【知识仓库】卡诺循环

萨迪·卡诺 (Sadi Carnot) 在1824年设计了一个假想中的理想热机，在基于可逆过西北自驾游程的条件下做到了 T_H,\ T_C 之间效率最高的变换。

回忆一下热平衡和可逆过程

因为要保证可逆，

如果有热量流动，不能有温度变化（否则就不在热平衡了）如果有温度变化，就不能有热量流动（上面那条反过来）

我们这里用另一种方式备注一下可逆过程：

可逆过程会保持热平衡不变以及不改变熵值

关于这句话的北京美国签证理解我们会慢慢体会到。这里我们只用理解通过上面两条，我们的卡诺循环 (The Carnot Cycle)两年工作经验 必须是由恒温和绝热过程组成的。

1 -> 2 是恒温膨胀，温度 T_H 不变，从高温热库吸收热量 Q_H 2 -> 3 是绝热膨胀，不吸收热量，温度降到 T_C 3 -> 4 是恒温收缩，温度 T_C 不变，向低温热库释放热量 Q_C 4 -> 1 是绝热收缩，不释放热量，温度上升至 T_H （回到起始物态）

从压力-体积图的图像中，我们能看出来总做功是循环包围的面积。

通过考虑理想气体，我们还可以将值量化地算出来。

恒温膨胀

物态从 p_1,\ V_1,\ T_H 到 p_2,\ V_2,\ T_H 。

做功： W_{1 \rightarrow 2} = \int_{V_1}^{V_2} p\ dV = nRT_H \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = nRT_H \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

内能： 煤油的成分\Delta U_{1 \rightarrow 2} = 0

热量： Q_H = Q_{1 \rightarrow 2} = W_{1 \rightarrow 2} = nRT_H \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)

绝热膨胀

物态从 p_2,\ V_2,\ T_H 到 p_3,\ V_3,\ T_C 。

做功： W_{2 \rightarrow 3} = - \frac{nR}{\gamma -1} (T_C - T_H)

热量： Q_{2 \rightarrow 3} = 0

内能： \Delta U_{2 \rightarrow 3} = -W_{2 \rightarrow 3} = \frac{nR}{\gamma -1} (T_C - T_H) = n C_V (T_C - T_H)

恒温收缩

物态从 p_3,\ V_3,\ T_C 到 p_4,\ 死亡代码V_4,\ T_C 。

做功： W牛奶咖啡_{3 \rightarrow 4} = \int_{V_3}^{V_4} p\ dV = nRT_C \int_{V_3}^{V_4} \frac{dV}{V} = nRT_C \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right)

内能： \Delta U_{3 \rightarrow 4} = 0

热量： Q_C = Q_{3 \rightarrow 4} = W_{3 \rightarrow 4} = nRT_C \ln \left(\frac{V_4}{V_3}\right)

绝热收缩

物态从 p_4,\ V_4,\ T_C 到 p_1,\ V_1,\ T_H 。

做功： W_{4 \rightarrow 1} = - \frac{nR}{\gamma -1} (T_H - T_C)

热量： Q_{4 \rightarrow 1} = 0

内能： \Delta U_{4 \rightarrow 1} = -W_{4 \rightarrow 1} = \frac{nR}{\gamma -1} (T_H - T_C) = n C_V (T_H - T_C)

将所有内能变化加起来

\Delt电源线a U = \Delta U _{1 \rightarrow 2} + \Delta U _{2 \rightarrow 3} + \Delta U _{3 \rightarrow 4} + \Delta U _{4 \rightarrow 1} = 0

而总的做功也就等于总的热量。

通过两段绝热过程，我们怪兽星球可以得到一个有用的关系式

T_H V_2^{\gamma -1} = T_C V_3^{\gamma -1} \\ T_H V_1^{\gamma -1} = T_C V_4^{\gamma -1} \\ \Rightarrow \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4} \\ \Rightarrow V_1 V_3 = V_2V_4

有了它我们就可以得到做功的值了，先算下热量值

Q_{net} = Q_H + Q_C = nRT_H \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) + nRT_C \ln \lef利韩t(\frac{V_4}{V_3}\right) = nR(T_H - T_C) \ln \left(\frac{V_crf2}{V_1}\right)

而做功为

建筑消防设施W_{net} = W_{1 \rightarrow 2} + W_{2 \rightarrow 3} + W_{3 \rightarrow 4} + W_{4 \rightarrow 1}

我们也知道

W_{2 \rightarrow 3} = - W_{4 \rightarrow 1} \\ W_{1 \rightarrow 2} = Q_H\\ W_{3 \rightarrow 4} = Q_C \\ \Right魔女大战arrow W_{net} = nR(T_H - T_C) \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)

卡诺引擎的效率

谈论卡诺引擎的效率前，我们先来给效率一个定义

\vare计算机学报psilon = \frac{W_{net}}{Q_H}

而对于我们之前说的卡诺循环而言

W_{net} = Q_{net} = Q_H + Q_C = |Q_H| - |Q_C|

\Rightarrow \varepsilon = \frac{ |Q_H| - |Q_C|}{|Q_H|} = 1 - \left|\frac{Q_C}{Q_H}\right|

而上面我们也对热量做过计算，代进来就好

\Rightarrow \varepsilon = 1 - \left|\frac{Q_C}{Q_H}\right| =1 - \left|\frac{nRT_C \ln 世界纪录认证\left(\frac{V_4}{V_3}\right) }{nRT_H \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}\right|

再次利用 \frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_4}

\Rightarrow \varepsilon = 1 -\frac{T_C}{T_H}

由此看来，对于卡诺引擎而言，其效率只取决于两个热库之间的温差。

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我们也能从中看出当 T_C \rightarrow 0 时， \varepsilon \rightarrow 1 。但是 T_C \rightarrow 0 是一件不可能的事，这是热力学第三定律，下一篇会着重讲一讲。

卡诺循环在现实中生活中并不存在，最接近于卡诺循环的生活案例就是飓风现象了。我们之后会看到在两个温度之间大闸蟹吃法，卡诺循环是效率最高的引擎系统了。一切人造系统的效率都将小于卡诺循环的效率。

开尔文温度温标 (Kelvin Thermodynamic Temperature Scale)

我们在之前就介绍了开尔文温董承标以及它与理想气体公式的关联。这里是另一个视角。当我们考虑卡诺引擎在两个温度之间传递热量时，我们需要测量相对于一个参考温度 ，T_r ，的温度， T ，这时，

\frac{T}{T_r} = - \frac{Q}{Q_r}

可以看出，这是一个线性的等比例关系，而且只需要一个参照点。（可以对比一下摄氏度来理解）

T = \frac{100 (X - X_{冰})}{X_{蒸汽} - X_{冰}} \space^\circ C

而卡尔文温标则是

T= - \frac{Q}{Q_r} T_r\ K

卡诺制冷机 (The Carnot Refrigerator)

循环有一个有趣的做法。上面提到的卡诺引擎的卡诺循环 ( 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1 ) 是从外界吸热，气体做功。而如果整个循环反过来跑 ( 1 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1) 则就是外界做功，气体吸热了。这样我们就可以从一个温度低的热库 （也就是我们的制冷机部分）吸取热量给到温度高的热库。

通过之前对热力第二定律的了解，想必你也知道，这个过程是必须做功的。

这里我们仿造效率再定义一个值，投注比例即制冷机的表现系数 (Coefficient of Performance)

k = \frac{|Q_C|}{|Q_H| - |Q_C|} = \frac{T_C}{T_H - T_C}

这个反过来的卡诺循环，如果我们考虑温度低的热库所得到的就是制冷机。反过来，如果我们考虑的是温度高的热库，我们就得到了一个热泵 (Heat Pump)。我们同样可以得到热泵的表现系数

k = \frac{|Q_H|}{|Q_H| - |Q_C|} = \frac{T_H}{T_H - T_C}

以上的所有讨论都是建立在理想上的可逆过程，那么真实的引擎与我们理想的情况到底差多远？

真实的引擎

不可能消除摩擦所处理的物质不可能是理想气体过程不可逆也不可能是一个封闭系统

那么学习卡诺循环的意义只在于一个理想上限吗？其实也不止于此授信风险，任何可逆过程都可以被看作很多个卡诺循环组成，而具体数量不限。（之后会看一些其他引擎，例如奥托循环）

卡诺定理 (Carnot's Theorem)

所谓的卡诺定理就是我们之前看到的一个称述

在两个温度之间，卡诺循环是效率最高的引擎系统了

为了证明这个定理，我们可以使用反证法 (Proof By Contradiction)

先假设有一个不可逆的引擎，但是有高于卡诺引擎的效率。将这个引擎与卡诺引擎相连。这个新引擎从温度高的热库吸收热量， Q_{HN} ，传递到温度低的热库， Q_{CN} ，并做功 W_{N} ；卡诺引擎则从温度低的热库吸收热量， Q_{CC}，传递到温度高的热库， Q_{HC} ，也就是一个卡诺制冷机，并由新引擎对它做功, W_C 。

因为我们让新引擎对卡诺引擎做功， W_N = W_C ，因此我们也可以把它们两考虑成一个系统，这个新系统不对外做功。我们假设合成的系统，从温度低的热库吸收热量 Q_{CC} - Q_{CN} ，传递热量到温度高的热库 Q_{HC} - Q_{HN} 。

我们的假设是新引擎效率更高，所以

\frac{W_N}{Q_{HN}} > \frac{W_C}{Q_{HC}}

但是 W_N = W_C ，

\Rightarrow Q_{HN} < Q_{HC} \Rightarrow Q_{HC} - Q_{HN} > 0

叶海棠根据热力学第一定律

W_C=Q_{HC} - Q_{CC} \\ W_N=Q_{HN} - Q_{CN}

\Rightarrow Q_{HC} - Q_{CC} = Q_{HN} - Q_{CN} \\ \Rightarrow Q_{HC} - Q_{HN} = Q_{CC}- Q_{CN} >0

可以看出我们的合成系统确实如我们假设的一般，从温度低的热库吸收热量传递热量到温度高的热库。但它不做功啊！这就违背了热力学第二定律。所以一开始的假设无效：不可能存在一个有高于卡诺引擎效率的不可逆的引擎。违背卡诺定理也就是违背热力学定律。