什么是应力(Stress)

连续介质力学是将牛顿第二定律用到微元体上，得到"场方程" 。— 欧拉(1750)

注：“场方程”包括：质量守恒、能量守恒，动量守恒，动量矩守恒，若考虑热力学，还有“Clausius-Duhem”不等式（相当于热力学第二定律）。

因此，连续介质力学仍在牛顿建立的科学范式内。

1 应力本质

应力是一种内力，本质上是原子间作用力。当物体发生变形时，原子间距离会偏离平衡位置（如下图所示，偏离平衡位置意味着原雅思托福区别子间距离不再是d），从而导致原子间相互排斥或吸引，这是产生应力的根本原因。同时，只有当“偏离距离”非常小时，排斥力（或吸引力）与“偏离距离”才能看作是线性的，这就是Hooke's law必须在小变形下才成立的原因。

据The Feynman Lectures on Physics, Volume I2 为什么应力是二阶张量

当我们从物体上分离出一块体积V时（如下图），作用在其上的外力可表示为： \int_{V}^{}\vec FdV ,其中 \vec F 是作用在物体单位体积上的力。显然，这个体积V内的力是作用力与反作用力，会相互抵消，不会产生合外力。因此，这一外力只能看作是体积V周围物质给其的合外力，并且通过体积V的表面A进行施加，即：

\int_{\partial V}^{}?dA=\int_{V}^促销券{}\vec FdV ,

由散度定理可知， \begin{equation}\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \hat{\mathbf{n}} d S=\iiin客户管理t_{V} \operatorname{div} \mathbf{F} d V\end{equation} ，要想把体积分转化为面积分，则 \vec F 必然是某个量的散度。众所周知，求散度是“降阶”过程，如对矢量（一阶张量）求散度得到标量（零阶张量）。那么，要通过求散度得到一个矢量，这个未知量一定是一个二阶张量，这个量就叫应力（Stress）。

据The Feynman Lectures on Physics, Volume II

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3 应力的表示

我们知道散度计算公式为：

\begin{equation}\operatorname{div} \mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial x柳叶安安}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right)=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\end{equation}

=\frac{\partial F_i}{\partial x_i}.

则， \vec F 分量应具有如下形式：

F_i=\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k} ,

则：

\int_{V}^{}F_idV=\int_{雷军简历V}^{}\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}dV=\int_{\partial奎爷 V}^{}\sigma_{ik} n_k dA=\int_{\partial V}^{}\sigma_{ik} dA_k ,

其中 \sigma_{ik} 为应力张量， n_k 为外法线的第 k 分量。

当物体处于平衡房贷优惠按键精灵9状态时：

1)不考虑重力，物体上每一个体元上内应力必相互抵消，即 F_i=0 ,此时推导出平衡方程：

\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}=0 .

2）若考虑重力，则平衡方程修正为：

\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}徐汇教育+\rho g_i =0 .

3）当有外力作用于物体时，若 \vec P 是作用于物体外表面单位面积上的外力，内力与外力必抵消，则：

\int_{\partial V}^{}\sigma_{ik} n_k dS=\int_{\partial V}^{}P_idS ,

其中， S 为物体外表面， P_i 为外力 \vec P 的分量。则推导出：

P_i=\sigma_{ik} n_k .

当物体不处于平衡状态时，且有外力 \vec f 作用时（外力为体力），由牛顿第二定理可知：

\int_{V}^{}\left\{ \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}+\rho g_i +f_i\right\} dV =\int_{V}^{}\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} dV ,

其中， u_i 为位移的第 i 分量， f_i 为外力的南昌航空大学科技学院第i 分量。则微分形式的弹性动力学方程为整牙：

\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}+\rho g_i +f_i=\rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} .

4 关于应力的重要概念

1）主应力，应力主轴与应力张量不变量

我们把某点应力张量展开可得：

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}} = \left[\begin{array}{cccc} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} &\sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{array}\right] ，

结合动量矩定理易证应力张量是对称的，即应力张量中只有6个分量是独立的。

根据线性代数知识，矩阵对称意味着矩阵可对角化，且其无法删除文件特征向量是相互垂直的。这就意味着我们总可以找到一组坐标，让应力张量退化为对角阵形式，即：

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}} = \left[\begin{array}{cccc} \sigma_{1} & 0 &0 \\ 0 & \sigma_{2} &0 \\ 0 & 0 & \sigma_{3} \end{array}\right] .

应力张量的特征值就是主应力，其特征向量就是应力主轴。即在任何一点，我们总可以将应力张量分解到三个互相垂直的方向上，这样三个互相垂直的方向就是应力主轴，在应力主轴上分解得到应力矢量（traction vector）的大小就是主应力。

求主应力、应力主轴本质上与求应力张量的特征值猿人时代、特征向量一样。

推导：若 v_i 为应力主轴单位矢量，\sigma 为与 v_i 对应的主应力大小，则主应力矢量（traction vector）为： \sigma v_i ，据柯西公式易得：

\sigma_{ik} v_k =\sigma v_i \Rightarrow (\sigma_{ik}换季清仓 -\sigma \delta_{ik})v_k=0 ,

因此， det\left| \sigma_{ik} 苟各庄 -\sigma \delta_{ik} \right|=0 .

从而得到特征方程：

-\sigma^3+I_1\sigma^2-I_2\sigma+I_3=(\sigma-\sigma_1)(\sigma-\sigma_2)(\sigma-\sigma_3)=0 ,

其中应孙悟空七十二变力张量不变量 I_1,I_2,I_3 具体表达式为：

I_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3 ,

I_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1 ,

I_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3 .

其中， \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 为应力张证据的合法性量的三个特征值，即主应力大小。

2）应力偏量(Deviatoric Stress)

应力偏量是一个非常重要的量，其决定着岩石是否发生塑性变形，是否发生屈服，实际应用较广，黄保东其定义为：

\sigma_{ij}^{'}=\sigma_{ij}-\sigma_m\delta_{ij} ,

其中，平均应力(mean stress)或静水压力（hydrostatic s在职硕士报名tress） 为：\sigma_m=\frac{\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}}{3} .