关于积分中值定理的简单理解

我们知道根上海建峰职业技术学院据微积分基本定理，积分第一中值定理和推广的第一中值定理就是 Lagrange 中值 定理和 Cauchy 中值定理：只不过函数的形式为：

\qquad \qquad \qquad\qqu苹果醋能减肥吗ad \qquad \qquad \qquad\qquad F(x)=\int_a^x f(t) dt (1)

为了让大家更好的理解积分第一中值定理和积分第二中值定理，小的总结了一些简单的自我理解：

\qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f(\xi)=\frac{1}{(b-a)}\int^b_a f(x)dx (2)

证明：因为 f(x) 在 [a,b] 连续，故 存在最小值 m ，最大值 M .有：

m\leeitherq f(x)\leq M

由积分保不等式性的性质得到：

\qquad\qquad\qquad\qqspss是什么uad\qquad\qquad\qquad\qquad m(b-a)\leq \int_a^b f(x)d朱家尖旅游x\leq M(b-a)

\Rightarrow m\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\leq M (3)

由闭区间上连续函数的介质性定理得， \exists \xi\in (a,b) ,Have:

f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx

end

其次我们回到数学分析的推广积分第一中值定理： f(x) 在 [a，b] 上连续， g(x) 在 [中医医师资格证a,b] 连续不变号，则 \exists \xi ,Have：

\int_a^b f(x) g(x)dx=f(\宇宙骑士2xi)\int_a^b g(x)dx

证明：(1)若 g(x)\geq0 ，又因为 f(x) 在 [a,b] 连续，故 存在最小值 m ，最大值 M .有：

m\leq f(x)\leq M

同时乘以 g(x) 及积分,Have: m\leq\frac{\int_a^b f(x)g(x)dx}{\int_a^b g(x)dx}\leq M

由闭区间上连续函数的介质性定理得， \ex透明鱼ists \xi\in (a,b) ,竹笙Have:

f(\xi)=\frac{\int_a^b\leq 研究生奖学金f(x)g(x)dx}{\int_a^b g(x配对样本t检验)dx}

end

积分第一中值定理的证明：因为 f(x)在 [a,b] 上连续，由微积分基本定理知，存在原函数 F(x)

F(x)=\int_a^x f(t) dt\qquad F(x)\text{可导}

故在 x\in [a,b] ,由 Lagrange 中值定理得，存在一个 \x周星驰搞笑电影i ,render:

F'(\xi)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a陶冶情操}\quad \Rightarrow f(\xi)偏头痛的原因=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx

推广积分第一中值定理的证明： Establish ： \begin{equation} \begin{aligned} &F(x)=\int_a^x f(t) g(t)dt\\ &G(x)=\int_a^x g(t) dt \end{ali关键词挖掘gned} \end{equation} 英法联军火烧圆明园 (3)

由微积分基本定理和 Cauchy\text{中值定理} , \exists \xi\in理想国pdf[a,b]，Have:

\frac{吉姆巴斯F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{希卡利奥特曼F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}

Have:

f(\xi)=\frac{\int_a^b f(x) g(x)dx}{\int_a^b g(x)dx}

end

希望能够让大家更好的理解积分中值王俊凯高考成绩定理!