“病态”的Weierstrass函数——从级数到不可微性的证明

（从下列问题本人的回答整理而来）

1. 介绍及预备知识

Weierstrass函数是形如 f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^台湾人n\pi x) ^{[1]（ a,b 满足某些条件）的胆矾的化学式一类函数. 这是一个由函数项级数定义出的处处连续但又处处不可导的函数.什么牌子化妆品好 本文对这类函数进行一个初步的介绍，并（在数学分析的角度）证明其连续性、一致连续白杨导弹针织毛衫性和处处不可微性. 考虑到读者的水平不同（如有的读者学习的高等数学／微积分，未学到函数项级数等），因此我们先给出一定量的必要的预备知识（这里假设读者有基本的分析学概念，如极限、连续和一致360度幻影成像连续），不感兴趣的读者可以跳转至第二节的不可微性的证明.}

数项级数：

1.定义：一系列无穷多个数 u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots 写成和式 \sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots 就称为无穷级数. （由于每一项都是实数，所以称为数项级数）

2.收敛与发散：若级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n 的部分和数列 \{S_n=\sum_{k=1}^{n}u_k\} 收敛于有限值 S ，则称级数收敛，记为 \sum_{n=1}^{\infty}u_n＝S ，否则称级数发散.

函数项级数：

1.定义：设 u_n(x) 是定义在实数集 X 上的函数，我们称 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots 是函数项级数.

2.（逐点／点态）收敛：如果对 x_0\in X ，数项级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots+u_n(x_0)+\cdots 收敛，我们就说函数项级数在 x_0 点收敛，否则就说函数项级数在 x_0 点发散. 如果对 \forall x\in X 有 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 收敛，就说函数项级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 X 上（逐点／点态）收敛. 这时，对 \forall x\in X ，级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 有和，记此和为 S(x) ，可见它是 X 上的函数（一般称和函数）.

一致收敛：

1.引入的原因：

当函数项级数的每一项具有足够好的性质（例如可积、连续、可微等）时，我们想问：和函数是否保持原有性质？对于有限项函数的和来说是对的，但是对于无限项的函数项级数来说却是不一定的. 例如： \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=x+(x^2-x)+(x^3-x^2)+\cdots ，它的每一项都在 [0,1] 上连续（还可导），其部分和为 S_n(x)=x^n . 很明显有

\lim_{n\to\infty}S_n(x)=S(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&0\le x<1,\\ 1,&x=1. \end{array}\right.

这个级数的和 S(x) 在 x=1 不连续（也不可导），因此它不是 [0,1] 上的连续函数.

这个例子表明，函数的某些性质在区间的某点的邻域内遭到了破坏，所以我们要解决这个问题，就要引入一致收敛性.

2.定义：以下两种定义是等价的.

（1）定义1：设有函数列 \{S_n(x)\} （函数项级数的部分和是一种特殊情况）. 若对 \forall\varepsilon>0 ，存在只依赖于 \varepsilon 的正整数 N(\varepsilon) ，使得 n>N(\varepsilon) 时，不等式 |S_n(x)-S(x)|<\varepsilon （对函数项级数的情况可以写成 |r_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{\infty}u_k(x)|<\varepsilon ）对 \forall x\in X 都成立，则称 \{S_n(x)\} 在 X 上一致收敛于 S(x) .

（2）定义2：设 ||S_n-S||=\sup_{x\in X}|S_n(x)-S(x)| ，如果 \lim_{n\to\infty}||S_n-S||=0 ，就称\{S_n(x)\} 在 X 上一致收敛于 S(x) .

3.性质：

（1）和的连续性：若在 [a,b] 上级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 的每一项 u_n(x) 都连续，且级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 一致收敛于 S(x) ，则 S(x) 也在 [a,b] 上连续. （证明略）

（2）逐项求积：（这里用不到，略）

（3）逐项微分：若在 [a,b] 上， \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 的每一项 u_n(x) 都具有连续导数 u'_n(x) ，且 \sum_{n=1}^{\infty}u'_n(x) 一致收敛于 \sigma(x) ，又 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 收敛于 S(x) ，则 S'(x)=\sigma(x) ，亦即 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u_n(x) ，且 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 一致收敛于 S(x) . （证明略）

4.nba假球判别法（部分）：

Weierstrass判别法：若对充分大的 n ，恒有实数 a_n ，使得 |u_n(x)|\le a_n 对 \forall x\in X 都成立，并且数项级数 \sum a_n 收敛，则 \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) 在 X 上一致收敛. （证明不难，利用一致收敛的 \mathbf{Cauchy} 充要条件即可，这里留做习题. ）

2.有关证明

有了以上的预备知识后，我们就能做出证明了.

（以下证明是从参考书^{[2]上搬来的：）}

第一个无处可微的连续函数的例子是由Weierstrass给出的:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x) ,

此处 0<b<1 , a 为一正奇数. 此级数在任何区间上都一致收敛^{[3]，所以 f 处处连续[4]（作者注：显然这是一个周期函数， [-1,谢京1] 是它的一个周期，根据 \mathbf{Cantor} 定理，它在 [-1,1] 上一致连续，又因为它是周期函数，显然在 \mathbb{R} 上一致连续）.另一方面，若 ab>1 ，则由逐项微分得到的级数发散. 这个事实本身并没有证明 f 不可微，但却提供了这方面的可能性. 我们将要证明：若 ab>1+\frac{3}{2}bl漫吧\pi ，则在任何点 x 处，函数 f 都没有有限的导数.}

首先，我们有

\frac{f(x+h)-f(x)}生活小游戏{h}=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\frac{\cos\{a^n\pi(x+h)\}-\cos(a^n\pi x)}{h}=(\sum_{n=0}^{m-1}+\sum_{n=m}^{\infty})\cdots=S_roam+R_萌萌哒天团m .

因为

|\cos\{a^n\pi(x+h)\}-\cos(a^n\pi x)|=|a^n\pi h\sin\{a^n\pi(x+\theta h)\}|\le a^n\pi|h| ,

其中 0<\theta<1 . 所以

|S_m|\le\sum_{n=0}^{m-1}\pi a^nb^n=\pi \frac{a^mb^m-1}{ab-1}<\pi\frac{a^mb^m}{ab-1} .

其次，我们给 h 以特定的数值，而为 R_m 求一下限. 为此，记 a^mx=\alpha_m+\zeta_m ，

此处 \alpha_m 为一整数，而 -\frac{1}程益中{2}\le\zeta_m<\frac{1}{2} . 命 h=\frac{1-\zeta_m}{a^m} ，

则有 0<h\le\frac{3}{2a^m} 及 a^n\pi(x+h)=a^{n-m}a^m\pi(x+h)=a^{n-m}\pi(\alpha三面翻广告_m+1) .

因为 a 是奇数，所以

\cos\{a^n\pi(x+h)\}=\cos\{a^{n-m}\pi(\alpha_m+1)\}=(-1)^{\alpha_m+1} .

又因

\cos(a^n\pi x)=\cos\{a^{n-m}\pi(\alpha_m+\zeta_m)\} =\cos(a^{n-m}\pi\alpha_m)\cos(a^{n-m}\pi\zeta_m) =(-1)^{\alpha_m}\cos(a^{n-m}\pi\zeta_m)，

所以 R_m=\frac{(-1)^{\alpha_m+1}}{h}\sum_{n=0}^{\infty}b^n\{1+\cos(a^{n-m}\pi\zeta_m)\} .

由于上式右端的级数的每一项都是正的，故若只取第一项，便得 |R_m|>\frac{b^m}{|h|}>\frac{2}{3}a^mb^m .

于是 |\frac{f(x+h)-f(x)}{南京美食攻略h}|\ge|R_m|-|S_m|>(\frac{2}{3}-\frac{\pi}{ab-1})a^mb^m .

若 ab>1+\frac{3}{2}\pi ，则括号内的因子取正值；故当 m\to\infty,h\to0 时，不等式的右方趋向无穷. 所以 f 在点 x 处不可微. 由于 x 是任取的，因而 f 无处可杭州地铁4号线微. \blacksquare

（给个赞呗～）

注：

（1）柳孟辉^{[5]只用了函数、连续性与可微性等几个必要的概念而构造了一个无处可微的连续函数. （作者注：有文献[6]指出，柳孟辉构造的函数并非处处连续. 这里感谢 @忘忧北萱草 的指正.）}

（2）Faber^{[7]做出了一个无处存在单侧电影名称导数（有限或无穷）的连续函数.}

//————————————（以上是原书内容，以下为作者注）——————————

（3）其他处处连续但处处不可导的函数的例子，请参考：

（4）一个具体的类Weierstrass函数（ b=\frac{1}{4},a=32 ）不可微的证明，请参考：

（5）有关不可微条件的弱化，请参考：

以及

工作居住证

参考^Wikipedia. Weierstrass Function. en.wikipedia/wiki/Weierstrass_function^汪林. 《数学分析中的问题和反例》:147.^这可由Weierstrass判别法说明. (作者注)^利用和的连续性. (作者注)^柳孟辉. 一个简单的不可微分的连续函数, 数学学报, 4(1954),479-481.^苑金臣.谈一个错例[J].工科数学,1991(Z1):200. lin图标搜索k.zhihu/?target=http%3A//wwwki/Article/CJFDTotal-GKSX1991Z1055.htm^Faber, G. Über stet明星相ige Funktionen, Math Annglen, 69(1970), 372-443.