麦克斯韦方程组的简单理解

本文还是一篇短文，主要总结和记录一下我对麦克斯韦方程组的理解。好的，废话不说了。

1.麦克斯韦方程组

首先给出麦克斯韦方程组，总共4个，即：

\oint_{S} (\vec{E} \cdot \vec{n})d a = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} \\ \tag{1}

\oint_{S} (\vec{B} \cdot \vec{n}) da = 0 \tag{2}

\oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{d t} \int_S (\vec{B} \cdot \vec{n}) d a \tag{3}

\oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 \left(I_{enc} + \varepsilon_0 \frac{d}{d t} \int_S (\vec{E} \cdot \vec{n}) d a \right) \tag{4}

其中：

\cdot 表示向量点乘；

S 表示闭合曲面；

C 表示闭合曲线；

\vec{E} 表示电场；

\vec{B} 表示磁场；

\vec{n} 表示曲面 S 某点处的法向量；

Q_{enc} 表示闭合曲面 S 中包含的净电荷量(net charge)；

I_{enc} 表示穿过闭合曲线的净电流（net current）；

\varepsilon_0 表示真空中介电常数；

\mu_0 表示真空中磁导率；

d a 表示一个小面元，其法向量为 \vec{n} ；

d \vec{l} 表示一个带方向的小线元。

上面是积分形式的麦克斯韦方程组，积分形式的麦克斯韦方程组表示从宏观的角度看待问题，这里的宏观指的是方程组中的闭合曲面积分（公式（1）和公式（2））或者闭合曲线积分（公式（3）和公式（4））。

1.1高斯电场定律

公式（1）左边表示电场 \vec{E} 穿过闭合曲面 S 的通量，叫做电通量买空间网（electric flux），右边表示该闭合曲面 S 中包含的净电荷数除以一个常数（自由空间的介电常数），整个公式表明：闭合曲面 S 的电通量等于该闭合曲面手机降温中包含的净电荷数除以一个常数。很多数书籍通常把该常数（\varepsilon_0）写到公式的左边，并令 \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} ，得到：

\oint_{S} ( \vec{D} \cdot \vec{n})d a = Q_{enc} \\ \tag{5}

对于公式（1），假如闭合曲面 S 包含的空间的体积 V 趋向于无穷小，我们引入极限，可得到高斯电场定律的微观视角公式，对公式（1）两边同时除以 V ，并使 V 趋向于无穷小，可得：

\lim_{V \rightarrow 0} \frac{1}{V} \oint_{S} (\vec{E} \cd叔本华人生的智慧ot \vec{n})d a = \lim_{V \rightarrow 0} \frac{1}{V} \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \tag{6}

公式（6）左边是散度的定义，表示单位体积的通量，记为 \bigtriangledown \cdot (矢量场) ，其中 \rho 表示单位体积的电荷，即体电荷密度，由公式（6）可得高斯电场定律的微分形式（微观）：

\bigtriangledown \cdot{\vec{E}} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \tag{7}

公式（7）表示空间中某一点历史常识处电场的散度等于体电荷密度除以一个常数。

矢量场的面积分1解放战争地图.2高斯磁场定律

公式（2）是高斯磁场定律，它表示任意闭合曲面的磁场通量（magnetic flux）总是等于0。

磁场的一些例子（（a）通电导线的磁场，（b）环形电流的磁场，（c）磁铁的磁场）

和电场一样，我们对公式（2）两边同时除以闭合曲面 S 包含的体积 V ，并令 V 趋向于0，可得：

\lim_{V \rightarrow 0} \frac{1}{V} \oint_{S} (\vec{B} \cdot \vec{n}) da = 0 \\ \Rightarrow \bigtriangledown \cdot \vec{B} = 0 \\ \tag{8}

公式（8）就是高斯磁场定律的微分形式，它表示空间任一点出磁场的散度为0，即磁场是一个无散场。

1.3法拉第定律（磁生电）

公式（3）是法拉第定律，它表示电场 \vec{E} 的沿着闭合曲线 C 的线什么项目赚钱积分等于磁通量（magnetic flux）的时间变化率。对于公式（3）的右边可知，导致磁通量的变化有三种可能：

（1）磁场 \vec{B} 的幅度变化；客家文化

（2）磁场 \vec{B} 与法向量 \vec{n} 的夹角发生变化（夹角变化也会导致有效面积变化）；

（3）曲面 S 的大小发生变化。

以及上述三种情况的组合也会导致磁通量的变化。

和公式（1）和公式（2）类似，我们对公式（3）除以闭合曲线 C 包含的面积 S （这里 Sraid卡 表示面积，不是前面的曲面 S ），并令 S潮剧选段电脑的发展史 趋向于0，可得到：

\lim_{S \right死肌肉arrow 0} \left(\frac{1}{S} \oint_{C} \vec{E} \cdot d兽族\vec{l} \right) = -\lim_{S \rightarrow 0} \left(\frac{1}{S} \frac{d}{d t} \int_S (\vec{B} \cdot \vec{n}) d a \right) \tag{9}

公式（9）的左边是矢量场的旋度的定义，表示单位面积的环量，记为 \bigtriangledown \times (矢量场) ；对于公式（9）的右边，当 S \rightarrow 0 时， S 和 d a 相抵消，于是公式（9）右边只剩下磁场 \vec{B} 随时间的变化，即：

\bigtriangledown \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \tag{10}

矢量的线积分1.4安培-麦克斯韦定律（电生磁）

公式（4）是安培-麦克斯韦定律，它表示磁场 \vec{B} 沿着闭合曲线 C 的线积分北京夜市等于闭合曲线包含的净电流乘以一个常数与电通量（electric flux）的时间变化率之和，由于历史原因（什么原因我还没查过），电通量的时间变化率也叫位移电流(displacement current)。

和公式（3）一样，我们对公式（4）除以闭合曲线 C 包含的面积 S （这里 S 表示面积，不是前面的曲面 S ），并令 S 趋向于0，可得到：

\lim_{S \rightarrow 0} \left( \frac{1}{S} \oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{l} \right)= \lim_{S \rightarrow 0} \left( \frac{1}{S} \mu_0 \left(I_{enc} + \varepsilo小河美女n_0 \frac{d}{d t} \int_S (\vec{E} \cdot \vec{n}) d a \right) \right) \tag{11}

同样地，公式（11）的左边是矢量场的旋度的定义，右边包含两部分，其中：

（1）面电流密度： \vec{J} = \lim_{S \rightarrow 0} \frac{ I_{enc}}{S} ，面电流密度有方向的，指向电流的流动方向；

（2）电场随时间的变化率： \lim_{S \rightarrow 0} \frac{1}{S} \left(\frac{d}{d t} \int_S (\vec{E} \cdot \vec{n}) d a\right ) = \f卧薪尝胆是谁rac{\partial E}{\partial t}

于是公式（11）变成：

\bigtriangledown \times \vec{B} = \mu_0( \vec{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) \tag{12}

磁场的线积分2.总结

我们将上述的积分形式和微分形式的麦克斯韦方程组写在一起，如玫瑰的名字下：

积分形式：\left\{ \begin{array} \\ \oint_{S} (\vec{E} \cdot \vec{n})d a = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} \\ \oint_{S} (\vec{B} \cdot \vec{n}) da = 0 \\ \oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{d t} \int_S (\vec{B} \cdot \vec{n}) d a \\ \oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 \left(I_{enc} + \varepsilon_0 \frac{d}{d t} \int_S (\vec{E} \cdot \vec{n}) d a \right) \end{array} \right. \tag{13}

微分形式：\left\{ \begin{array} \\ \nabla \cdot{\vec{E}} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B} = \mu_0( J + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) 酒标签\end{ar游学团ray} \right. \t胸杯ag{14}

再给一个关系图：

\begin{array} {l} {\color{Blue} \oint_{S} (\vec{E} \cdot \vec{n})d a = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}} \quad \underrightarrow{散度定理} \quad {\color{Green} \nabla \cdot{\vec{E}} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} } \\ {\color{Blue} \oint_{S} (\vec{B} \cdot \vec{n}) da = 0 \quad} \underrightarrow{散度定理} \quad {\color{Green} \nabla \cdot \vec{B} = 0 } \\ {\color{Blue} \oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{d t} \int_S (\vec{B} \cdot \vec{n}) d a} \quad \underrightarrow{斯托克定理} \quad {\color{Green} \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} } \\ {\color{Blue} \oint_{C} \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 \left(I_{enc} + \varepsilon_0 \frac{d}{d t} \int_S (\vec{E} \cdot \vec{n}) d a天文学 \right)} \quad \underrightarrow{斯托克定理} \quad {\color{Green} \nabla \times \vec{B} = \mu_0( \vec{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})} \end{array} \tag{15}

公式（15）告诉我们，麦克斯韦方程组的微分形式可以对其积分形式运用散度定理和斯托克定理得到。我记忆的方法是：单位体积的通量是散度，单位面积的环量是旋度。

OK，以上是一个小小的总结，请各位知友批评指正，蟹蟹~~

参考文献：

[1] 《A students guide to Maxwells equations by Daniel A Fleisch 》