这就是一维无限深势阱的方程，你可以直接写出这个势阱的波函数（虽然没有归一化） X(x)=sin\frac{n\pi x}{l}\\

在量子力学里面会出现很多特殊函数，这些特殊函数大部分你都在数学物理方法里看到过（我不理解为什么有的老师不要求磁力引擎连带Legendre方程和连带Laguerre方程￣へ￣），如果能熟练掌握的话，对于数学之上的物理内容学起来会轻松些。

我第一遍学的时候直接无脑选北大吴崇试版的书，把吴崇试的课看完了，但是对于这门课而言好像不是最优解，b站上视频课主要有北大的吴崇试、马伯强，武大的周国全讲的比较好，吴崇试可能过于偏重理论一些，而且课时相对短一些，数学基础不好的选马伯强和周国全可能比较好一点，周国全讲的是真的通俗（就是带点口音。

主流的书籍主要有五本，复旦还有一本数理方法是谷超豪写的，薄薄的一小册，厚如北大版的都足以折磨新手了，更不用提这种薄薄的小册子，所以直接略过。

前面已经说过数学物理方法分为复变函数和数理方程两部分，你要是时间充足、对自己要求严的话，直接选一本复变函数书+顾樵的数学物理方法，因为顾樵的书只讲了积浅碧分变换和数理方程，而且除了例题没有习题，好处就在于他用500多页讲的详细，对于新手极其友好，你要是不走高配路径的话也可以搞一本电子版，看到教材哪里不明白到这本书来查，看这本书基本上肯定能明白。至于复变函数的书，你需要另外去找回答，有人说钟玉泉的不错，我没读过就不瞎说了，但是非数学专业不要选史济怀的复变函数，我硬刷了两章习题结果被干得稀烂 ╮（╯＿╰）╭，而且还没答案。。。。。。

要说明的一点是我不会像某些人一样没读过的书也人云亦云来推荐，这以下五本书里面有四本我仔仔细细的刷过、推导过，姚端正那本我做过习题集的前面一部分，她这本是和田玉平安扣习题里面讲解比较详细的，相对而言也不是很难，对于基础不好的同学可以买习题集来做，武大版课本我没有读过，所以主要谈另外四本，我读得比较详细的是梁昆淼和吴崇试的两本书。

吴崇试、梁昆淼、胡嗣柱这三本书作者本人都没有编写答案，只是胡嗣柱和吴崇试都编写了一本习题册，基本上习题册都挨着做一遍，课后题都能写出来了，如果写不出来就对着答案反向凑过程，总能搞出来，没搞出来就是你没学好。梁昆淼和胡嗣柱两本书都有人编写过习题解答，平心而论质量一般，有些题的解答过于笨拙，胡嗣柱那本书的习题解答基本上把难题都跳了过去，基本上算是恰烂钱的一本书，但是他那本书后面的习题还算有意聚氨酯泡沫思，我在考虑如果以后有空的话录个视频课讲解一下习题。姚端正的那本习题解答最厚，但是我没仔细看，不做过多评论。

在复变函数与积分变换这一部分，介绍复变函数与物理联系的内容不太多，比较重要的可能就是在讲Cauchy—Riemann条件的时候，梁昆淼、胡嗣柱两本书会介绍复势的概念，而吴崇试并没有讲这个东西，而且北大傅立叶变换放在高数里面学，所以吴崇试的书也没有傅立叶变换，如果你选了吴崇试的这本书，还想要了解这些内容的话需要找另外两本书。在数理方程这一部分，基本上讲的都差不多，梁昆淼的书可能要求会更高一些，比如在柱函数一章中，对于这个积分吴崇试通过洛必达法则得到这样一个结果：

\int_0^aJ_m^2(k_{mi}r)rdr=如何做网页\frac{a^2}{2}[J_m'(k_{mi}a)]^2

它只在第一类齐次边界条件下才成立，如果换一个边界条件就要想其恋姫无双他的积分办法，梁昆淼会告诉你，经过分部积分再加一点点小技巧就可以得到Bessel函数模方更普遍的形式：

\int_0^{a}J_m^2(k_{mi}r)rdr=\frac{1}{2k_{mi}^2}[(k_{mi}^2a^2-m^2)J_m^2(k_{mi}a)+k_{mi}^2a^2J_m^{2'}(k_{mi}^2a)]

从数学上讲梁昆淼的书太笨拙，更像是搞物理的人写出来的东西，一切都可以硬算 (* ￣︿￣)，比如在解径向本征函数的时候解出来： 电缆线型号

R(\rho)=C_1e^{m\rho}+C_2e^{-m\rho}\\ R(0)=f\qquad R(\rho_0)=g

既然要函数有意义就要不恒为零，然后就嗯算系数行列式，但是吴崇试会告诉你这是完全不必要的，你可以通过对 e^{m\rho}、e^{-m\rho} 的组合把本征函数改写成双曲函数：

R(\rho)=D_1sinh(m\rho)+D_2cosh(m\rho)\\

好处就在于你带入一个边界条件 R(0)=f 就可以确定其中的一个系数 D_1 ，这样再求 D_2 计算量也会小不少。

再就是二阶微分方程奇点邻域的级数解法，梁昆淼、胡嗣柱的艾草驱蚊书上都还用了画表、套公式的方法，完全没有必要，还是那句话，学完高数应当是会级数求导之后整体平移的，要做的只是把 y=\Sigma a_nx^{n+\rho} 带入微分方程，通过平移把x的次数调成相同次数，比较系数就能得到结果。

总体来说，吴崇试这本书在数学上更讨巧。

选上海周边自驾游书我建议问好学长学姐你们学校用哪本书再买，虽然讲的内容是一样的，但是用的符号、讲法有些可爱女生昵称差别，如果你看一本书写另一本书的作业，解题的时候会感觉怪怪的，但仔细琢磨琢磨，他们讲的还是一回事。

以振动方程为例,梁昆淼版通篇的偏微分方程基本上都是这样写的：u_{tt}-a^2u_{xx}=0

吴崇试的书上是这么写的： \frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial^2x}=0

原始社会好我觉得后面那个形式更好看，也多写不了几个字，于是我的作业通篇都带着偏导符号 o(￣ヘ￣o＃)

最妨碍我这种强迫症阅读的是柱函数那一章

梁昆淼那一章给出的Bessel方程形式是这样的： \frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+(\mu-\frac{m^2}{\rho^2})R=0

这样你就会得到方程一个解为： R(\rho)=J_m(\sqrt\mu\rho)

而吴崇试的的书上就会给出： \frac{1cpu排行榜}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR(r)}{dr})+(k^2-\frac{m^2}{r^2})R(r)=0

相应的解就变成了： R(r)=J_m(kr)

对我而言我更喜欢后者，梁昆淼那本书根号在柱函数里满天飞，虽然最后会把根号搞掉，但是我还是觉得不太爽。当然形式上的东西是次要的，他这本书还有一个问题就是没点明虚宗量Bessel函数和Bessel函数之间的关系，相比之下吴崇试的那本书从开始就是在复数域上去讨论Bessel方程，因此虚宗量Bessel函数只是对于复变量实部为零的一个特例。

当然也不是说北大版的数学物理方法就一定好，这本书刚开始可能不太好上手，有些东西要自己多思考，书上复变函数给了一些比较基本的证明题，第一遍学的时候未必要做出来，但是一定要思考，第二遍再学的时候就应当能够把几乎所有证明都灭白蚁写出来，数理方程有些地方也写得简略一些，我当时是对着顾樵的那本书学了一遍再看这本书的，所以我在吴崇试的这本书上写了很多批注，刚开始读的时候问题确实有点多。

另外一点问题就是吴崇试这本书少了些物理内容，取而代之的散热底座是数学内容。譬如这本书对于冲量定理法、行波法讨论的比较少，这两种方法都是偏向于物理解释的方法去解偏微分方程，但事实上有背后的数学原理，冲量定理法实质就是格林函数法，梁昆淼的书上没有讲格林函数，而吴崇试和胡嗣柱的书上都是按照格林函数讲的，单论格林函数和行波法这两章内容的话，胡嗣柱的书略胜一筹，这本书的一个缺点就是对于新手不太友好，第二遍再学的时候看这本书就没什么问题，这本书在导出数理方程在柱坐标、球坐标下的形式的时候有一节打星号的内容介绍正交曲面坐标系的Lapl胡蕴蓉ace算符，这一节会引入外微分、*运算介绍散度、梯度、旋度的微分协变形式，但是你没办法在这本书里深究原因，这是微分流形的东西，所以豆瓣上有人评论说这本书既不数学也不物理，这句话我倒不完全认同，毕竟这本书里也有一部分物理内容，但还是有一定道理的。