第三章-§2 麦克斯韦分布

接着吉布斯分布的讨论，我们完税价格表可以进一步得出麦克斯韦分布。麦克斯韦分布里面的能量可以分成动能 K(p) 和势能 U(q) 。其中动能只和动量有关，势能只和位置有关。使用动能和势能，我们可以把吉布斯分布写成：

\ce d w=A\ce e ^{-\frac{K(p)}{T}}\ce e ^{-\b区有哪些学校frac{U成都中医药大学研究生院(q)}{T}}\ce d p \ce dq \\ \tag 1

我们惊喜地发现概率变成了两部分的乘积：一部分只和位置有关，一部分只和动量有关。也就是：

\begin{aligned} \ce dw&=\color{blue}{\ce dw_\bm p} \cdot \color{red}{\ce d w_\bm q}\\ &=\color{blue}{a\ce e ^{-\frac{K(\bm p)}{T}}\ce d \bm p}\cdot\color{red}美食江湖不思议{b\ce e ^{-\frac{U(\bm q山菅)}{T}}\ce d \bm q}\\ \en会员管理d{aligned}\\ \tag 2

其中拉丁语发音出现的常数 a,b 可以通过对动量和坐标各裁判的英文自归一化而求出。

我们集中研究一下动量的概率分布。由于整个体系动能可以分解成每一个粒子的动能之和，而指数上面爱情片韩国的相加又可以变成相乘的形式，加上每个原子的动量概率分布是安全期怎么算互相独立的，所以我们不妨研究对于单个粒子的动量分布：

\ce d w_\bm p=a \c二郎神师傅e e^{-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2mT}}\ce dp_x \ce dp_y \ce dp_z \\ \tag 3

根据归一化条件

血战长津湖\iiint \ce dw_\bm p=\iiint a \ce e^{-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2mT}}\ce dp_x\ce dp_y\ce dp_z=1 \\ \tag 4

并且利用积分公式

\int_{-\infty}^{+\infty}\ce e^{-ax^2}\ce dx=\sqrt \frac{\pi}{a} \\ \tag 5

得到

a=\frac{1}{(张元济2\pi mT)^{3/2}} \\ \tag 6

因为每一个分量贡献了一个 \frac{1}{(2\pi mT)^{1/2}} ，乘起来就是3/2次方了。

于是我们得到麦克斯韦分布的动量形式：

\ce d w_{\bm p}=\frac{1}{(2\pi mT)^{3/2}} \ce e^{-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2mT}}\ce dp_x \ce dp_y \ce dp_z \\ \tag 7

化成速度的形式，有：

\ce d w_{\bm v}=\left(\frac{m}{2\pi T}\right)^{3/2} \ce e^{-\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2T}}\ce dv_x \ce dv_y \ce dv_z \\ \tag 8

接下来就板栗烧鸡的做法是把玩一下我们得到的公式，比如说：

拆成分量：

\ce d w_{v_x}=\left(\frac{m}{2\pi T}\right)^{1/2} \ce e^{-\frac{mv_x^2}{2T}}\ce dv_x \\ \tag 9

球坐标：

\ce d w_{\bm v}=\left(\frac{m}{2\pi T}\right)^{3/2} \ce e^{-中国教育统计\frac{mv^2}{2T}}v^2\sin \theta\ce dv \ce d \theta \ce d \va条纹乌木rphi \\ \tag{10}

如果我们仅仅考虑速度的大小，不考虑方向，那么就相当于在速度空间取了一个球壳，也相当于把（10）的两个角度给积分掉了。我们有（注意v没有加粗的向量符号了）:

\ce d w_{v守夜者}=4\pi\left(\frac{m}{2\pi T}\right)^{3/2} \ce e^{-\frac{mv^2}{2T}}v^2\sin \theta\ce dv \\ \tag{11}

有了概率分布，我们就可以求出一堆东西的平均值。比如要求动能，犬瘟热我们就要求出速度平方的平均值。把速度平方扔进分布函数，我们得到：

\overline{v_i^2}=\left(\frac{m}{2\pi T}\right)^{1/2} \int v_i^2\ce e^{-\frac{mv_i^2}{2T}}\ce dv_i=\frac{T}{m巴米扬大佛} \\ \t温州火锅ag{12}

从而

\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}=\frac{3T}{m} \\ \tag {13}

所以

\overline{E_k}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}T \\ \tag{14}

或者用更常用的单位制：

\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT \\ \tag{15}