结构地震作用分析之【底部剪力法】

对于建筑结构而言，静力作用可能不会产生显著影响，结构在静力作用时基本保持弹性状态，加固与维护可能是主要考虑问题，但地震作用时由于结构自身的振动特性，可能会对其产生较大的损伤，从而对生命财产造成不可逆的损失，因此分析地震作用下结构的变形与内力就显得极为重要。

地震震级与地震烈度是不同的概念。

震级是衡量地震震源释放能量大小的一种标定方法，震级与释放能量之间的关系可以见我这篇回答：

而地震烈度是指某一地区地面和各类建筑物遭受一次地震影响破坏的强烈程度，一次地震释放的能量是恒定的，采用该能量来评估震级，但高震级的地震未必会对人生命财产造成损失，1976年唐山大地震，震级7.8，震中区域烈度达到Ⅺ，但距离稍远的天津烈度仅为Ⅷ，距离更远的石家庄则只有Ⅳ或Ⅴ了，显然对于石家庄以外更远的地区来讲，如此高空头回补震级的地震也并未导致严重的灾后破坏。

GB/T 17742-2008《中国地震烈度表》中这样描述到：地震引起的地面震青春电影动及其影响的强弱程度被称为地震烈度（Seismic in兼职摄影师tensity），地震烈度划分为12个等级，采用罗马数字进行表示。在进行烈度划分时，综合考虑到了人本身的主观感觉与建筑和场地的客观破坏情况，Ⅰ~Ⅴ应以地面上及底层房屋中人的感觉和其他震害现象为主，Ⅵ~Ⅹ应以房屋震害情况为主并参考其他震害现象，Ⅺ与Ⅻ应同时综合房屋震害情况与地表震孕早期害现象。

地震烈度一定程度上表现了某次震害以后该地区受损的情况，但显然不同地震对一个地区所造成的受损情况是不相同的，这里为了便于设计与计算，又给出了抗震设防烈度的概念。GB 50011-2010《建筑抗震设计规范》（以下简称《抗规》）附录A中给出了我国主要城镇的抗震设防烈度，该附录主要是依据GB 18306-2015《中国地震动参数区划图》所得出。

中国地震局官网这样描述到：新中国成立以来，中国地震区划图已历经五代的发展历程。1957年第一代，《全国地震区域划分图》；1977年第二代《中国地震烈度区划图》；1990年第三代《中国地震烈度区划图》；2001年第四代《中国地震动参数区划图》；2015年第五代《中国地震动参数区划图》，从第四代区划图开始用动参数表示设防烈度。GB 50223-2008《建筑工程抗震设防分类标准》中这样描述到：按国家规定的权限批准作为一个地区抗震设防依据的地震烈度称为抗震设防烈度。

基本烈度被定义为未来50年宫颈糜烂不是病，一般场地条件下，超越概率百分之十的地震烈度。区划图的基本烈度也是一般建设工程的抗震设防烈度。

计算结构地震响应有很多方艳遇法，下面就地震作用分析中采用的底部剪力法进行说明，在讲解过程中，添入了不少笔者本人的理解思路与启发，希望与大家多多交流，有阐述不妥之处，还望多多指正。

底部剪力法的核心在于仅考虑到结构一阶平动振型的贡献，《抗规》条文说明中进一步提到，底部剪力法将多质点体系视为等效单质点体系进行考虑，等效的原则是质量相等，基本周期相等。

对于二维平面上的一个单质点结构，受自由度限制，它的振动模式就只有左右摇摆这一种形式，显然摇摆过程中质点处振幅最大，底部边界处振幅为零，中间部分平滑过渡。那么将多质点体系也等效成这样一种模式去振动会是怎么样呢？

显然多质点体系仅考虑平动振动时，可以得到以下的振动模式：

假设结构在遭受地震时就按这样的形式进行摇摆，基于这种模态，就可以计算地震作用下结构的内力，这就是底部剪力法的求解思路。

那么这种等效是否合理呢？这种假设是否合适呢？什么结构都可以用底部剪力法吗？

显然即便是没有学过抗震计算的人也是觉得这种简化未免过于粗糙，和实际结构复杂的振动模式难以相提并论。

所以底部剪力法是有严格的适用范围的，《抗规》和许多抗震书籍都这样描述到：高度不超过40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布较为均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法进行简化计算。仔细看一看，似乎在这些限定条件下，我们前述的等效就并没有那么粗糙了呢。

那么不满足这个条件的结构用什么方法计算地震反应呢？

这就要用到后面将会阐述的振型分解反应谱法和时程分析法。

正如字面所表示的那样，底部剪力法计算的根本就是两个关键字：“底部”和“剪力”。

仔细想想，这也是蛮好理解的情况，建筑物视为一个插入土里的悬臂梁，当土体随着地震波来回抖动的时候，悬臂梁底部受水平向剪切作用影响。这有点像你乘坐一个公交车，对标管理司机给一脚油再给一脚刹车那种感觉，自然而然我们可以想到，聚仙楼体重大的人受司机这种折磨带来的摇晃感更为剧烈，这是因为惯性力的影响，所以我们首先就明确了底部剪力法所需要的一个重要参数，那就是建筑物的质量。

之所以叫地震作用而不叫地震荷载，这是因为地震本身以波的形式传播，建筑物在地震波振动的影响下，被自己质量所产生的惯性力所破坏，我们当然知道，即便是9级地震来了，它也不可能把地上的一块砖震坏，也不可能把半插入土里的一根筷子震断，它们的质量都很小，即便是剧烈抖动产生的惯性力也不足以初恋情人回忆事件将其破坏，也都是这个道理。

所以在进行进一步计算前，不妨我们先来明确一下地面振动对结构究竟产生了怎样的地震作用，这个地震作用又是怎么等效成荷载进行计算的。

根据达朗贝尔原理（d'Alembert），惯性力可以表示为质量与加速度的乘积，这个推导实际上就是任何质量的动量变化率等于作用在其上的力，表达式如下所示。

p（t）=m\frac{dv}{dt}

惯性力的方向与该物体加速度方向相反，即正向的加速会引起反向的惯性力，赛车手一脚油门下去，整个人好像陷入到车座里面一样向后仰。

对于一个受地面振动影响的结构而言，列其动力平衡方程，等式左侧包含了结构的惯性力，阻尼力（这里假设为粘滞阻尼，即阻尼力大小与速度呈正比，你可以简单理解为你跑的越快，受到的风的阻力越大），弹性恢复力，等式右侧是与之平衡的外荷载，因为我们前面提到了地震作用并不是一种荷载，所以结构所受的外荷载为0。

f_{I55寸液晶电视}(t)+f_{D}(t)+f_{S}(t)=0

把各个项的表达式展开：

这里加下标abs的学报投稿是指绝对值，加re的是指相对值，显然惯性力是按绝对加速度来衡量的，而阻尼力和弹性恢复力是因为结构和地面之上海中级口译间的相对位移产生的。

将绝对加速度分割成地面的加速度和上部结构相对于地面的加速度两部分，继续展开并移项可以得到：

这里下标g表示地面的加速度，从形式上可以看出，在地面加速度作用下引起的结构变形与直接施加某一大小的外荷载相同，即地面振动下的结构≈在结构上直接作用一个动力外荷载，该外荷载的值等于地面加速度乘以结构质量。

上述的推导是十分有意义的，这给我们提供了一个很有用的思路，即：计算结构在地震下的响应≈计算结构在给定外荷载下的响应。这个外荷载的计算方法我们也是相当明确，即地面加速度和结构质量太空运输，二者相乘即可，对应的表达式可以写为：

这里我们假定加速度是恒定不变的，是不随时间改变的量，这里和上面提到的《中国地震动参数区划图》是一样的，认为加速度是一个定值，此处用Sa表示。

有的人会有疑惑，这个表达式为什么和我看到的规范里计算地震剪力的表达式不一样？你这样写的话反应谱怎么用？

这实际上就是一个简单的小把戏，如果我们给Sa除以重力加速度g，并将其命名为α，式子是不是就变成了这个形式：

这不就是反应谱需要查的α了吗？不就和规范一样了吗？等一个人的咖啡所以说这只是一个形式上的小把戏，计算目的并没有改变。

如果是按单质点体系来看的话，结构底部作用的剪力值就是结构要承受的水平荷载，但对于多质点体系而言，底部剪力仅仅是底部所受的剪力大小，上部各层所受的水平荷载我们尚不明确，上部结构每一层作用的水平荷载是相等，正三角形还是倒三角形？这显然不能拍大腿决定，为了推导各层的水平荷载值，这里我们先应用一下振形分解所得出的结论，但是为了避免大家思路混乱，振形分解的具体操作流程和怎么得到的这个公式我们将会在振形分解中详细展开，我们此处认为大家已经推得以下公式。

对于第一振型而言，各层所施加的水平向荷载为：

可以看出该层施电子书格式转换器加荷载F与该层对应的水平位移X和该层的重力G呈正比关系

而由第一振型的平动特点来看，水平位移显然与该层所处高度H是正比例关系，即层数高度越高水平位移越大，因而我们可以推得F与该层对应的竖直高度H和该层的重力G也呈正比关系。

既然呈正比关系，那自然而然可以想到，当总的底部剪力荷载对每层进行分配时，一尾矿库方面要分配完，另一方面要按对应的竖直高度H和该层的重力G进行正比例分配。

看上去好像有浙江昌化点绕，给张图你就能瞬间明白：

故各包包吧层所施加的水平荷载值可写为：

所以结论是各层分得的侧格列卫向荷载是呈现倒三角形分布的，即 F_{3}>F_{2}>F_{1} ，且F_{3}+F_{2}+F_{1}=F_{Ek} 。

上述公式与规范表达有所区别，所以这里需要单独说明的两个点是：等效重力荷载和顶部附加地震作用。

在《抗规》中，计算水平地震总剪力值时，并没有用到重力荷载（或者说重力荷载代表值），而是芒果tv会员免费领取在这里替换成了等效重力荷载。当目标结构为单自由度/单质点体系时，等效重力荷载取总重力荷载代表值，但当目标结构为多自由度/多质点体系时，二者存在一个系数上的差别，即等效重力荷载等于0.85倍的重力荷载代表值。这是为什么呢？

这是因为依据大量时程分析的统计数据，多质点体系底部剪力与其等效的单质点体系存在显著差异，当结构基本周期（第一自振周期）低于0.75s时，这个系数被建议取为0.85，对于适用于底部剪力法的结构而言，一般基本周期都是在这个范围的，所以采用该系数予以修正。

关于顶部附加地震作用，主要是因为当结构的基本周期大于1.4倍的场地特征周期时，受到高阶振形的影响如果仍按前述的剪力计算方法进行计算，结构顶部的剪力计算值将偏小而不够安全，因此索性直接将总剪力的一部分作为集中力施加在结构顶部，其余的再按照前述的计算方法进行分配。

通篇讲完以后，采用底部剪力法进行地震作用计算所涉及到的完整公式为：

这和《抗规》表达是完全一致的，也就是规范背后所牵扯的理论与实际意义。

至此底部剪力法的全部流程与原理已经阐述清楚，下一讲将重点阐述振形分解反应谱法的计算原理与推导过程，该方法适用范围较底部剪力法更为广泛，底部剪力法可以视为其一种特殊情况，因此这个方法才应该是重头戏。

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