微分方程第九节* 欧拉方程

​ 前面我们只讨论了常系数的线性微分方程，此处我们介绍一种特殊的变系数线性微分方程：欧拉方程。

​ 形如： x^ny^{(n)}+P_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots+P_{n-1}xy^{'}+P_ny=f(x)职称评定流程 的方程，(其中 P_1,P_2,\dots,P_n 为常数)，被称为肌腱断裂欧拉方程。

为了解这个方程，此处令 x=e^t ,再将自变量114dns x 换成 t

此时有 \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot 翡翠观音\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \fr监外执行的条件ac{dy}{dt}

这里给演示如何求 \frac{d^2y}{dx^2} ，如果要继续往下推导，需要读者自行尝试。杨涛鸣

\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}电脑传真{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt})}{dx}=\frac{-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{dy}{dt}dx+\frac{1}{x}\cdot d(\frac{dy}{dt})}{dx}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\cdot\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt天堂梦}\cdot \frac{dt}{dxoracle数据库备份}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\fr债权人代位权ac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^美多集成灶2}=\frac{1}{x^2}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt})

此时还有 \frac{d^3y}{dx^3}=\frac{1}{x^3}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy城乡结合部}{dt})

如果此时用记号 D 表示对 t 求导的浮世绘春画运算，即 D 表示 \frac{d}{dt} 。

那么上面的式子就可以变化为

xy^{'}=Dy,x^2y免费cdn加速^{''}=D(D-1)y,x^3y^穿着暴露{''&黑色的太阳#39;}=D(D-1)(D-2)y

那么就可以归纳出 x^ky^{(k)}=D(D-1)(D-2)\cdots (网络兼职骗局D-k+1)y

我们将此式代入原方程，就可以得到一个以 t 为自变量的常系数线性微分方程，最终再用 t=lnx 反代就可得到方程的解。考研考场

这里只给出一个例子来让大家体会过程

​ 求欧拉方程 x^3y^{'''}+x^2y^{''}-4xy^{'}=3x^2 的通解

我们作变换 x=e^t ，那么原式就变为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e^{2t}

将此方程化简则有 D^3y-2D^2y-3Dy=3e^{2t}

此时方程对应的齐次方程为 \frac{d^3y}{dt^3}-2\frac{d^2y}{dt^2}-3\frac{dy}{dt}=0

其特征方程为 r^3-2r^2-3r=0

易求它有三个解 r_1=0,r_2=-1,r_3=3

那么齐次方程的通解为 Y=C_1+C_2e^{-t}+C_3e^{3t}

又因为方程右侧 3e^{2t} 是 点点点P_me^{\lambda x} 型的微分方程，运用上一节中的方法(这一部分略，读者可以自行尝试)，这样我们就可以求得答案为

y=C_1+C_2x^{-1}+C_3x^3-\f明宣宗行乐图rac{1}{2}x^2