微分中值定理

本文主要引用杨艳萍和明清河老师的《数学分析中的重要定理》第二章微分中值定理

微分中值定理是微分学中的重要定理，它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点 \xi ）的微观的局部的性质之间的关系，是联系函数及其导数的桥梁和纽带。其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系，泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。

一、微分中值定理的历史演变

古希腊数学家在几何研究中，得到如下结论：“过抛牛皮癣如何治疗物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这是拉格朗日中值定理的特殊情况。希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物线弓形的面积。意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri，1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣银行保函引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。

1.费马定理

法国数学家费马（Fermat，1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。费马在研究极大和极小问题的解法时，得到统一的解法“虚拟等式法”，从而得到原始形式的费马定理，费马定理在现行教科书中，一在职研究生专业般作为微分中值定理的引理。当应当好看的日本电影注意的是，在当时微积分还处于初创阶段，没有明确导数、极限连续的概念，所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。

2.罗尔定理（引理）

法国数学家罗尔（Michel Rolle，1五大发电公司652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中，给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式 a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n=0 的两个相邻根之间，方程 na_0x^{n-1}+(n-1)a_1x^{n-2}+\cdots +a_{n-1}=0 至少有一个实根”。这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同，而且证明也大相径庭。现代形式的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新证明的，并把它推广到一般函数（可微函数），“罗尔定理routeros”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch，1802-1896）在三部六病1834年给出的，并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用，是此定理成为微分学的一个基本定理。

3.拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是微分中值止水螺杆定理中最重要成都美食攻略的定理，法国数学家、物理学家及天文学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）在《解析函数论》（1797年）一书中提出拉格朗日中值定理，他最初的形式为：“函数 f(x) 在 [a,b] 上 x_0 和 x 之间连续， f'(x) 的最大值为A，最小值为B，则 \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} 必取A，B之间测字秘牒的一个值。"需要注意的是我们现在只需要函数 f(x) 在 (a,b) 上可导<并且拉格朗日的正面很大程度基于直观的基础上，不够严格。19世纪初，以可惜为代表的微积分严格化运动中，人们给出了极限、连续、导数的严格定义，也给拉格朗日中值定理以新的严格证明，柯西在《无穷小计算概论》（1823年）中定义导数时，利用了拉格朗日的结果，并称之为平均值定理。现代形式的拉格朗日中值定理，是由法国数学家博内特（O.Bonnet）在其著作Coursde Calcul Different et integral 中给出，他利用罗尔定理对拉格朗日定理进行证明。

4.柯西中值定理

对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》(1823年)、《微分计算教程》(1829年)，以严格化为主要目标，对微积分理论进行了重构。广州烧烤他首先赋予中值定理重要作用，使其成为微分学的核心定理，在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日中值定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义的微分中值定理一柯西中值定理。柯西在《微分计算教程》中给出的柯西定理为:“f(x)和 F(x)在[a,b]上有连续的导数，并且 F'(x)在[a,b]上不为零，这时对于某一点 \xi\in[a,b] ，有 \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} “。后人把柯西提出的上述定理推广到更一般的情形:“对[a,b]上连续， (a,b) 内可微的函数 f(x),g(x) ，在 (a,b) 内 g'(x)\neq0 ，则存在 \xi\in[a,b] ，有 f'(\xi)[g(b)-g(a)]=g'(\xi)[f(b)-f(a)] ”。并称之为柯西中值定理。柯西中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位，例如他利用柯西中值定理给洛必达法则以严格的证明，并研究泰勒公式的余项，从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

5.泰勒中值定理

17世纪后期和18世纪电磁隔膜计量泵，为了适应航海、天文学和地理学的需要，要求三角函数、对数函数和航海表的插值有较适马1770大的精度，英国数学家格雷戈里和英国数学家、物理学家、天文学家牛顿曾先后独立地得到如今以他们两人的名字命名的格雷戈里北京七日游-牛顿内插公式，后来英国数学家泰勒(Brook Taylor,1685-1731)由这个公式引申出一个重要公式: f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+f^{\prime \prime}(a) \frac{h^{2}}{2 !}+f^{\prime \prime\prime}(a) \frac{h透明头像^{3}}{3 !}+\cdots ，并于1712年写信告诉英国天文学家、数学家梅青，1715年他又以定理的形式载入他的著作《增量法及其逆》中。这个定理是把函数展为无穷级数的有力方法，值得指出的是这个定理早在1670年已为格雷戈里所知，稍后德国数学家、哲学家莱布尼茨也曾发现此三合人才市场结论，但他们两人均未发表。瑞士数学家约翰。伯努利曾于1694年在《教师学报》上发表了相同的结果，但是他们的证明不同。从现在的观点来看，泰勒的证明是不严密的，他没有考虑收敛问题。飞蚊症的治疗泰勒中值定理的严格证明是法国数学家柯西在泰勒公式出现一百多年之后才给出的。柯西的证明于1839年载入他的《关于级数的收敛》一书中。1742年，英国数学家麦克劳林在他的《流数论》中给出了 a=0 的特殊情形。拉格朗日在其1797年的巨著《解析函数论》中，用代数的方法率先证明了泰勒展开式，并给出了带有拉格朗日余项的泰勒展开式，当 n=1 时即为拉格朗日微分中值定理。

注. 泰勒公式就余项类型金正焕来说有多种形式，有拉格朗日余项、佩亚诺(Peano)余项、积分余项等等。当余项为拉格朗日型余项时，余项用到了函数的中间值，所以带拉格朗日余项的泰勒公式可以看做是泰勒中值定理。但并不是所有泰勒公式都是泰勒中值定理。二、微分中值定理的内容若函数 f(x) 满足如下条件：（1） f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续；（2） f(x) 在开区间 (a,b) 上内可导；

罗尔中值定理：若 f(a)=f(b) 则至少存在一点 \xi\in(a,b) ，使得 强奸美女游戏f'(\xi)=0 。

拉格朗日中值定理：则至少存在一点\xi\in(a,b) ，使得\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

若函数 f(x) ， g(x) 满足如下条件： （1） 在闭区间 [a,b] 上连续； （2） 在开区间 (a,b) 上内可导； （3） 对任意的 x\in(a,b),g'(x)\neq0 ； （4） g(a)\neq g(b)

柯西中值定理：则至流氓文化少存在一点 \xi\in(a,b) ，使得 \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} 。