《图论及其应用》（一）

点击返回目录

微创手术一. 定义1.1 图的基本概念

图或有序对或序偶（P1）、有限图/平凡图/非平凡图/空图（P1）、顶点数或阶数/边数/重数/重边/环（P1）、简单图/复合图（P1）、相邻（P2）、相关联（P2）、同构 \cong （P2, PPT1-26-29的例2-例5, PPT1-30的同构实际意义）、非标定(号)图/ 标定(号)图（P2）、完全图 K_n （P2）、偶图（P2）、完全偶图 K_{m,n} （P2）、补图 /自补图（P3）、度 d(v) （P3）、最小度 \delta(G) （P3）、最大度 \Delta(G) （P3）、奇点/偶点（P3如何投资白银）、 k 正则图（P3）、度序列（P4）、图划分（P4）、可图（P4）、频序列（P5）、子图（P5）、真子图（P6）、生成子图（P6,PPT3-8的例2）、导出子图（P6，PPT3-6的例1）、边导出子图（P6,PPT3-7的例2）、不相交的（P6）、边不重的（P6）、并图 \cup （P6）、交图 \cap （P6）、差 - （P6）、对称差 \Delta （P6）、联图 \vee （P7）、积图 \times （P8）、合成图 G=G_1[G_2] 、方体（P9, PPT3-29的递归构造方法）、途径/ 迹/ 路（P10）、回路/闭迹/圈/奇圈/偶圈（P10）、连通图（P10）、连通分支或分支 G[V_i] （P10）、分支数\omega(G)（P10）、距离/直径（P10）、赋权图（P11）、最短路（P11）、邻接矩阵（P15）、关联矩阵（P16，P16例1）、邻接代数（P17）、l 部图（P20）、完全 l 部图（P20）、完全 l 几乎等部图（P21）、完全 l 等部图（P21）、度序列优于/度序列弱于（P22）

注意：1. 图的四种二元运算（ +,\vee,\times, G_1[G_2] ）后得到的新图的点数和边数（P9，注意：积图是合成图的子图）（PPT13-8例2）。2. 偶图不能有环，偶图可以有重边。3. 无限图也是大量存在的，比如正整数集合上的“整除关系”图就是一个无限图。4. 对于“补图”的概念要注意：只有简单图才能定义补图。对于“自补图”，并不是任意一个简单图都是自补图。5. 一个图的度序列与序列中的元素排列无关，给定一个图，只对应唯一一个度序列，同构的图具有相同的度序列。6. 图的积运算是网络构造的常用方法。并行计算机中的网络拓扑常采用所谓的“超立方体”结构。采用该结构可使网络具有较好的可靠性、较小的通信延迟和很好的可扩展性以及便于并行编程等优点。1.2 树

树（P31，PPT6-5的例1, 一个点也是树）、森林（P31）、树叶（P31）、分支油性皮肤护理点（P31）、平凡树（P31）、最小连通图（P33）、离心率（P34）、半径（P34）、直径（P34）、中心点（P34）、中心（P34, 比如社区医院的修建位置上就可以建在图的中心）、分支（P34）、权（P34）、形心点（P34）、形心（P34）、生成树（P35）、生成森林（P35）、树枝（P35）、弦（P35）、基本回路（P38）、基本回路系统（P38）、最小生成树（P40）

根树（P217）、树根（P217）、树叶（P217）、内点（P217）、分支点剪辑软件（P217）、层数（P217）、高（P217）、祖先（P218）、父亲（P218）、儿子（P218）、兄弟（P218）、有序树（P218）、外向树（P218）、内向树（P218）、m元树（P218）、m元完全树（P218）、最优二元树（P221，P221例5）、前缀（P224，P224例7和例8）

注意：1. 要会联系概念，并对概念有一定深度的理解。比如“树不一定是偶图”，因为树里面还有平凡树，平凡树不是偶图。但如果说“非平凡树一定是偶图”就是正确的。2. 树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。1.3 图的连通度

割边（P46）、割点（P46）、块（P47，及P47的例2, PPT9-14的例5）、块割点树（PPT9-19, 其为了直观反映图的块和割点之间的联系, PPT9-19的例6）、顶点割或点割（P50）、最小点割（P50，P50例1）、连通度 \mathcal{k}(G) （P50，P50例2）、k 连通的（P50）、边割（P50）、最小边割（P51）、边连通度 \lambda(G) （P51，P51例3）、 k 边连通的（P51）、哈拉里图（PPT10-13, 涉及可靠性通信网络构建城市规划）、点独立路（P53）、点分离集合（P54zlib）

注意：1. 图的连通程度的高低，是图结构性质的重要表征，图的许多性质都与其相关，例如：连通图中任意两点间不相交路的条数就与图的连通程度有关。2. 对于割点的定义：当且仅当 \omega(G-v) > \omega(G) ，其前提是 G 无环且非平凡。拓展：1. 描述连通性的其它参数，包括图的坚韧度、图的核度等，参见PP10-20起。2. 图的宽直径相关概念，参见PPT11-12起。用来度量网络的传输延迟。1.4 Euler图与Hamilton图

Euler闭迹 / Euler图（P70，欧拉闭迹又称为欧拉环游或欧拉回路, 欧拉图简称为E图）、Euler迹 / 半Euler图（P69/ P70）、最优环游（P76）、Hamilton路 / Hamilton图（P78，哈密尔顿路简称H路，哈密尔顿图也简称H图）、Hamilton圈（P78）、闭图（P80）、闭包（P81和构造算法）、度极大非Hamilton图族（P84,定义为 C_{m,n}=K_m \vee (\overline{K}_m+K_{n-2m}) , 实际上用C_{m,n}=\overline{K_m}\vee K_m\vee K_{n-2m},1 \leq m < \frac{n}{2}, P85例1）、旅行售货员问题TSP（P87）、最优 H 圈（P87）、超 H 图 / 超可迹的（P89/ P90）、Peterson图 / Thomassen图（P90）、线图 L^n(G) （P94, 对于线图是对于n次迭代后而言的）、细分图 S_n （P95, 细分图也是对于几次细分而言的）

注意：1. 对于闭图的概念，要注意逻辑，如果没有 d(u)+d(v) \geq n 的点，则也是闭图。2. 注意度极大非H图族中 m 有个范围的哦！农村调研报告这样就不用画那么多啦！3. 如何理解“从表面上看， E图与H图间没有联系“？因为我们可以不费力地找到: (1) E图但非H图； (2) E图且英语词性转换H图； (3) H图但非E图; (4) 非E图且非H图（这里就要注意逻辑了！就像量子力学波函数的奇怪之处，当时也是穷举了所有的逻辑也找不出）和女孩子聊天技巧。为了联系它们，于是引入了“线图”，目的是为了从线图的角度考虑E图与H图。线图有如下性质：（1）若 e=uv 是 G的边，则 e 作为 L(G)的顶点度数为d(e)=d(u)+d(v)-2 ；（2）若 G=(m,n) ，则线图 L(G) 边数为 m(E(L(G))=-m+\frac{1}{2} \sum_{v \in V(G)} d^2 (v) ; (3) 一个图同构于它的线图，当且仅当它是圈；(4) 若图 G 和 G_1 有同构的线图，则除了一个是 K_2 而另一个是 K_{1,3} 外， G 和 G_1 同构。关于它们的证明参见PPT16-25起。4. 对于图 G 的线图和细分图，有 L_n(G)=L(S_{n-1}(G)) 。1.5 匹配与因子分解

匹配（P100, 又称为对集或边独立集, 注意不含环哦！）、M饱和点/M非饱和点（P100）、完美匹配（P100，PPT17-21例2(2)）、最大匹配（P100）、M交错路（P100）、M可扩充路（P100, PPT17-9, 要会找）、S的邻集或邻域 N(S) （P101）、(点) 覆盖（P102）、最小(点) 覆盖（P102, 其中包含的点数称为覆盖数，记为 \alpha(G) ）、奇分支 \circ (G) （P104）、偶分支（P104）、因子分解（P106）、n-因子（P106, PPT18-10例子）、n-因子分解（P106）、n-可因子化的（P106）、森林因子分解（PPT18-20及例子)、荫度 （P109, 记为 \sigma(G) ）、M非饱和点（P111）、M可扩路（P111）、M交错树（P111）、最优匹配（P113）、可行顶点标号（P114）、相等子图（P114）

注意：1. 对于匹配问题，不要一开始就默认把它按照偶图来想象。注意：(1) 一个图不一定有完美匹配，若有，则每个完美匹配都是最大匹配（注意完美匹配和最大匹配的关系）;(2)一个图的最大匹配和完美匹配(若存在)偶不一定唯一。2. 对于M饱和点/M非饱和点，要等划分好匹配后才能确定，而且划分的方法可以不止一种，因此同一个点也可以有多种情况。3. M可扩路在匹配扩大过程中起到很大的作用，给予它可以扩充匹配。4. 若 G 垫底辣妹有一个1-因子（其边集为完美匹配），则显然 G 是偶阶图。特别地， K_{2n+1} 不能有1-因子，但 K_{2n} 有一因子。这样将完美匹配和1-因子分解联系了起来（P117-3）。5. 图的一个一因子实际上就是图的一个完美匹配的导出子图。一个图能够作一因子分解，也就是它能全硅胶娃娃够分解为若干边不重的完美匹配的导出子图之并。1.6 平面图

可嵌入平面（或可平面图）/ 一种平面嵌入 / 平面图（P119）、面/ 外部面（或无限面）（P120, 面组成的集合用 \Phi 表示）、面的边界 / 次数 \deg(f) （P120，P121例2，割边计算两次）、极大可平面图/极大平面图（P127, 注意定义中包含俩情况奥！且仅对于简单图而言的！）、极小不可平面图（P129）、外可平面图 / 外平面图（（P129及例子,能围住即可/ P129）、极大外可平面 / 极大外平面图（P129/ P129及例图）、对偶图 G^* （P132及例3构造过程及表6-2的对应关系）、基本非平面图（Kuratowaki图）（P134）、在2度顶点内扩充或收缩（P134及例子）、同胚的（微软开发者大会P134）、基础简单图（P135）、初等收缩（P136及例子， G / uv ）、关系 e_1 \sim e_2 （P139，具有自反性、对称性和传递性）、桥（P139及例1）、附着顶点（P139）、 G 容许的（P139及例2）、可画入（P140）

注意：1. PPT20-4至8举例说明了研究本章内容在实际生活中的应用价值。2. 平面图及其偶图的一些性质：(1) G^* 的点数= G 的面数；(2) G^* 的边数= G 的边数；(3) G^* 的面数= G 的点数；(4) d(v_i^*)=\deg (f_i) 。3. 对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入，使得G的顶点均在外部面的边界上。这由球极投影法可以说明。且要知道：设G是一个连通简单外可平面图，则在G中存在度数至多是2的顶点。补充：1. 涉及平面性的不变量，即如何刻画一个非可平面图与平面图之间的差距，参见PPT22-21起。1.7 图的着色

k边着色/ 色集/ 边着色是正常的（P147）、边色数 \chi' （P147）、k 边可着色的（P147）、划分/ 分划（P148, 分别满足3个条件和其中的2个条件）、色组 \psi^{-1}(i) （P148, 有可能\psi^{-1}(i)=\emptyset）、着色是正常的/ 色数 \chi / k 可着色的（工作犬P152）、色组 \pi^{-1}(i) （P153）、色划分（P153）、k 色图（P153）、次大度 \Delta_2(G) （PPT25-15, PPT25-16的例子）、色多项式 P_k(G) （P166以及5个性质）、理想子图（P169及例2, N_r(G) ）、伴随多项式 h(G,x) （P170）

注意：1. PPT24-4和PPT25-3分别举例说明了本章内容在现实中的应用价值。对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。因此，图的边着色，本质上是对应实际问题中的“划分”问题或“分类”问题。2. 色多项式是对于点着色而言的，且 k 表示“最多”用k种颜色。用色多项式计算时的核心套路就是递推，其递推公式为 P_k(G)=k^nP_k(G') ，其递推之母为P_k(K_n)=k(k-1)...(k-n+1）和 P_k(G)=k^n 。1.8 Ramsey定理

点独立集/最大独立集/独立数 \alpha(G) （P191）、点覆盖/最小点覆盖/最小点覆盖数 \beta(G) （P191）、边覆盖/最小边覆盖/边覆盖数 \beta'(G) （P192）、边独立数 \alpha'(G) （P192）、 \beta 临界点（P193）、\beta 临界边（P193）、\beta 点临界的（P194）、\beta 边临界的（P194）、Ramsey数（P197, PPT28-18的例2, PPT28-21的例4）

注意：1. \alpha(G)，\beta(G)，\beta'(G)，\alpha'(G) 要会求，参见PPT2兼职会计8-10的例1。成吉思汗王者荣耀2灵魂猎手. 有 \beta 临界边的图必有\beta 临界点，但有 \beta 临界点的图不一定有\beta 临界边。补充：1. 拉姆齐数的计算很难，所以研究拉姆齐数的上下界是该问题的主题。综述的一些结果参见PPT28-20起火浴。1.9 有向图

有向图 (PPT29-3, 用三元组定义)、始点/终点（P209）、重数（PPT29-4）、基础图（P209）、定向图（P209, PPT29-7的例1）、出度 d^+(v) /入度 d^-(v) （P210）、有向图 D 的邻接矩阵和关联矩阵（P210）、n 重边/重数/单边（P211）、简单有向图（P211）、u 可达 （P212）、强连通的/单向连通的/弱连通的（连通）（P212）、强（单向、弱）连通分支（P213, PPT29-15的例3）、

二. 定理2.1 图的基本概念

1. 若 n 阶图 G 是自补的（即 G \cong \overline{G} ），则 n=0,1(\operatorname{mod} 4) 。（P3证明，必要条件青岛旅游地图，但不是 充分条件, PPT2-13的例2）

2. 图 G=(V,E) 中所有顶点的度的和等于边数 m 的2倍，即 \sum_{v \in V}d(v)=2m 。（P4证明, PPT2-19的例3）

推论1：在任何图中，奇点个数为偶数。（P4证明）推论2：正则图的阶数和度数不同时为奇数。（P4证明）

3. 设有非负整数组 \Pi=(d_1,d_2,...,d_n) ，且 \sum_{i=1}^n d_i=2m 是一个偶数， n-1 \geq d_1 \geq d_2 \geq...\geq d_n ，它是可图的充要条件为 \Pi'=(d_2-1,d_3-1,...,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},...,d_n) 是可图的。（P5例子，P30-11）

图序列判断充要条件： 非负整数组 \Pi=(d_1,d_2,...,d_n) ， d_1 \geq d_2 \ge ... \geq d_n ，\sum_{i=1}^n d_i=2m 是图序列的充分必要条件是 \sum_{i=1}^r d_i \leq r(r-1)+\sum_{i=r+1}^n \min \{r,d_i\},1 \leq r \leq n-1 。（该定理只能做判断，定理证明比较困难。

4. 一个简单图 G 的 n 个点的度不能互不相同。（P5证明）

5. 一个 n 阶图 G 和它的补图 \overline{G} 铝塑管有相同的频序列。（P5证明）

6. 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2^m 个。（P6证明）

7. 若图 G 是不连通的，则 \overline{G} 是连通图。（P10证明）

8. (偶图的判定定理) 一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈。（P10-11证明）

9. 代数图论的相关定理：

(1） G 连通的充分必要条件是： A(G) 不能与如下矩阵相似： \begin{pmatrix} A_{11} & 0\\ 0 & A_{22} \end{李氏力场pmatrix} 。(PPT4-6的证明）

(2) 令 G 是一个有推广的邻接矩阵 A 的 p 阶标定图，则 A^n 的 i 行 j 列元素 a_{ij}^{(n)} 等于由 v_i 到 v_j 的长度为 n 的通道的数目。（P16证明）

推论：设 A 为简单图 G 的邻接矩阵，则 (a) A^2 的元素 a_{ii}^{(2)} 是 v_i 的度数， A^3 的元素a_{ii}^{(3)} 是含 v_i 的三角形的数目的两倍；(b) 若 G 是连通的，对于 i \neq j ， v_i 与 v_j 之间的距离是使 A^n 的 a_{ij}^{(n)} \neq 0 的最小整数 n 。

(3) n 阶连通图 G 的邻接代数的维数有 d(G)+1 \leq \dim \wedge(G) \leq n 。（P17证明）

点击返回目录