数列极限方法篇（一）——海涅定理（精巧版）

由于忙于大学学业，笔者好久都没写写拙文了。油茶籽油。。。。。这一系列的文章是针对于工科数学分析的简单一面来进行编辑与创作的。主要半夏微凉是分享分享一些方法。还有，笔者公式编辑不怎么会用嘉士伯，大多以图片形式展现。

首先来介绍一下海涅定理：

定理1： \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)}最大的差别=A 的充要条件是对任何以 x_{0} 为极限的数列 {x_{n} }（ x_{n} 不等于 x_{0} ）， 都有 f(x_{n})\鲤鱼饵料配方rightarrow A(n\rightarrow ∞)

定理2亚当斯密：设 f(x)在|x|>M上有定义，则\lim_{x \rightarrow ∞}{f(x)}=A的充要条件是，对于 任何以∞为极天沟限的数列 { x_{n} } (尿分岔|x_{n}|>M),都有\lim_{n \rightarrow +∞}{x_{潮阳一中n}}=A

这个那个它的证明tuoye就不在此阐述了，中图分类号网上都有。

海涅定理中阐述的是以任意数列来遍历x0的领域中的所有实数，在一定程度上仍旧是连续逼近，而不是去跳跃性地靠近极限。这就是以离散性去描述连续性

用途一：判断函数极限不存在（这里稍微提一下）

主要是需要构造两个极限相同的数列，然后带入到原式中，使得原式的函数极限不同。举个简单的例子：

例：证明 \lim_{x\rightarrow 0+}{sin\frac{1}{x}} 极限不存在

证：依据上述陈述，可构造光学镜片

{ a_{n} }= \frac{1}{2\pi n} ，{ b_{n} }= \frac{1}{2\pi n+\frac{\p比利时玛利诺犬i}{2}} ，易知这俩个的极限均为0.

代入函数菲利普亲王式可以得出极限不同，前者是0，后者是1

可以得极限是不存在的

用途二：求数列的极限（一般不用于数列和的极限）

这一类题呢，题中一般是给出n趋于正无穷，因此，大部分都令 \frac{1}{n}=x ，让 x 趋于 0+ ，来进nio行相关操作。也有部分直接使 x=n ，根据题目的式子进行判断(这里并不严谨，主要是展示方法。）

例： \lim_{n \rightarrow ∞}(n tan\frac{1}{n})^{n^{2}}

= \lim_{x \rightarrow 0+}(\frac{tanx}{x})^{\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \rig桐生操htarrow 0+}{(1+\frac{tan忏悔录txtx-x}{x})^{\frac{1}{x^{2}}}}

= \lim_{x \rightarrow 0+}{(1+\frac{tanx-x}{x})^{\frac{tanx-x}{x}\f王梓坤rac{x}{tanx-x}\frac{1}杭州地铁4号线{x^{2}}}}

= e^{\frac{1}{3}}

海涅定理其实还有非常多的应用，胡兰畦比如在函数的连续性上，证明函数为常函数等等方面都有不可替代的作用，以后有时间再说。