勾股数公式的简单推导

勾股数 (a,b,c) 是指满足 a^2+b^2=c^2 的正整数，它们的通用公式为 (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 ，下边我从定义出发，利用平方差公式举例实验找规律，推导出这一通用公式。

天津设计学院由 a^2+b^2=c^2 可知 a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)

当 a 为奇数时 c+b 和 c-b 全都是奇数；当 a 为偶数时 c+b 和 c-b 全都是偶数。（ c+b=(c-b)+2b ，与 c-b 同奇同偶）

\bullet 当 c-b=1 时， c=b+1 ， a^2=c+b=2b+1 ，则 b=\frac{a^2-1}{2} ， c=\frac{a^2+1}{2} ，此时 a 是奇数，令 a=2n+1 ，则 b=2n^2+2n ， c=2n^2+2n+1 。

由此可得到(3,4,5)(5,12,13)(7,24,25)(9,40,41)(11,60,61)(13,84,85)等勾股数组。

\bullet 当 c-b=2 时， c=b+2朝鲜主席 ， a^2/2=2(b+1) ，则 b=\frac{a^2}{4}-1=\frac{a^2-4}{4} ， c=\frac{a^2}{4}+1=\frac{a^2+4}{4} ，此时 a 是偶数，令 a=2n ，则 b=n^2-1 ， c=n^2+1 。

由此可得到(4,3,5)(6,8,10)(8,15,17)(10,24,26)(12,35,37)(14,48,50)(16,63,65)等勾股数组。

\bullet 当 c-b=3 时， a^2/3=2b+3 ，则 b=\frac{a^2-9}{6} ， c=\frac{a^2+9}{6} ，此时 a 是3的倍数且是奇数，令 a=3(2n+1) ，则 b=6n^2+6n ， c=6n^2+6n+3 。

由此可得到(9,12,15)(15,36,39)(21,72,75)(27,240,243)(33,18鼻子短怎么办0,183)(39,252,255))等勾股数组

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发现规律了吗？让我们来一个更直接的假设吧：

a^2=(c+b)(c-b) ，设c-b=k ，则 c=b+k ， a^2=k(2b+k) ，求出 b=\frac{a^2-k^2}{2k} ， c=\frac{a^2+k^2}{2k} ，即 a^2+(\frac{a^2-k^2}{2k})^2=(\frac{a^2+k^2}{2k})^2 ，这可以解释为：对任意正整数a和不大于a的每一个正整数k，总是存在两个差为k的有理数，它们的平方差等于a²。

把 2k 乘上去，得到 (2ka)^2+(a^2-k^2)^2=(a^2+k^2)^2 ，这就是通用勾股数公式的形式，完毕。

让我们从头分析一下，a^2+b^2=c^2这一式子中有三个变量，一个约束条件，意味着只有两个独立变量，取成a和b，那么推导过程中独立变量是怎么变成a和k的呢？就在于令 c-b=k 时，以k取代了b。然后我们确定这个等式的通用公式用两个独立变量就可以表示，因此我们有两个独立变量后可以暴力表示，再把有理式化成等式，就可以得到一个通用公式，但这个过程中，a的含义不知不觉发生了变化。

采用相同步骤，还可以寻找\bm{a^2+b^2+c^2=d^2}的通用公式：将式子改写成a^2+b^2=d^2-c^2=(d+c)(d-c) ，令 d-c=k ，则 d+c=2c+k ， a^2+b^2=k(2c+k)=2kc+k^2 ，解得 c=\frac{a^2+b^2-k^2}{2k} ， d=\frac{a^2+b^2+k^2}{2k} ，即 a^2+b^2+(\frac{a^2+b^2-k^2}{2k})^2=(\frac{a^2+b^2+k^2}{2k})^2 ，把 2k 提到分子上后得到了最终公式 (2ka)^2+(2kb)^2+(a^2+b^2-k^2)^2=(a^2+b^2+k^2)^2 ，a、b、k三个独立变量可取任意正整数。

例如， (a,b,k)=(1,1,1) 时能得到 2^2+2^2+1^2=3^2 ；取(3,2,1) 时能得到6^2+4^2+12^2=14^2 ，可继续化简为 3^2+2^2+6^2=7^2 ；取(4,2,1) 时能得到8^2+4^2+19^2=21^2；取(4,2,3) 时能得到24^2+12^2+11^2=29^2；取(2,2,3) 时能得到12^2+12^2+1^2=17^2；取(2,2,1) 时能得到4^2+4^2+7^2=9^2等。

性质：1.此公式中a与b地位完全对等；

2.左边已经有了两个偶数，为了避免剩下的两个也是偶数，a、b、k中必须有1或3个奇数。

注意到这个公式无法直接生成勾股数嵌套的最简例子 3^2+4^2+12^2=13^2 ，因为13、7这些数无法天津婚纱影楼写成三正整数平方和，只能由(3,4,1)生成它的两倍式 6^2+8^2+24^2=26^2 ，因此这个公式还是有些粗糙，可能不是最终的通用公式，但已经可以用一下了。

3.(a,b,k)的轮换能产生三种不同的安硕信息股票三2003非典平方和，

例(5,3,1)(5,1,3)(3,1,5)轮换能导出 3hmd5^2=10^2+6^2+33^2=30^2+6^2+17^2=30^2+10^2+15^2 ；

(6,2,1)(6,1,2)(2,1,6)轮换能导出 41^2=12^2+4^2+39^2=24^2+4^2+33^2=24^2+12^2+31^2 。

除了上边说的方法外，网络上和一些教材^{[1]里经常黑色幽默电影用圆与直线交点法来构造勾股数。}

a^2+b^2=c^2 的整数解可视为圆 x^2+y^2=c^2 上latest的整数坐标点，已知圆上已经有4个整数点 (0,c) 、 (0,-c) 、 (-c,0) 、 (c,0) 了，如果还存在其他整数点 (x,y) 的话，连接两个整数点的直线的斜率肯定是有理数。

我们连接 (x,y) 跟 (-c,0) ，对应的直线方程是 y=\frac{m}{n}(x+c), \,\,\,\{m,n\}\in Z ，联立圆跟直线的方程来找交点，

\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=c^2\\y=\frac{m}{n}(x+c) \end{matrix} \right. ，能直接解出 \left\{\begin{matrix}x=\frac{ n^2-m^2}{m^2+n^2}c\\y=\frac{2 m n}{m^2+n^2}c \end{matrix} \r侵犯商标权ight. ，令 c=k(m^2+n^2) ，消新东方考研怎么样去分母，就得到了勾股数公式的通解 \left\{\begin{matrix} x=k(n^2-m^2)\\ y=2 k m n\\ c=k(m^2+n^2) \end{matrix}\right. 。

同理，求解其他一些类似的方程时也能用这个方法。例

\bulle天堂之吻动漫t 求a^2+kb^2=c^2的整数解时，联立\left\{\begin{matrix}x^2+ky^2=c^2\\y=\frac{m}{n}(x+c) \end{matrix} \right. ，能直接解出 \left\{\begin{matrix}x=\frac{n夏天英文单词^2-k m^2}{k m^2+n^2}c\\y=\frac{2 m n}{绿松石多少钱一克k m^2+n^2}c \end{matrix} \right. ，令 c=l(km^2+n^2) ，消去分母，得到的最终的解是 \left\{\begin{matrix} x=l(n^2-km^2)\\ y=2 kl m n\\ c=l(km^2+n^2) \end{matrix}\right. 。

\bullet 求a^2+b^2+c^2=d^2的整数舒尔麦克风解时，联立\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=d^2\\y=\frac{l}{n}(x+d) \\ z=\frac{m}{n}(x+d) \end{matrix} \right. ，能解出黄植诚 \left\{\begin{matrix} x=\frac{n^2- l^2-m^2}{l^2+m^2+n^2}d\\ y=\frac{2 l n}{l^2+m^2+n^2}d\\ z=\frac{2 m n}{l^2+m^2+n^2}公测是什么意思d \end{matrix} \right. ，令 d=k(l^2+m^2+n^2) ，最终的解是 \left\{\begin动感单车{matrix} x=k({n^2- l^2-m^2})\\ y={2k l n}\\ z={2 k m n}\\ d=k(l^2+m^2+n^2)女人缘 \end{matrix} \right. ，与我们用前一种方法求出的一样，教材里说交点法求出的一定是通解，因此这个公式烙饼卷带鱼虽然不完美，但已经是通解了，这个结果也见于MathWorld。

\bullet 求a^2+k_1b^2+k_2c^2=d^2的整数解时，联立\left\{\begin{matrix}x^2+k_1y^2+k_2z^2=d^2\\y=\frac{l}{n}(x+d) \\ z=\frac{m}{n}(x+d) \end{matrix} \right. ，能解出 \left\{\begin{matrix} x=\frac{n^2-k_1 l^2-k_2 m^2}{k_1 l^2+k_2 m^2+n^2}d,\\ y= \frac{2 l n}{k_1 l^2+k_2 m^2+n^2}d,\\ z= \frac{2 m n}{k_1 l^2+k_2 m^2+n^2}d \end{matrix} \right. ，令 d=p(k_1 l^2+k_2 m^2+n^2) ，最终的解是 \left\{\begin{matrix} x=p({n^2-k_1 l^2-k_2 m^2})\\ y= {2 l np}\\ z= {2 m np}\\ d=p(k_1 l^2+k_2 m^2+n^2) \end{matrix} \right. 。