[有误]证明阿列夫零等于阿列夫一

(本文有概念性失误，出于反省以及思辨意义，在此保留全文)

一、前置的预备知识

网络营销特点命题一：一个集合的一个子集等价于该集合到 {0, 1} 上的一个映射。

比如这个集合的一个子集——空集，等价于该集合里所有元素都映射到 0 的这么一个映射；

再比如这个集合的一个子集——该集合本身，等价于该集合里所有元素都映射到 1 的这么一个映射；

再比如这个集合的一个子集——非空集亦非该集合本身的普通子集，其实就是将该集合中映射到 1 的所有元素都取出来后形成的集合。

命题二：自然数集合（包括零），可以用二进制表示，等价于一端固定一端无限延伸的二进制数串。

比如自然数 0 等于二进制表示法的 “0” 或者 “00” 或者 “…00000000” 前面无限个零；

再比如自然数 1 等于二进制表示法的 “1” 或者 “01” 或者 “…00000001” 前面无限个零；

再比如自然数 2 等于二进制表示法的 “10” 或者 “010” 或者 “…00000010” 前面无限个零。

这里再补充些定义：

一个集合中的元素数目称为集合的势。

将自然数集合中所有元素的数目称为阿列夫零（记号为 \aleph_0 ），这也被称为自然数集合的势。

将自然数集合的所有子集的数目称为阿列夫或阿列夫一（记号为 \aleph 或者 \人力咨询aleph_1，也有 2^{\aleph_0} 的这种写法），这也被称为实数这个集合的势。

二、映射的构造

由命题一可知，自然数集合的所有子集，等价于，自然数集合到 {0, 1} 的所有映射；美国签证系统

由命题二可知，任意一个自然数都有其相对应的二进制表示；

由此，我们可以构造一个，从自然数集合的子集到自然数二进制表示的“一一映射”，如下所示：

这里，我们可以——

由自然数获得其对应的自然数集合子集：

自然数 —> 其二进制表示 —> 取出所有位置上值为“1”的位置号（自然数）构成所需集合。

还可以——

由自然数集合子集获得其对应的自然数：

将集合子集里的元素值当作位置号，在位置号指示位置填“1”，其余填“0” —> 获得二进制表示 —> 获得所需自然数。st国药

由此，我们得到了一个“一一映射”（或者说“双射”），但历史上，诸多数学家论证了这个“一一映射”存在矛盾，认为它并不实际存在，这里将对主流的两个论证方式进行批驳。

三、对矛盾构造的反驳

1. 对康托对角线证法（Cantor's Diagonal Meth海葬od）的反驳：

对角线证法其实可以直接用于自然数的二进制表示上，如下图所示：

通过对角线证法的这种构造，我们实际上可以得到“和自然数集合里所有自然数都不同的自然蒲寿庚数”。

由于这里已经假设命题二为真，故而，这里什么是心衰的构造已经自我矛盾，不能证明这种“一一映射”的不存在。

2. 对“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的集合”这种反证法的反驳：

这种反证洪七公叫花鸡法的证明要点是，先构造“一一映射植物大战僵尸智慧树”，再构造“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的集合”，最后导出矛盾，从而论证“一一映射”不存在。

那么导致矛盾的点，是“一一映射”不存在？还是“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的集合”不存在？

在此，我先展示下之前构造的“一一映射”在自然数 0~5 时的情况：

0：…00000：∅

1：…00001：{0}

2：…00010：{1}

3：…00011：{0, 1}

4：…00100：{2}

5：…00101：{0, 2}

…

在此处的映射构造中，我们可以看到，∅ 对应 0，{0} 对应 1，{1} 对应 2，{0, 1} 的对应 3，{2} 对应 4，{0, 2} 对应 5 …

由于一个大于 2 的自然数，其二进制表示位数永远小于自然数本身，所以“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的集合”对应的二进制表示女王节就是 “…11111（前面无限个 1）” 。

而这个二进制表示对应的是一个无穷大的自然数。真正的矛盾点在，这个无穷大的自然数，是否是“不在其所映射到的子集里的自然数”？

如果是，那么不是；

如果不是，那么是。

这就是矛盾。而事实上，判定一个元素是否属于一个无穷集合可能是一个无解的问题——比如，图灵停机问题，以及，“π + e 是不是超越数”。

而在这里构造“不在其所映射到的子集里的自然数”就会遇上判定该元素是否属于一个无穷集合的问题——

这里，我们无法判定“…11111（前面无限个 1）”是否是“不在其所映射到的子集里的自然数”。

所以，“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的集合”可以不存在。

故而，矛盾可以通过认定“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的集合”不存在而得到解决，而非这个“一一映射”不存在。

通过构造这样的“一一映射”（或者说“双射”），以及反驳论证该“一一映射”不存在的矛盾构造手法，我们得到结论：

在本文的命题一与命题二为真的情况下，

可列无穷集合的子集数目等于可列无穷集合的元素数目。

也即，阿列夫一等于阿列夫零，

也即，阿列夫一等于阿列夫二，阿列夫二等于阿列iphone密码忘了怎么办夫三…

阿列夫零也被称为自然数集合的势，阿列夫一也被称为实数集合的势。

因而，在本文的命题一与命题二为真的情况下 ，自然数集合的势等于实数集合的势。

进而，在集合论狗娃子天一前人的基础上，我们还可以论证：

在本文的命题一与命题二为真的情况下，

有无穷元素的集合，其势只有一个，名为阿列夫（ \aleph ）。

Q.E.D

附录 A

由于我曾经在下面这篇文章中：

谈到过阿列夫零、阿列夫一、阿列夫二等“可列无穷个无穷集合的势”，并用它论证了“有可列无穷个实数参数的机器学习模型，无法遍历所有由实数到 {0, 1} 的映射”（阿列夫一小于阿列夫二）。所以，这篇文章也相当于我对自己错误论点的改正。

而关于前人有没有论证过本文谈的问题，我在网上进行了检索，找到的只有：

历史上，荷兰数学家布劳威尔（可以检索百度百科，或者检索维基百科），通过放弃“排中律”，论证过无穷集合的势只有阿列夫零，但论证过程比较晦涩——

本文使用的是很原始却非常明确的论证方式。

本文中，二进制表示的自然数“…111大连mba11（前面无限个 1）”其实也是个很有趣的数，有趣在以下几点：

它是本文构造的映射里，对应“所有不在其所映射到的子集里的自然数，它们构成的记性不好吃什么集合”的自然数（其实这个集合不灵异档案存在）；它在本文构造的映射里，对应的自然数集合的子集，其实就是自然数集合本身；它可能是最大的自然数，因为给它 +1 后，得到 “1…00000（最前面的 1 在可列无穷远处）”，然而这又小于“…11111（前面无限个 1）”。

鉴于以上几点，我准备称这个二进制数叫“常一”，或称“绝对最大自然数”。

本文证明的命题也有一个有趣的推论：由于自然数网店如何推广数目（阿列夫零）等于实数数目（阿列夫一），所以，有理数数目等于无理数数目。且由于阿列夫零等于阿列夫一，所以连续统假设（continuum hypothesis）不存在。

附录 B

要反驳本文的结论有几种看上去可行的办法。

比如，认定 “…11111（前面无限个 1）” 不是自然数（也就是否定命题二）。

那么， “…11110（前面无限个 1）” 是不是自然数呢？

如果是，那么根据自然数定义“自然数的后继（+1）还是自然数”，“…11111（前面无限个 1）” 就是自然数，矛盾；

外蒙古独立如果不是，那么意味着 “…11100（前面无限个 1）”、“…11000（前面无限个 1）”、“…10000（前面无限个 1）” 等等都不是自然数——也就是说，“…1…00000（前丑男面无限个 1，后面有限或可列无穷个 0）” 的二进制形式都不是自然数。

而自然数集合里包括了可列无穷个自然数，所以，自然数的二进制表示的位数（从出现第一个“1”的位置开始算）是可列无穷——因此，“1…00000（1 在可列无穷远处，也即 1 后面为有限或可列无穷个 0）”就是一个自然数。

根据自然数加法的定义，两个自然数相加还是自然数，故而，可列无穷个自然数相加还是自然数，所以，“…1…00000（前面有可列无穷个 1）” 是一个自然数，这个自然数也就是“…1…00000（前面无限个 1，后面有限或可列无穷个 0）”，这又导致矛盾。

其实，当“1…00000（1 在可列无穷远处，也即 1 后面为有限或可列无穷个 0）”是自然数，且可列无穷个自然数相加还是自然数，那么“…11111（前面无限个 1）”就是自然数。

因此， “…11111（前面无限个 1）” 是一个自然数（命题二成立）。

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