陶哲轩无与伦比的头脑 | New York Times

今年四月的一天，加州大学洛杉矶分校一间不起眼的办公室外面，学生步履悠闲。而在办公室里，数学家陶哲轩正思忖着水会不会自发爆炸。他告诉我，一组被广泛运用的方程描述了流体（比如水）的特性，但这些方程好像不能解释不规则氧氟沙星滴耳液的涡流为何没有自发内收，进而收紧成为一个激烈漩涡，直到漩涡中心的能量密度增至无限，成为一个灾难性的“奇点”。某人往大学教工中心旁的喷泉投掷一美分，或是在圣塔莫妮卡沙滩用一块石头打水漂都可能导致连锁反应，甚至进而掀翻整个南加州。

但这不太可能发生，“没人能准确地解释原因”，陶哲轩解释道。这个难题困扰了学界数十年，而陶哲轩最近正在尝试某种解题方法。这个方法既包含奇思妙想，又有荒诞不经的一面，仿佛是 《爱丽丝漫游仙境》里遗失的章节。

他说，想象有个智者用纯水造了一台机器。这台机器内部并非杆子和齿轮，而是由相互作用的水流构成。陶哲轩边说边用手在空中比划形状，就像一位魔术师。进而想象这台机器能制造出一台更快、更小的复制品，如此循环，直到出现一台“占据极小空间并具有无限速度的机器，然后它爆炸了。”陶哲轩并不是要提议打造这样一台机器——“我不知道怎么造！”他大笑着说。这只是一场思想实验，就像爱因斯坦当年构想狭义相对论时做的那样。但是陶哲轩解释道，如果他能用数学证明这样一台魔幻装置原则上是可以实现的，那么这就意味着水能爆炸。而在这个过程中，他也将解决纳维叶—斯托克斯问题的全局正则性问题，自这个问题被提出一个多世纪以来，一直都是数学界最重要的研究内容之一。

四十岁的陶哲轩坐在窗边的书桌旁，桌沿上纸张摆放随意。他踩着勃肯凉拖，穿着皱巴巴的蓝灰色的Polo衫，牛仔衫的袖口翻起。他身材瘦弱，一点也没有教授的架子。他身后是一张杏色的沙发，沙发对着一块横跨整个房间的黑板，上面写满了数学符号。沙发没有贴着墙壁，为的是腾出空间停放他通勤用的旧山地车。房间的另一边放着一个纤维板搭的书架，上面的书随意地堆着，里面包括他的两本著作《紧致性与矛盾性》与《庞加莱的遗产：第一部》，陶哲轩十几岁就开始著书，现在已经出版了16本。

出生在澳大利亚南部的陶哲轩，年纪轻轻时就小有名气。家乡的报纸曾刊出头条《小哲轩——七岁的高中天才》。剪报上还有一张他在高二数学课上的照片，照片中小个儿的陶哲轩穿着一件V领外中国的教育制度套与白色高领毛衣，跪坐在椅子上，从而能和一位年龄是他两倍的姑娘共用一张桌子。他的老师告诉记者，他几乎教不了陶哲轩什么东西，因为陶哲轩总是提前学会下两堂课的内容。陶哲轩在两岁的时候就自己学会了阅读。

几个月后，学年将将过半，陶哲轩就跳级开始上十二年级的数学课。三年后，年仅十岁的陶哲轩成为国际数学奥赛历史上最年轻的奖牌获得者。从此他开始频繁收获荣誉，包括麦克阿瑟天才奖和被誉为“数学界诺贝尔”的菲尔兹奖。今天，许多人认为陶哲轩是他这一代最出色的数学家。

那个春日，我去他的办公室拜访，陶哲轩回想起他迄今为止的学术生涯，他说他对数学的观念和小时候有了天翻地覆的改变。他讲话带着一种轻快的澳洲口音，“当我一点点长大的时候，我清楚我想成为一名数学家，但我并不知道那究竟是要干什么，我有点以为会有一个组织，交给我要解决的问题。”但事实是，真正数学家做的事和学生时期的做题技巧和公式背诵完全不沾边。甚至那些大学学霸也可能缺少数学家的某些素质。陶哲轩发现，对于数学这门古老的艺术而言，速度的重要性远远不及耐心和狡黠，以及爵士乐大师身上那种即兴发挥和合作的天赋。陶哲轩现在认为，年轻时的自己，那位震惊数学界的奇才，并不是真正地在风水法器做数学。“就好像你学音乐，却只是一直在练习音阶，学习乐理”，他将目光移向窗外，阳光洒在他的脸上，“我在很久之后才知道数学更深层的含义。”

18世纪的德国数学家卡尔·弗雷德里希·高斯可能是有史以来最伟大的数学家，然而他并不近人情。他和自己的孩子不打交道，并且把重要的研究成果束之高阁，认为它们不适合公开水土保持方案发表。这些研究成果在他逝世后于手稿中被发现。纵观古今，不乏与周遭事务格格不入的数学家，从孤独一生、脾气暴躁的艾萨克·牛顿，到拥有“美丽心灵”的约翰·纳什。后者的成果改写了经济学甚至政治学的教科书，但本人却饱受妄想症的困扰；再到最近，俄罗斯人格里高利·佩雷尔曼独自解决了庞加莱猜想，但却拒绝领取菲尔兹奖，还任由指甲自由生长直到卷起。

相比之下，陶哲轩的一位同事认为陶哲轩“超级正常”——他举止绅士，又善于自省。他放弃了美国东海岸名校提供的教职，因为他偏好放松、平平淡淡的机构，在那里他可以享受加州的天气。而在课堂上，他能让数学变得有趣起来。他的一个学生告诉我，他最近和同学开玩笑说陶哲轩颠覆了好莱坞许多“疯子天才”的形象。“他们永远也不可能给他拍电影，”他说。“他的生活安定，家庭幸福，他总是在微笑。”

这种特质可以追溯到他的童年，他认为自己经历了“非常正常”的生活，但显然外人不这么看。早些年，陶哲轩一家大部分时间住在澳大利亚南阿德莱德，从他们家那幢山麓上的复式砖房，能看得到圣文森特海湾。房子由陶哲轩的父亲比利设计。他的父亲是一位儿科医生，1972年和陶哲轩的母亲格蕾丝从香港移民澳大利亚，三年后的1975年，三个孩子中的长子陶哲轩出生。三个男孩——奈吉尔，特雷弗与“特里”（陶哲轩的小名）总是一起玩耍，而他们最大的消遣就是发明桌游。根据现供职于谷歌的弟弟奈吉尔所言，他们通常挪用一块拼字游戏板，在上面的网格里放入拼字游戏片，棋子，中国跳棋，麻将牌和龙与地下城的骰子。故事情节通常照搬当时发行的电子游戏，比如超级马里奥兄弟，然后加上几层复杂而异想天开的规则。（特雷弗是国际象棋少年冠军，实力太强很难击败，所以孩子们给游戏增加了一些变数：每一轮从摇骰子开始，决定哪个棋子能被移动。）陶哲轩还是一个科幻小说的狂热爱好者，比如特里·普拉切特的《碟形世界（Discworld）》系列。上课无聊的时候，他还会随手为幻想世界画些错综复杂的地图。

1985年春天，陶哲轩同时就读高中与附近的弗林德斯大学，那时他9岁，父母带他去美国转了三个礼拜，寻求顶尖数学家与教育学家的建议。他们在约翰·霍普金斯大学与朱利安·史丹利会面。朱利安·史丹利是出生于佐治亚州的心理学家，并在此地为天才少年建立了一个教育中心。陶哲轩是史丹利测试过的最具数学天赋的学生——他八岁的时候SAT的数学部分拿了760分（SAT即美国高考，数学满分800分）。但史丹利建议父母把节奏放慢，给予陶哲轩时间发展情感与社会技能。

尽管步伐相对保守，陶哲轩还是在17岁的时候完成了硕士论文《右单演调和核产生的卷积算子》，随后前往普林斯顿开始他的博士生涯。陶哲轩申请普林斯顿时，推荐信来自匈牙利数学巨擘保罗·埃尔德什。“我确信他会成为一位一流的数学家，还可能是一位伟大的数学家，”埃尔德什的这张打字机便条言简意赅，“我毫无保留地推荐他“。然而到了普林斯顿以后，反而是陶哲轩这位少年天才被吓到了。博士第一年，后来成为普林斯顿教授的安德鲁·怀尔斯宣布他证明了费马大定理，三百多年来无数研究者为这个传奇的定理前赴后继。陶哲轩身边的同学总是在他一无所知的数学领域发表高谈阔论。

陶哲轩渐渐沉迷游戏，彻夜在机房玩《文明》——一款历史模拟类游戏。这桩轶事在普林斯顿人尽皆知。（他告诉我他现在弃坑了，“完美主义者倾向”让他一上手根本停不下来）。在当地的一家漫画店，陶哲轩遇到了一群玩万智牌的朋友——这是一款奇幻背景的卡牌游戏，规则复杂，这是他第一次真正意义上与和他的同龄人玩耍。但陶哲轩也承认，这一定程度上也是为了逃避来自普林斯顿的压力。天才儿童面对他们无法出色解决的挑战时常常选因缘果报择逃避。在陶哲轩来到普林斯顿前，他在弗林德斯大学时，成绩已经下滑。在一门量子物理的课程中，老师告诉全班期末考试包括一篇关于量子物理学历史的论文。而当时12岁的陶哲轩完全不学习，当他坐在考场，开始答题时，他震惊地发现这篇文章要占一半成绩。“我记得当时我都哭了”，陶哲轩说，“监考老师不得不把我护送出考场”。陶哲轩挂科了。

在普林斯顿，危机出现的形式成了“资格考”，这是一场覆盖范围广，难度大的口头测试，学生需要同时面对三名教授的提问。当其他学生用数月的时间练习刷题并相互模考时，陶哲轩依旧采用惯常策略——临时抱佛脚。“我走进考场开始答题，很快就被测出了深浅。”陶哲轩说，“他们的问题我没有能力回答。”随即，陶哲轩和他的导师埃利亚斯·斯坦见面，感觉他已经让导师失望了。陶哲轩还未真正努力过，而困难还在后面。

在博士生涯的后期，学生们才开始体验数学家真正的工作内容——写出新的定理证明，从而创造新知识。通常他们算了一张又一张纸，算到季节变换，却又回归原点，一无所获；亦或是找到了证明过程中微小的逻辑瑕疵，意味着整个证明从一开始就注定失败。茫然无措，无所进展是数学研究的常态。普林斯顿教授查尔斯·费弗曼，也是昔日数学神童，菲尔兹奖得主。他把这个过程形容为“与魔鬼下棋”。不过，费夫曼解释道，与魔鬼下棋的规则有些特别：魔鬼远比你擅长下棋，但你想悔几步棋就能悔几步，而魔鬼不能。当你下第一局时，魔鬼理所当然地碾压了你。于是你悔了几步棋，试着换种下法，它又用差不多的方式碾碎了你。如果你足够“狡猾”，你最终能找到一招，迫使魔鬼改变对策。你还是输了，不过——啊哈！——你找到了击败他的第costdown一条线索。

被数学吸引的这群家伙，看重准确无疑、逻辑严密和结果简洁，这也让数学研究成为一种特别的“折磨”。你可能花费数周、数月甚至数年时间去研究一个你甚至不知道是否有解的问题，这是任何想要成为数学家的人都必须鼓起勇气去面对的。这仿佛置身一个无门无窗的房间，你大可以放模拟人生4mod声呼喊，却没有人能听见。

在数学界，陶哲轩最出名的成果是对质数一项性质阻击手电影的证明。质数是所有仅能被1和其本身整除的大于1的整数。最小的几个质数是2,3,5,7和11。4不是质数，因为它能被2整除；9不是质数，因为它能被3整除。质数是数学的基石，就像化学中的元素一样，质数的组合构建起整个数学大厦。对于化学家来说，水微信创业分子是由两个氢原子和一个氧原子组成的。类似地，在数学中，数字12是由两个2和一个3构成的（12 = 2 x 2 x 3烤箱可以做什么好吃的）。

质数是最基本的数，也是神秘的数。它们由简单的逻辑得出，却似乎随机地出现在数轴上，你永远不会知道下一个质数何时出现。他们有序而又无序。它们被引入神秘主义理论和宗教仪式中，启发了音乐作品，甚至成为一本意大利小说《质数的孤独》的灵感来源。如是，数学家为何将质数奉为宇宙运行的基础之一就显而易见了。人们从数数开始建立起数的概念，然后自然而然地建立起加减乘除这些基本运算符的概念。有了这些概念，你就可以发现质数了。而惊人的是，科学家已经揭示了质数和量子力学之间的深刻联系，但他们还无法解释为何如此。如果在遥远的某颗恒星上存在着外星人的高等文明的话，它们说的肯定不是英语，它们可能发明了电视，也可能没有。但我们几乎可以确定，外星数学家发现了质数，并为之着迷。

陶哲轩的研究与孪生质数猜想有关，这是由法国数学家波利尼亚克于1849年提出的。如果我们在数轴上将质数一个个圈起来，有时我们会发现两个质数之间仅相差2，比如5和7、11和13、17和19——这些就是“孪生质数”。越往后，孪生质数出现的频率就越低：2237和2239后是2267和2269；31391和31393之后的一对是31511和31513。欧几里得简洁而优雅地证明了质数有无穷多个，那么孪生质数呢？如果我们一直在数轴上找下去，我们总能找到下一对孪生质数吗？所有试图证明这一猜想的尝试都失败了。

当数学家遇到一个他们无法回答的问题，他们有时选择构建一个稍弱的命题，以期借此收获洞见。这就是陶哲轩和牛津大学的本·格林在2004年选择的方法。孪生质数是一对相差正好等于2的质数，而陶哲轩和格林则考察一个较弱的定义——一串相差正好为某常数的质数，不论这个常数是否为2（例如：质数3,7,11国贸专业之间相隔都为4）。他们试图证明：不论一串相等间隔的质数串有多长（译者注：即包含多少质数），我们总能找到另一串更长的相等间隔的质数串。当年2月，在经过一些初步讨论后，格兰来到加州拜访陶哲轩，仅仅过了两个月，他们就得出了令人振奋的成果，也就是现在的“格林-陶定理”，这可能是证明孪生质数猜想的一个方向。这一定理将数学中各个独立领域深刻地融合在一起，帮助建立了一个新的跨学科研究的领域——加性组合论。“它开辟了许多新的研究方向”，曾与陶哲轩合作过的颧骨高英属哥伦比亚大学数学家伊莎贝拉·拉芭说，“数学家又有很多事可以做了。”

这种跨领域的协作能力是陶哲轩研究生涯的一项标志。绝大多数数学家倾向于专精一个领域，而陶哲轩则广泛研究，博采众长，和别人一起研究，作出新的发现。陶哲轩长期的搭档兼好友马库斯·吉尔借用科幻电影来形容陶哲轩快速消化和利用各种数学思想的能力。他告诉我，陶哲轩工作起来让他想到《黑客帝国》，主角Neo将中国功夫的数据下载到大脑，眼睛一睁说：“我会功夫了”。陶哲轩2006年获得了菲尔茨奖，颁奖词称赞了他在多个数学领域中的贡献，并特别提到了他对霍恩猜想（Horn's conjecture）作出的“优美的研究成果”——这一成果是陶哲轩和他的朋友共同完成的，他在读博士曾与这个朋友一起玩桌上足球。这对陶哲轩而言是一个全新的世界，与他之前主攻的领域大相径庭。颁奖词这样说到：“仿佛一个杰出的英语小说家突然发表了一部优秀的俄语小说。”

格林-陶质数定理也同样是协作的成果。格林是数论领域的专家，而陶哲轩一直接受调和分析方面的训练。不过他们告诉我，这个证明也仰赖许多其他数学家的洞见。要与魔鬼对弈，玩家若不研究前辈大师们的好局，取胜的希望便十分渺茫。一个得证的结论可以用于后续的证明，并提供一系列战胜对手的计策——狡黠牵制锁住敌子，掐灭一次反击，或是在残局里弃象杀王，占据有利位置yy球拍。就像棋手也许会尝试西班牙开局与王翼印度防御（译注：两者都是国际祸国十四阙象棋开放性开局），数学家也会专门学习如何巧妙应用中国剩余定理（译注：中国古代求解一次同余式组的方法）和埃拉托色尼选筛法（bimmer译注：古希腊数学家埃拉托色尼提出的一种筛选法，用于求一定范围内的质数）。博学的棋手万千棋局烂熟于心，老练的棋手则凭直觉随机应变。

陶哲轩和格林在研究中，从前人认为错误而弃之不用的证明方法中，重拾了关键的一部分，并将其用于其他目的。其他一些证明技巧则来自英国人蒂莫西·高尔斯和匈牙利人安德烈·塞迈雷迪。后二者的成果则依次建立在埃尔德什、克劳斯·罗特和1930年去世时年仅26岁的弗兰克·拉姆塞的贡献之上，如此可以一直追根溯源下去。天兔座询问数学家他们在数学界的体会，大多数会说是一种强烈的惺惺相惜之感。“数学家生命中核心的一部分，就是这种与其它头脑交汇的感觉，无论是同当代学者，还是同几千年前的毕达哥拉斯”康奈尔大学数学教授史蒂文·斯托加茨说，“我们和千百年来的彼此对话。”

格林-陶定理的发现震惊了整个数学界，因为大家普遍认为这一问题的证明尚需经年累月的工作。有一天，我去拜访陶哲轩，我们在战后风格的教工中心的露台上用午餐。陶先生一边吃着一小碟寿司，一边告诉我，他和格林与其他人一样，都在继续研究与孪生质数相关的问题，且在最近取得了许多突破。他认为，这个一百五十年前提出的问题，其完整证明已经在咫尺，“可能十年就够了”。

晚餐时间，我前往陶哲轩在校园西边角落的家。房子外墙白中带褐，有五间卧室。陶哲轩本来是要送他12岁的儿子威廉去上钢琴课的，但是威廉临时接到Go-Gurt酸奶的电话，通知他去进行广告的拍摄。（威廉早已在本田汽车的广告片中饰演“在汽车后座睡得香甜的男孩”一角）。在陶哲轩的妻子劳拉去接威廉回家时，他们四岁的女儿玛蒂在宽敞厨房的一隅刚刚吃完饭。她刚咬了一口甜甜圈，便从长凳上爬下来，在屋里到处乱跑，双手高举，欢声尖叫。

说起打通数学各个领域的人，你会很自然地想到陶哲轩。在获得菲尔茨奖的时候，他已经和三十多个不同领域的数学家合作并发表研究。从那时起，他也成为了多产的数学博客写手，带着“非正态分布的热情”。在布朗博士奶瓶博客里赞赏别人的成果，分享自己爱用的证明技巧，记录他自己的研究进展， 并欣然回应评论里的纠错指正。他也在网上组织过“合作战线”来研究各种问题。曾与陶哲轩合作过的威斯康辛大学数学家乔丹·艾林伯格称赞陶哲轩是21世纪数学家的典范。“他总是在与人交流，善于把自己的工作和他人的工作联系起来。他是学术网络的一个枢纽。”

拜访陶哲轩的时候，我只注意到他有一处数学教授的典型特征：他常常心不在焉。当他还是小男孩时，他经常丢书，甚至连书包也丢掉；他也曾把衣服前后里外穿反，又或者是穿上了“鸳鸯袜”。这也是他现在穿勃肯凉拖的原因，“因为又少了一个步骤”，他这样解释道。当他带我在屋子里参观的时候，他的步履也略拙滞，就像是他并没兴趣好好走路一样。我提出要参观他的办公室时，他指了指在走廊尽头的一间不起眼的房间。现在他在这间办公室里完成的研究工作不像以前那么多了，他说，最近他在飞机上效率最高，因为有大段时间不用理会邮件，也没有人排队想来见他。

威廉回家了，劳拉紧随其后，之后我们就一起用晚餐：猪扒配番茄酱。这道菜的做法来自一本手抄的笔记本，封面上印着泰迪熊。这是陶哲轩的母亲送给劳拉的礼物。威廉是一个很外向的孩子，酸奶广告的试镜很顺利，他最终赢得了角色。威廉继承了一些父亲数学上的天赋，六年级的时候就在网上学过高中数学。但他目前真正兴趣是写作，尤其是幻想类的作品；以及表演，尤其是即兴表演。他也是《我的世界》（译者注：Minecraft，高自由度的沙盒游戏，让每一个玩家在三维空间中自由地创造和破坏不同种类的方块。）的狂热粉丝，不过他正为在游戏里升级工具发愁。有一次，威廉说自己和朋友尝试证明1=0来“黑”掉数学，后来才发现0不能做分母。陶哲轩说着翻了翻白眼。

证明1=0很可能徒劳无获，但是黑客思维在数学当中却极为有用。很久以前，数学家发明了一个数，该数的平方等于-1，这似乎违背了基本的乘法法则。这个数同当时的数学主流格格不入，以至于这个数被命名为“虚数”。实际上，虚数是一个强大的发明，现代物理和工程学缺它不可。

你对数学的最初印象可能让你对其产生误会。初看这门学科就是在学习规则，学习怎样去应用老掉牙的把戏来得到答案：曲奇罐里剩下4块曲奇；球以每秒12.5英尺运动……然而，数学家真正要做的是去开拓。数学研究本质上是一项创造性活动。据说，当上世纪初最具影响力的数学家大卫·希尔伯特知道有同事改冷暖色调行写小说时，打趣道：“想必是他的想象力不够做数学”。

数学之道在于抽象——打个比方，两个苹果和两个橙子的抽象共同点之一是2。但是陶哲轩的很多研究工作并非不可捉摸。他研究流体、光波和其他可以量化的物质，甚至是各位读者知道的几何学。当问题最初不以这种直观的方式呈现，他就会力图改造之。在他研究生涯的早期，他曾纠结过波与波之间顶端相旋的问题。他试图构造出一个移动的坐标系，使得问题更加直观，仿佛一个摄像机稳定器（Steadi­cam）那样。于是他躺在地上滚来滚去，试图更直观地“看见”问题。陶哲轩笑着说：“我姨妈进来发现我在满地打滚，当时我真的不知道怎么向她解释。”

最近陶哲轩开始研究水的爆炸，是因为读到了一名哈萨克斯坦教授的研究，他宣称完成了纳维叶—斯托克斯方程的证明。看了证明后，陶哲轩相信其中有错，但他没有止于直觉，而是决定说明用这种方法进行证明，注定无法成功。他让同事将俄文的论文翻译成可供他理解的文本。随着他不断尝试证明，一部能自我复制的水做的装置在他脑海里成型——从工程学的角度，陶哲轩得到了解决纯数学问题的灵感。

这一成就不仅推进了数学问题的研究，也激励了其他数学家。很多人都觉得研究纳维叶—斯托克斯方程几乎不可能取得实质性的进展。陶哲轩告诉我，在多年前，他也曾经在博客上对此意见表示赞同，而现在他又看到了曙光。他对于孪生素数猜想也有同样的感觉，这种感觉如同打破了那堵曾吓跑许多学界有志之士的墙。外人看来，纳维叶—斯托克斯问题和孪生素数猜想仅仅是研究问题，但对于陶哲轩，以及其他数学研究者来说，它们更像是对手。这些对手嘲讽陶哲轩，试图说服他忽略了最明显的线索；或是回敬以颜色，见招拆招出口单据躲开他解题的努力。但现在，这个对手似乎露出了破绽。陶哲轩之前也遇到过类似情况，以为找到了克敌制胜的良机，不料却是对手设下的陷阱。“慢慢你就学会绝不轻信，“陶哲轩说，”学会小心翼翼。”

研究数学，兴奋在此，可怕亦在此。脚下暗流涌动，好戏才刚刚开场。

作者/ Gareth Cook

201和平条约5/07/24 刊登于NYTimes

译者/ 黄一凡 胡圣博 程意

校对/ 陈小树

题图/ Graeme Mitchell