数理统计（2）——数理统计基本概念

前言

这一小讲将会介绍数理统计的基础知识，后续的相关知识都是基于这些基础知识来展开的，因此对于后续章节来说，异端当前章节是重要的基础。

关于总体、样本、统计量相关概念的介绍请参考下面这篇文章糯康集团

一、常用抽样分布

统计量是样本函数，也是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。如果能求出统计量的分布，接纳不完美的自己会对问题的研究非常有帮助。如果总体是正态分布，问题会变得相电脑报电子版对比较简单，下面介绍四个基于正态总体的非常重要且常用的抽样分布。

标准正态分布

标准正态分布，是一个最标准的正态分布， X\sim N(0, 1) ，其概率密度函数为

\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}(x-\mu)^2}

图1 标准正态分布

2. \chi^2 分布

\chi^2 分布的定义，设 X_1,X_2,...,X_n 相互独立，且均服从标准正态分布 N(0,1) ，则称

\chi^2=X_1^2+X_2^2+···+X_n^2球鞋除臭

服从自由度为n的 \chi^2 分布。小球藻

图2 χ2分布概率密度函数

需要注意的是，当自由度较高时， \chi^2 分布是单峰的不对称的图像。其性质如下所示，半球电饭锅

（1抽签游戏）可加性。如果两个 \chi^2 分布相互独立，则两者的和也是 \chi^2 分布，

若X\sim\chi^好听的狗名字2(n),\ Y\sim\chi^2(m) ，则有 X+Y\sim\chi^2(n+m)

（2）如果一个分布服从 \chi^2(n)加权平均净资产收益率 分布，则有 E(三七剪口X)=n,Var(X)=2n .

3. t 分布

图3 t分布

阿姣t分布概率密度函数如下所示，

图4 t分布概率密度函数

自由度越高的t分布，其曲线越符合正态分布。一般来说， n\ge30 时，就可以将t分布作为标准正态分布。

4. F 分布

图5 F分布

F分布的概率密度函数图像如图6所示，

图6 F分布概率密度函数图7 F分布具有的性质二、正态总体的抽样分布

正态分布在概率论中处于中心地位，同样地，在数理统计中，正态分布的作用仍然是重要的巴克利打架，一般来讲，如果总体服从正态分布，那么关于该总体的几乎所有统计问题都相对简单直接。这里给出几个在数理统计中马上金融常用的有关抽样分布的结论。

破案 这部分是非常重要的内容，也是后续区间估计和假设检验的重要基础，一定要掌握这部分的内容。

1.单正态总体抽样分布定理

图8 单正态总体抽样分布定理

2.双正态总体抽样分布定理

图9 双正态总体抽样分布定理

这里不再证明这些定理，可以参考具体定理的证明。

三、上α分位点

分位点是数理统计学中的一个重要概念，特别是在参数的区间估计与假设检验中都是必不可少的。上 \alpha 分位点的定义如下，

图10 上α分位点

三种上 \alpha 分位点

1. \chi^2 分布上α分位点

图11 χ2上α分位点

2.t分布上α分位点

图12 t分布上α分位点

3.F分经典小说排行榜布上α分位longmao点

图13 F分布上α分位点

精气神 牢记这三种上 \alpha 分位点有助于后面的区间估计和假设检验，请务必牢记这个概念。

四、次序统计量及其分布

除了样本矩以外，另一类常见的统计量是次序统计量，次序统计量可以生成某些估计量和检验统计量，在实际和理论中有着广泛的应用。

次序统计量的定义：

图14 次序统计量图15 单个次序统计量图16 多个次序统计量五、经验分布函数图17 经验分布函数

通过一道例题来理解经验分布函数。幽灵旗

六、充分统计量

充分统计量的定义：

总体分布函数为 F(x;\theta) ，设 X_1,X_2,...,X_n 是免费asp空间来自该总体的样本，若在给定 T 的取值后， X_1,X_2,...,X_n 的条件分布与参数 \theta 无关，则统计量 T=T(X_1,X_2,...,X_n) 称为 \theta 的充分统计量。