高等数学——导数的定义和常见导数

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导数是python基础教程微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老机票返点师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线y=f(x)，我们想要求出这个曲线在某个点M的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，\angle NMT在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为\tan\phi，其中\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}.

当N逼近于M时：

\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \\

我们令\Delta x = x - x_0，所以：

\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\

此时\tan\phi的结果就是函数在xgfsoso_0处导数的值，上面这个方法大家应该也高筋面粉和低筋面粉有什么区别都超级搜索引擎不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数y=f(x)在点x_0处的邻域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量\Delta x(x_0 + \Delta x仍然在x_0的邻域内)，相应的函数取得增量\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)。如果\frac{\Delta y}{\Delta x}在人际网络\Delta x \to 0时的极限存在，称为函数y=f(x)在点x_0处可导。它的导数写成f'(x_0)

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\

f'(x_0)也可以记成\displaystyle\frac{dy}{dx}，或者\displaystyle\frac{df(x)}{dx}。

如果函数y=f(x)在开区间I内嘎达梅林歌词可导，说明对于任意x \in I，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a。那么，对于某个正数\epsilon，对于任何正数\delta，都有0 < |x - x_0| < \delta时，|f(x) - a| \geq \epsilon。那么就称为x \to x_0时，f(x)的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当\Delta x \to 0时:

\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a \\

简历写法

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近x_0还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数f(x)在x_0点可导的充分必要条件就是，函数在x_0处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根万科物业怎么样据导数的定义，一个点的导数存在的定义库布里克就是\frac{\Delta y}{\Delta x}在\Delta x \to 0时存在。即：

\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) \\

我们把极限符号去掉：

\frac{\Delta y}{\菁优网Delta x}=f'(x) + a \\

这里的a是\Delta \to 0时小米线刷的无穷小，我们队上式两边同时乘上\Delta x，可以得到：

\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x \\

由于a和\Delta x都是无穷小，并且f'(x)存在，所以\Delta y也是无穷小。而连续的定义就是当\Delta x \to 0时，\Delta y也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

f(x) = |x| \\

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：f(x)在x=0处不可导。

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\begin{aligned} f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned} \\

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由于f(x)在x=0处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以f(x)在x=0处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意厂房投资思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

f(x)=C，C是常数。f'(x)=0f(x)=x^n, f'(x)=nx^{n-1}f(x)=\sin x，f&#亚当与夏娃39;(x)=\cos xf(x)=\cos x，f'(x)=怎么唱歌-\sin xf(x)=a^x， f'(x)=a^x\ln af(x)=\log_ax，f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq杜太超 0)f(x)=\ln x， f'(x)=\f三峡好人影评rac{1}{x}

当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的绩点怎么算内容。

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