机器人机械结构之倒立摆模型

1.介绍

倒立摆模型被广泛运用于火箭的发射、双足机器人的建模.那么到底什么是倒立摆呢?怎么理解其内在的运动规律?本文将从数学建模、Webots的仿真等多个维度给你一个全方位、多角度的解答,那么让我们开始吧.

这是一个普通的钟摆:

图1.1 钟摆

将其倒立放置,于是你就得到了一个倒立摆:

图1.2 倒放的钟摆

很简单,是吧.倒立摆更为官方的定义是质心在铰链上方的系统.它是一个机战sf很不稳定的状态,现在想象在你牛津高阶词典的指尖放置一个扫帚,你单亲爸爸应该怎样做使它平衡呢？

图1.3 放在指尖上的扫帚

没错,你需要不断的移动你的身体,这样才能让扫帚一直保持竖直状态,这看起来会很滑稽,但是却形象的表示了一阶倒立摆的基本原理.为了更好的数学建模,我们利用最经典的小车摆改模型,它是长这个样子的:

图1.4 小车模型

这里的小车模型假设摆杆的质量为0,同时在摆改的顶端加上一个质量为m的小球.这个模型和假设只有一个长度为2三沙旅游l质量为m的摆杆模型是等价的(读者可以先想一下是为什么,后面会揭晓答案).有了基本的物理模型,我们就可以对其进行受力分析,建立数学模型了.

2.数学建模

数学建模主要有牛环境工程学报顿第二定律法和拉格朗日法^{[1],这里主要介绍第一种苯丙胺类,看不懂或者不想看公式推导的可以直接看加粗字体部分,不影响食用哦.}

摆杆的受力分析如图2.1所示,根据法律文书网牛顿第二定律得到:

R_x=ma_x\tag{2.1}

R_y-mg=ma_y\tag{2.2}

图2.1 摆杆的受力分析

小车的受力分析如图所示,根据牛顿第二定律得到:

F-R_x=M\ddot{x}\tag{2.3}

F_N-R_y-Mg=0\tag{2.4}

图2.2小车受力模型

小球质心的位置为(加粗表示矢量):

\bm{r_p}=(x-lsin\theta)\bm{x_I}+lcos\theta\bm{y_I}\tag{2.5}

对式2.5二次求导得到小球的加速度:

\bm{a_p}=(\dd盖德化工网ot x+l\dot\theta^2sin\theta-l\ddot\theta cos\theta)\bm{x_I}-(l\dot\theta^2cos\theta+l\ddot\theta sin\theta)\bm{y_I}\tag{2.6}

将式2.6带入式2.1和式2.2得:

R_x=m(\ddot{x}+l\dot{\theta}^2sin\theta-l\ddot{\theta}cos\theta)\tag{2.7}

R_y-mg=m(-l\ddot\theta^2cos\theta-l\ddot{\theta}sin\theta)\tag{2.8}

将2.式带入2.7式得:

lasekF=(M+m)\ddot{x}-ml\ddot{\theta}c福卡os\theta+ml\dot{\theta}^2sin\theta\tag{2.8}

至此,我们就得到了外力和运动的关系.在推导位移和角度的关系之前,先引入一个与摆杆垂直的单位向量 \bm{x_B} :

\bm{x_B}=cos\theta\bm{x_I}会计基础知识学习+sin\theta\bm{y_I}\tag{2.9}

将\bm{x_B}与摆杆所受和力相乘的到2.10.

(\bm{x_B})^T\sum\bm{F}= (\bm{x_B})^T(R_x\bm{x_I}+R_y\bm{y_I上海到婺源}-mg \bm{y_I})\\ =(\bm{x_B})^T(R_p\bm{y_B}-mg\bm{y_I})=-mgsin\theta\tag{2.10}

其中 R_p=\sqrt{R_x^2+R_y^2} ,注意 \bm{x_I乐器的种类}\cdot\bm{y_I}=0 , \bm{x_I}\cdot \bm{x_I}=1 .

将\bm{x百度网盘搜索引擎_B}与石家庄宠物医院摆杆加速度相乘的到2.11.

m(\bm{x寒假实习_B})^T\bm{a_p}=m(\ddot{x}cos\t隔绝电影heta-l\ddot\theta)\tag{2.11}

综合2.10和2.11得到:

tlb\ddot{x}cos\theta-l\ddot{\theta}+gsin\theta=0\tag{2.12}

这就得到了小车的位移和摆杆偏离角度的关系表达式.

3.Webots仿真

这个是webots的方针结果,采用PID控制.感兴趣的同学可以到官方网址下载学习.

倒立摆PID方针www.zhihu/video/11917991405网站客服50565888

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参考^维基百科 en.m.wikipedia/wiki/Inverted_pendulum