机器人学导论要点整理

矩阵及转化

算子左乘，映射右乘

不同坐标系的矢量只有在坐标系姿态相同的情况下才可以相加

绕轴旋转的姿态表示方法共24种（排列组合3\times 2\times 2，固定角表示+变角表示）

旋转矩阵R为正交矩阵，可逆且R^{-1}=R^T，由三个独立变量决定；齐次矩阵T可逆(\vert T\vert=1)。从B到A的旋转矩阵如下求取：

齐次矩阵逆矩阵推导

\begin{aligned}^{A}P&=_{B}^{A}R^{B}P+^{A}P_{BORG}\\^{A}P_{AORG}&=_{B}^{A}R^{B}P_{AORG}+^{A}P_{BORG}=0\\^{B}P_{AORG}&=-_{B}^{A}R^T{}^{A}P_{BORG}\end{aligned}

_{A}^{B}T=_{B}^{A}T^{-1}=\left[ \begin{matrix}_{B}^{A}R&^A404核城P_{BORG}\\0&1\\\end{matrix} \right] ^{-1}=\left[ \begin{matrix}_{B}^{A}R^T&-{}_{B}^{A}R^T{}^{A}P_{BORG}\\0&1\\\end{matrix} \right]

等效轴角法和空间姿态并非一一对应，K_{\theta}和旋转矩阵表示转化

求解四元数表示

正运动学概念运动副（链接机构）由压强决定低副：旋转副、平移副、螺旋副(1DOF)、圆柱副(2DOF)、平面副、球面副、万向结副(3DOF)高副：凸轮副、齿轮副(2DOF)关节(Joint)：联接组成机器人本体各个构建（刚体）间的、能够主动驱动产生构件间相对运动的运动副分为转动关节(Revolute joint)和移动关节(Prismatic joint)，仅具有1个自由度连杆(Link)：组成机器人的由一系列通过关节连接形成运动链的刚体冗余机器人：自由度大于6的空间机器人 or 自由度大于3的平面机器人DH参数表求解方法参数定义

【备注】

坐标系0和坐标系1重合，\alpha_{0}=a_{0}=0；关节n的X_n与X_{n-1}重合旋转关节d_{i}为常量\theta_{i}为变量，平移关节d_{i}为变量\theta_{i}为常量\alpha与a是系统机械参数永远是固定的常数求解步骤

先确定所有Z大门设计轴，Z_{i-1}轴和Z_{i}轴若有公垂线则O_{i-1}在Z_{i-1}轴上X_{i-1}指向Z_{i}；若相在交则得原点O_{i-1}，所在平面过O_{i-1}的垂线得X_{i-1}轴，指向末端执行器方向；若共线则X_{i-1}轴有无数种取法

先求\alpha和a，第二行从Z_1到Z_2，X_1决定正负，以此类推。角度和距离由机械结构确定！

再求d和\theta，第一行从X_0到X_1，Z_1决定正负，以此类推。先把变量填满(旋转关节\theta变，平移关节d变)再看常量。

根据参数表每行建立齐次变换矩阵_{i}^{i-1}T，逐次坐标变换得到腕部坐标_{N}^{0}T

\begin{aligned}_{i}^云流{i-1}T&=Screw_X\left( \alpha _{i-1},a_{i-1} \right) Screw_Z\left( \theta _i,d_i \right)\\&=\left[ \begin{matrix}1&0&0&a _{i-1}\\0&\cos \alpha _{i-1}&-\sin \alpha _{i-1}&0\\0&\sin \alpha _{i-1}&\cos \alpha _{i-1}&0\\0&0&0&1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix}\cos \theta _i&-\sin \theta _i&0&0\\\sin \theta _i&\cos \theta _i&0&0\\0&0&1&d_i\\0&0&0&1\\\end{matrix} \right]\\&=\left[ \begin{matrix}\cos \theta _i&-\sin \theta _i&0&\alpha _{i-1你的名字头像}\\\sin \theta _i\cos \alpha _{i-1}&\cos \theta _i\cos \alpha _{i-1}&-\sin \alpha _{i-1}&-d_i\sin \alpha _{i-1}\\\sin \theta _i\sin \alpha _{i-1}&\cos \theta _i\sin \alpha _{i-1}&\cos \alpha _{i-1}&d_i\cos \alpha _{i-1}\\0&0&0&1\\\end{matrix} \right]\\\end{aligned}

例题

例1：空间RP2R四关节机器人

例2：PUMA PUMA机器人末端位置仅跟关节1-销售返利3有关

逆运动学求解思路

\begin{align品牌形象论ed}{ }_{T}^{I} T&={ }_{B}^{I} T \cdot{ }_{W}^{B} T(q) \cdot{ }_{T}^{W} T \\_{W}^{B} T(q_1,\dots,q_N)&={ }_{B}^{I} T^{-1}{ }_{T}^{I} T \cdot{ }_{T}^{W} T^{-1} \\&={ }_{N}^{0} T(q_1,\dots,q_N)\end{aligned}\\

目标是根据已知的基坐标系到腕坐标系的转换模型{ }_{N}^{0} T求出每个关节状态q_i（d_i或\theta_i之一）。可以使用代数法或几何法，注意多解情况讨论。

3R操作臂逆运动学3R操作臂灵巧空间分析L_1\neq L_2时L_2可达空间为圆环，L_1=L_2时L_2可达空间为圆灵巧系数=可达角度所占表面积/单位圆表面积速度与雅可比雅可比

关节坐标向量：q=(q_1, q_2,\dots, q_n)，其中q_i=\bar\varepsilon_i\theta_i+\varepsilon短卷发造型_i d_i，\bar\varepsilon_i表示旋转关节，\varepsilon_i表示平移关节。

雅克比的定义：在机器人学中，雅克比是一个把关节速度向量变化为末端执行器相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵

\left[ \begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_m\\\end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix}f_1\left( q \right)\\f_2\left( q \right)\\\vdots\\f_m\left( q \right)\\\end{matrix} \right] \qquad \dot{x}=\left[ \begin{matrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial q_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_1}{\partial q_n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\dfrac{\partial f_m}{\partial q_1}&\cdots&\dfrac{\partial f_m}{\partial q_n}\\\end{matrix} \right] \dot{q}

即

\dot{x}_{m\times 1}=J_{m\times n}\left( q \right) \dot{q}_{n\times 1}\qquad J_{ij}\left( q \right) =\frac{\partial f_i\left( q \right)}{\partial q_j}

注意雅可比取决于表示的形式

X=\left[ \begin{matrix}X_P\\X_R\\\end{matrix} \right] \qquad\left[ \视频解码begin{matrix}\dot{X_P}\\\dot{X_R}\\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}J_{X_P}(q)\\J_{X_R}(q)\\\end{matrix} \right]\dot{q}

其中X_P可由直角坐标/柱坐标/球坐标表示，X_R可由欧拉角/四元数/方向余弦/欧拉参数表示，如对于RRPRRR斯坦福臂直角坐标+方向余弦表示：

\dot{X}_{12\times 1}=J_X(q)_{12\times 6}\cdot\dot{qmsnbc}_{6\times 1}

对于n关节机器人基础雅可比

\left[ \begin{array}{c}v\\w\\\end{array} \right] _{6\times 1}=J_0(q)\dot{q}=\left[ \begin{array}{c}J_v\\J_w\\\end{array} \right] _{6\times n}\dot{q}_{n\times 1}

若已知坐标变换

\left[ \begin{array}{c}\dot{X}_P\\\dot{X}_R\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}E_P沙奇里&0\\0&E_R\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}v\\w\\\end{array} \right]

则有从基础雅可比到一般雅可比的变换

\dot{X}=\left[ \begin{array}{c}\dot{X}_P\\\dot{X}_R\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}E_P&0\\0&E_R\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}J_v\\J_w\\\end{array} \right]\dot{q}=J_X\dot{q}

雅可比矩阵可看作线性变换，将关节速度变换为末端笛卡尔速度，当操作臂处于非奇异位形通过J^{-1}即可反变换。大多数操作臂在工作空间中都存在奇异位形，奇异性即雅可比矩阵不满秩|J|=0时，关节将失去沿某个方向移动或围绕某个方向旋转的能力。

速度速度传递关系

平动速度传递公式，其中P是向量O_{B}P，\Omega\times P=\hat{\Omega}P。向量形式为红框，计算时要放在同一坐标系下坐标运算。

速度迭代法

​以下都是向量加法

当前关节线速度=上一个关节线速度+上一个关节角速度×原点相对向量+对平移关节平动速度在平动方向上的投影（旋转关节无）

v_{i+1}=v_i+w_i\times P_{i+1}+\dot{d}_{i+1}\cdot Z_{i+1}

当前关节角速度=上一个关节角速oakley度+两个连杆相对角速度(当前关节转动角度变化率在转动轴方向上的投影)

w_{i+1}=w_i+\dot{\theta}_{i+1}\cdot Z_{i+1}

例：3R中所有Z轴均平行（无需乘旋转矩阵变换坐标），正方向方向垂直纸面向外

\begin{aligned}v_1&=0\\w_1&=\dot{\theta}_1\cdot \left[ \begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array} \right]\\v_2&=v_1+w_1\times P_2\\&=0+\left[ \begin{matrix}0&-\dot{\theta}_1&0\\\dot{\theta}_1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}l_1\cos \theta _1\\l_1\sin \theta _1\\0\\\end{array} \right]\\&=\截图的快捷键dot{\theta}_1\left[ \begin{array}{c}-l_1\sin \theta _1\\l_1\cos \theta _1\\0\\\end{array} \right]\\w_2&=w_1+\dot{\theta}_2\cdot \left[ \begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{arra未婚先孕y} \right] =\left[ \begin{array}{c}\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2\\0\\0\\\end{array} \right]\\v_3&=v_2+w_2\times P_3\\&=\dot{\theta}_1\left[ \begin{array}{c}-l_1\sin \theta _1\\l_1\cos \theta _1\\0\\\end{array} \right] +\left[ \begin{matrix}0&-\dot{\theta}_1-\dot{\theta}_2&0\\\dot{\theta}_1+\dot{\theta}_2&0&0\\0&0&0\\\end{matrix} \ri网络武侠小说ght] \left[ \begin{array}{c}l_2\cos \left( \theta _1+\theta _2 \right)\\l_2\sin \left( \theta _1+\theta _2 \right)\\0\\\end{array} \right]\\&=\left[ \begin{matrix}-l_1\sin \theta _1-l_2\sin \left( \theta _1+\theta _2 \right)&-l_2\sin \left( \theta _1+\theta _2 \right)&0\\l_1\cos \theta _1+l_2\cos \left( \theta _1+\theta _2 \right)&l_2\co创新t20s \left( \theta _1+\theta _2 \right)&0\\0&0&0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}\dot{\theta}_1\\\dot{\theta}_2\\\dot{\theta}_3\\\end{array} \right]\\w_3&=w_2+\dot{\theta}_3\cdot \left[ \begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\1&1&1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}\dot{\theta}_1\\\dot{\theta}_2\\\dot{\theta}_3\\\end{array} \right] \\\end{aligned}

脏模

求出的线雅可比和角雅可比

J_v=\left[ \begin{matrix}-l_1\sin \theta _1-l_2\sin \left( \theta _1+\theta _2 \right)&-l_2\sin \left( \theta _1+\theta _2 \right)&0\\l_1\cos \theta _1+l_2\cos \left( \theta _1+\theta _2 \right)&l_2\cos \left( \theta _1+\theta _2 \right)&0\\0&0&0\\\end{matrix} \right] \quad J_24团w=\left[ \begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\1&1&1\\\end{matrix} \right]

显式形式

注意V_i=\Omega_i=Z_i \dot{q_i}

\begin{array}{c|c|c}\text{关节} &\text{平移}&\text{旋转}\\\hline\text{线速度}v&V_i&\Omega_i\times P_{in}\\\hline\text{角速度}w&0&\Omega_i\\\批判理论hline\end{array}

则有（平移关节\epsilon=1，旋转关节\epsilon=0）

\left\{ \begin{array}{l}v=\sum_{i=1}^n{\left[ \epsilon _iZ_i+\bar{\epsilon}_i\left( Z_i\times P_{in} \right) \right] \dot{q}_i}\\w=\sum_{i=1}^n{\left[ \bar{\epsilon}_iZ_i \right] \dot{q}_i}\\\end{array} \right.

雅可比

\left\{ \begin{array}{l}J_v=\left[ \begin{matrix}\epsilon _1Z_1+\bar{\epsilon}_1\left滑动门( Z_1\times P_{1n} \right)&\cdots&\epsilon _{n-1}Z_{n-1}+\bar{\epsilon}_{n-1}\left( Z_{n-1}\times P_{\left( n-1 \right) n} \right)&\epsilon _nZ_n\\\end{matrix} \right]\\J_w=\left[ \begin{matrix}\bar{\epsilon}_1Z_1&\cdots&\bar{\epsilon}_nZ_n\\\end{matrix} \right]\\\end{array} \right.

不用速度迭代法，把所有关节对末端的影响加在一起，用直接求导法求线雅可比，用结论求角雅可比，在基坐标系下雅可比如下求解。其中Z是基坐标下Z轴，x_P是基坐标下位置坐标。

J=\left[ \begin{matrix}\dfrac{\partial}{\partial q_1}x_P&\cdots&\dfrac{\partial}{\partial q_n}x_P\\\bar{\epsilon}_1\left( _{1}^{0}R\cdot Z \right)&\cdots&\bar{\epsilon}_n\left( _{n}^{0}R\cdot Z \right)\\\end{matrix} \right]

速度控制

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