傅科摆——你真的了解吗？

相信大家小学二年级的时候都听说过烫伤傅科摆，但你真的那么熟悉傅科摆背后的物理原理吗？反正我在今天之前都还没有具体算过，直到有人问了我这么一个问题，我才突然意识到，原来我还不知道傅科摆的运动学方程。

既然这样，那我便来定量算一算。

首先建立坐标系：

傅科摆摆球的位置坐标为 \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

其速度为 \dot{\vec{r}}=\dot{{x}}{\vec{i}}+\dot{{y}}\vec{j}+\dot{{z}}\vec{k}+{{x}}\dot{\vec{i}百度搜索技巧}+{y}\dot{\vec{j}}+{z}\dot{\vec{k}}=\vec{v}+\vec{\omega}\times\vec{r}

其中 {\vec{v}}=\dot{{x}}{\vec{i}}+\dot{{y}}\vec{j}+\dot{{z}}\vec{k} ， \vec{\omega}=(-\omega\洛杉矶快船队cos\lambda,0,\omega\sin\lambda)

\全球速卖通vec{\omega} 是地球角速度， \lambda 是纬度。注意此坐标系是一个动坐标系。

傅科摆的相对加速度 a_r ，科里奥利力加速度 a_c ，牵连加速度 a_t （懒得打矢量符号了，大家看得懂就行）分别为：

a_r=\ddot{x}i+\ddot{y}j+\ddot{z}k

a_c=2\omega\times v意大利语学校

裸体照a_t=\dot{\omega}\times r+\omega\times(\omega\times r)窃听器哪里买

根据牛顿第二定律，有： mg+T=m(a_r+a_c+a_t)

联立方程，且由于 \omega 可视为非常小的恒量，故有 ma_r=mg+T-2m\omega\times v

写成分量形式：

m\ddot{x}=T_x+2m\omega\dot{y}sin\lambda

m\ddot{y}=T_y-2m\omega(\dot{x}sin\lam霓凰郡主bda+\dot{z}cos\lambda)

m\ddot{z}=T_z-mg+2m\omega\dot{y}cos\lambda

绳子的拉力参考下图：

由几何关系可得：

T_x=Tsin\theta\cos(\phi+\pi)=-T\frac{r}{l}cos\phi=-\frac{x}{l}T

T_y=Tsin\theta\sin(\刑拘时间phi+\pi)=-T\frac{r}{l}sin\phi=-\frac{y}{l}T

T_z=T cos\theta=\frac{l-z}{l}T

当摆角很小时，l-z可近似为l，故有 T_z=T

又由于z方向振动很小，故 \d万门ot{z}\approx0,\ddot{z}\approx0 ，于是有：

m\ddot{x}=T_x+2m\omega\dot{y}sin\lambda

m\ddot{y}=T_y-2m\omega\dot{x}sin\lambda

0=T-mg+2m\omega\dot{y}cos\lambda

又因为 \omega 很小，故由上式最后一行我们有 T\approx mg

联立方程并化简得：

\ddot{x}-2\omega_z\dot{y}+\omega_0^2x=0

\ddot{y}+2\omega_z\dot{x}+\omega_0^2y=0

其中 \omega_0^2=\frac{g}{l},\omega_z=\omega sin\lambda

这个方程组的解法类似于粒子在磁场中受 \vec f=-k\vec v 阻尼力的微分方程的解法（看到这里的人应该都做过吧，没做过的数学好一点也应该知道），将一式,与二式与i的乘积,相加，并令 \alpha=x+iy ，我们得到：

\ddot{\alpha}+2i\omega_z\dot{\alpha}+\omega_0^2\alpha=0

上述方程为二阶齐次线性常系数微分方程，这个微分方程虽说是大学常微分方程课程中的内容，但高中物理竞赛也经常用到，例如受阻尼的简谐振动的微分方程、LRC电路中电流随时间变化的微分方程等等，只不过这条方程是在复数范围内求解罢了。

上述方程的特征方程为：

n^2+2i\omega_zn+\omega_0^2=0

它的两个特征根为：

n_1=-i\omega_z+i\sqrt{\omega_z^2+\omega_0^2}\approx-i\omega_z+i\omega_0

n_2=-i\omega_z-i\sqrt{\omega_z^2+\omega_0^2}\approx-i\omega_z-i\omega_0

故原方程的解为 :\begin{align} \alpha& =Ae^{(-i\omega_z+i\omega_0)t}+Be^{(-i\omega_z-i\omega_0)t} \\&=Acos[(\omega_0-\omega_z)t]+Bcos[(\omega_0+\omega_z)t]+i[Asin[(\omega_0-\omega_z)t]-Bsin[(\omega_0+\omega_z)t)]] \\&=(A+B)cos(\omegweb开发工程师a_0t)cos(\omega_zt)+(A-B)sin(\omega_0t)sin(\omega_zt)+i[-(A+B)cos(\omega_0t)sin(\omega_zt)+(A-B)sin(\omega_0t)cos(\omega_zt)] \end{align} 原始战争

记 x_1=(A+B)cos药品集中采购(\omega_0t),y_1=(A-B)sin(\omega_0t) ，其正好是不考虑地球自转时单摆的运动方程。

回顾 \alpha 的定义，我们可以得到：

x=x_1cos(\omega_zt)+y_蔚蓝航校1sin(\omega_zt)

y=-x_1sin(\omega_zt)+y_1cos(\omega_zt)

或写作矩阵形式： \begin{equation} \left( \begin{array}{cccc} x\\ y\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cccc} cos(\omega_zt)&sin(\omega_zt) \\-sin(\omega_zt)&cos(\omega_zt) \end{array} \r红裤子ight ) \left( \begin{arra合法兽性y}{cccc} x_1 \\y_1 \end{array} \right ) \end{equation}

这里不得不吐槽一句：LaTeX打矩阵也太麻烦了吧╭( T □ 港片喜剧T )╮，别看上面这条式子这么短，我打起字来累都累死，原代码长这样：

\begin{equation}\left(\begin{array}{cccc} x\\ y\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}cos(\omega_zt)&sin(\omega_zt)\\-sin(\om合成类固醇ega_zt)&cos(\omega_zt)\end{array}\right )\left(\begin{array}{cccc}x_1\\y_1\end{array}\ri海拉尔旅游攻略ght )\end{equation}

所以我为什么非要打出这个矩阵形式？写成分量形式它不香吗？这主要是因为，写成矩阵形式我们可以清晰地看出，傅科摆包含两种周期运动：

1.周期 T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} 的单摆运动

2.周期 T'=\frac{2\pi}{\omega sin\lambda} 的摆平面进动

然后，你们要的结论来了：

可以看出，在两极地区（ \boldsymbol\lambda\boldsymbol=\boldsymbol\pm\frac{\bold格力空调的价格symbol\pi}{\boldsymbol2} ），进动周期最小，观察地球自转的效果最好，但两极进动方向相反；而在赤道上，进动周期趋于无穷大，故观察不到地球自转。

所以你想清楚地看到地球的自转吗？带个傅科摆去北极吧！