一阶线性微分方程

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预备知识　铁道兵精神常微分方程 　　 具有以下形式的微分方程叫做一阶punchout线性微分方程 \begin{align}&\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} + p(安徽绿海x)y = f(x)&(1)\\\end{align} 一般地， 未知函数及其各阶导数都各占一项时， 方程就是线性的． 另外，如果 f(x) 项不出现， 方程就是齐次的， 否则就是非齐次的． 我们先来看以上方程对应的齐次方程 \begin{align}&易经六十四卦图;\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} + p(x)y = 0&(2)\\\end{align} 这是一个可分离变量的方程， 分离变量得 \begin{align}&\frac{ \,\mathrm{d}{y} }{y} = -p(x) \,\mathrm{d}{x}&纯黑壁纸;(3)\\\end{align} 两边积分得 \begin{align}&课件下载全免费amp;\ln \left\lvert y \right\rvert = -\int p(x) dx + C&(4)\\\end{align} 两边取自然指数得 \begin{align}&y = \pm \mathrm{e} ^C \mathrm{e} ^{-\int p(x) \,\mathrm{d}{x} }&(5)\\\end{align} 把 \p西北工业大学图书馆m \mathrm{e} ^C 整体看做一个任意常数 C， 上式变为． \begin{align}&y = C \mathrm{e} ^{-\int p(x) \,\mathrm{d}{x} }&(6芳香理疗师)\\\end{align} 这就是一阶线性齐次微分方程式 2 的通解， 也叫式 1 的齐次解．

常数redflag变易法 　　 现在我们用常数变易法来解非齐次方程式 1 ． 为书写方便， 式 6 中令 y_0(x) = \exp\left(-\int p(x) \,\mathrm{d}{x} \最有成就感的事right)． 假设上式中的 C 是一个函数 C(x) 而不是常数， 代入式 1 得 \begin{align}&C'y_0 + C[y_0' + p(x)y_0] = f(x)&(7)\\\end{align} 由于 y连锁眼镜店_0 是齐次解， 上儒道释式方括号中求和为 0， 分离变量西数黑盘得 \begi西游电影n{align}&\,\mathrm{d}{电磁炉维修C} = \frac{f(x)}{y_0} \,\mathrm{d}{x}&(8)\\\end{align} 两边积分得 \begin{align}&C(x) = \int \frac{f(x)}{y_0} \,\mathrm{d}{x}&(9)\\\end{align} 所以一阶线性非齐次微分方程的通解为 \begin{align}&y = y_0 \int \fra给排水图例c{f(x)}{y_0} \,\mathrm{d}{x}&(10)\\\end{align} 其中 \begin{align}&y_0(x) = 灾难大片\mathrm{e} 安全套品牌^{-\武汉音乐学院研究生int p(x) \,\mathrm{d}{x} }&(11)\\\end{align} 注意待定常数包含在式 10 的不定积分中， 式 11 中的不定积分产生的待定常数在代入式 10 后可消去．