（广义）全微分方程

本篇来源于《微分方程（解法和解）》^{[1]（E·卡姆克）中15.1全微分方程一节。当然，原文中没有“广义”一词，因此在标题上加了一个括号。}

原文极其简洁。甚至几行便可引用完这一节的全文：

全微分方程。微分方程F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=f(x)\tag{1}\\ 称为全2008金融危机微分方程，如果存在着函数 \varPhi (x,u_0,u_1,\cdots ,u_{n-1}) ，使得F(x,u_0,\cdots ,u_n)=\varPhi_x+u_1\varPhi_{u_0}+\cdots+u_n\varPhi_{u_{n-1}}\\ 对于变量 x,u_0,\cdots ,u_n 成为恒等。因为某一 n 次可微函数 \varphi (x) ，当且仅当\varPhi(x,\varphi,\varphi',\cdots,\varphi^{(n-1)})=\int f(x)\mathrm dx\\ 时，是方程 (1) 的解，所以全微分方程总可以化为较低阶的方程。如果 F(x,u_0,\cdots ,u_n) 具有直到 n 阶为止的连续偏导数，并且如果要求 \varPhi 具有直到二阶为止的连续偏导数，则使得微分方程 (1) 是全微分方程的条件如下：假设\begin{align} \Delta \varPhi=\varPhi_x+u_1\varPhi_{u_0}+\cdots +u_n\varPhi_{u_{n-1}}\\[2ex色tu] \Delta_0F=F_{u_n}\quad \Delta_\nu F=F_{u_{n-\nu}}-\Delta\Delta_{\nu-1}F; \end{align}\\ 这时，函数 \Delta_\nu F 应当与 u_n 无关，而 \Delta _n F 应当等于 0 ，特别是， u_n 只能线性地包含在 F 中。

这是老工具书类型教材一贯的表述语言…但是去稍微查找一下有关类似全微分方程的文献，却没能找到这样的。能翻到的都是高阶变系数线性的“全微分方程”，有点失望。

于是本篇即为对以上内容的解读，以及尝试按照二元全微分方程的路线构建出部分多元（其实是三元）全微分方程的分项组合法。不能保证完全正确，推导证明过程很可能是有很大漏洞的，不过方法应该是“可用”的/躺。

当尝试使用这些方法去解一些具体的问题（二阶微分方程）的时候，骤然发现这似乎并没有什么用，因为有用的高阶方程都已经命上名了…而且遇见这样一个残破的轮子肯定也是前人（dalao）尝试造过然后摇摇头说造不了的。于是本文也仅供君一乐/叹气。

正文

引子

首先回顾一下二元的全微分方程。此时的全微分方程有一个更广泛的名字：恰当微分方程。其形式为：

M(x,y)\text{d}x+N(x,y)\text{d}y=0\tag {2}\\

这样的形式可认为是由M(x,y)+N(x,y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=0\tag{3}\\

认为 x,y 二者“平权”，乘上 \text{d}x 而来。由于 (2) 可视为全微分的形式（如果有 \text{d}u=M\text{d}x+N\text{d}y ）。因此对于二元的恰当微分方程总以此形式进行处理。

但是实际上称一个方程是“一阶微分方程”，依旧是以 (3) 的形式判定。可见， (2) 形式的全微分方程是不易按照阶数去推广的：一个二阶的全微分方程按 (2) 书写是怎样的形式？一阶微分方程可以有\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x=\text{d}y 的书写表达，但二阶却万不可出现 \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}\text{d}x=\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x} 。

而对于(3) ，很简单的就可以进行推广。一个稍有限制的 n 阶微分方程总认为可有形式：

A_0+A_1\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+\cdots+A_n\frac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}=0\tag{4}\\

其中 A_i 为函数 A_i(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}) ，而不能出现 y^{(n)} 本身（实际上这里是全微分方程的第一个判定了）。其中，我们可以将 A_i\frac{\text{d}^iy}{\text{d}x^i} （包括首项 A_0 ）这样的项命名为“旗标项”。后面可以看见，旗标项其实是理想化的产物。

当此微分方程其满足一定形式的时候，是全微分方程。先考察方程 (3) 。显然地，对于某一函数 u(x,y) ，若仅认为其关于 x 为自变量，则对 x 求导：

\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\text{d}y}{\text{d} x}\\

若系数对应相等：

\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y)\qquad\frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y)\\

则方程 (3) 即为：

\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=0\\

这样的表述和以全微分的表述是等价的。但是很明显这样的表述可以轻易的推广到高阶：

对于稍有限制的 n 阶微分方程 (4) ，若要成为全微分方程，则这样的形式必有：

\frac{\partial \varPhi}{\partial x}=A_0\qquad \frac{\partial \varPhi}{\partial y^{(i-1)}}=A_{i}\ \ (i=1,2,\cdots ,n)\\

其中， \varPhi 为函数 \varPhi(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)}) 。于是方程化为：

\frac{\partial \varPhi}{\partial x}+\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\frac{\text{d} y}{\text{d} x}+\cdots +\frac{\partial \varPhi}{\partial y^{(n-1)}}\frac{\text{d}^n y}{\text{d} x^n}=\frac{\text{d}\varPhi}{\text{d}x}=0\ \Rightarrow\ \varPhi=C_1\\

由于 \varPhi 中的最高阶导数是 y^{(n-1)} ，于是方程即降低一阶。这是容易理解的，而且从二元的全微分方程表达式就可发现，系数 M,N 都只能是关于 x,y 的，而不能出现 y' 。因此全微分方程的第一个判定条件即为：

y^{(n)} 只能线性的出现在方程中。

以上的论天津户口述都是理想的，而实际情况是：除了能明显的看出线性 y^{(n)} 的项，其他的都糊作一团。

如： (x+y)y''+y'^2-y'=0

y'' 以外的项是理解为 (y'-1)\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+0 还是 y'\frac{\text{d}y}{\text{d}x}-y' 呢？甚至理解成 0·\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+(y'^2-y') 也未尝不可。

每一项 A_i 都可以和各旗标项 \frac{\text{d}^\nu y}{\text{d}x^\nu} 一样含有相同的 y^{(\nu)} ，这使得方程表示各阶导的旗标项其实是区分不出来的。因此方程实际上是：

\mathscr{F}(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})+A_n\frac{\text{d}^ny}{\text{d}x^n}=0\\

不过这码事先放一放。从后续求解的过程来看，似乎这并不影响。唯一影响大的就是全微分方程的判定问题。

首先先处理一下符号使用。

符号

《微分方程（解法和解）》一书中为了究清变量之间的关系，刻意区分出“使全微分方程成立”的变量 u_i 和“若是全微分方程时的解” \varphi(x) 。除了严谨的考虑，或许也是由于高阶微分符号实在是不能随意玩弄。

但是为了简化书写与理解，特别是能启发性的处理函数之间的关系，还是得玩弄一下符号（）。

原文中所用 u_i 实际上是和 y^{(i)} 是等价的，不妨就以原本的方式书写而不再设 u_i 出来。但是此时需要注意，在求导形式下的 y^{(i)}=u_i 只是函数的一种表达，而非再视为 y 求 i 次导。简而言之，即将 y^{(i)} 视为一个整体。

这样的符号使用我们在前面已经用上了…即：

\varPhi(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})\qquad\frac{\partial \varPhi}{\partial y^{(i-1)}}\ \ (i=1,2,\cdots ,n)\\

其中的 y^{(i)} 都表示的是函数符号。

接下来就是剩下的部分： \frac{\text{d}^iy}{\text{d}x^i} 。首先显然是不能有吃醋怎么办 \frac{\text{d}^iy}{\text{d}x^i}\text{d}x=\frac{\text{d}^iy}{\text{d}x^{i-1}} 的操作的，但是为了简化，很有必要从中“写出”一个单独的 \text{d}x 。考虑到上面符号的整体性，我们可以如此书写：

\frac{\text{d}^iy}{\text{d}x^i}=\frac{\text{d}y^{(i-1)}}{\text{d}x}\\

于是整个方程可写为：

\frac{\partial \varPhi}{\partial x}+\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\frac{\text{d} y}{\text{d} x}+\cdots +\frac{\partial \varPhi}{\partial y^{(n-1)}}\frac{\text{d} y^{(n-1)}}{\text{d} x}=0\\

这样就可以愉悦地化成熟悉的形式：

\frac{\partial \varPhi}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\text{d} y+\cdots +\frac{\partial \varPhi}{\partial y^{(n-1)}}\text{d} y^{(n-1)}=0\\

但是如前所见，对于一个具体的方程，实际上我们只能写出：

\mathscr{F}(x,y,y移动硬盘数据线9;,\cdots,y^{(n-1)})\text{d}x+A_n\text{d}y^{(n-1)}=0\\

我们写成微分式正是为了能够以简明的方式使用分项组合法以简化求解，但是左边糊成一团的部分却正会在后面分项组合法求解时带来麻烦。这一对矛盾只能在求解时归纳出一些较为泛用的“处理原则”，以技术性的归纳来解决了。

这样下来似乎是绕了一大圈，最后得到了一个或许可以直接看出的结果。但是这样的过程是必要的，有了以上符号的规定才能不会出现“似乎可以这样变换”而又担心到底能不能做这样变换。后面对糊成一团部分的分析和求解，也会发现像二元恰当微分方程那样去定义高阶全微分方程的不可能的。

另外后面的内容都以二阶微分方程讲述。（或许）高阶同理。

基础的求解方法

现在已经规定好了符号的使用，暂且抛弃全微分方程的判定问题以及对方程糊成一团的担忧。先尝试以最基本的方式求解一个全微分方程。

如果判定了一个方程是全微分方程，那么总是能通过这样的方法求解的：

例： (x+y)y''+y'^2-y'=0 是全微分方程，试求解。

我们需要找到一个函数 \varPhi(x,y,y') 使得方程化为：

\frac{\text{d}\varPhi}{\text{d}x}=\frac{\partial \varPhi}{\partial x}+\frac{\partial \varPhi}{\partial y}y'+\frac{\partial \varPhi}{\partial y'}y''=0\\

那么很显然的，关注最高阶的线性项，即得：

\begin{align} \fra兰花养殖c{\partial \varPhi}{\partial y'}&=x+y\\[2ex] \varPhi&=(x+y)y'+C_1(x,y) \end{align}\\

于是可以消掉最高阶项，对于剩下的部分有：

\begin{align} \frac{\partial \varPhi}{\partial x}+\frac{\partial \varPhi}{\partial y}y'&=y'^2-y'\\ y'+\frac{\partial C_1}{\partial x}+y'^2+\frac{\partial C_1}{\partial y}y'&=y'^2-y'\\ \frac{\partial C_1}{\partial x}+\frac{\partial C_1}{\partial y}y'&=-2y' \end{align}\\

看上去是很巧的，又出现了最高阶项的对比：因为函数 C_1(x,y) 不含 y' 。于是：

C_1(x,y)=-2y+C_2(x)\\

接下来就是重复这一过程。消去最高阶项，剩下：

\begin{align} \frac{\text{d}C_2}{\text{d}x}&=0\\[1.5ex] C_2&=C \end{align}\\

于是最后求得的函数为：

\varPhi(x,y,y')=(x+y)y'-2y+C\\

则：

\frac{\text{d}\varPhi}{\text{d}x}=0\ \Rightarrow\ \varPhi=C'\Rightarrow(x+y)y'-2y+C=C'\\

常数项是可以合并的。后续求解略。

从整个求解过程可以发现，求解的思路是很清晰的，即不断的对比最高阶项的系数从而总能依不同的阶次求出整个函数。糊作一团的部分在基础的求解方法上完全不影响，因为并不需要区别出旗标项——求解的时候仅需关注最高阶项即可。

分项组合法

同样，先略过判定方法，看看用分项组合法应当如何求解方程。

马蜂窝攻略微分的线性性质使得可以分组分地求出全微分，再求和。这部分基础的内容在我之前的文章中有具体讲述。

但在此之前，先推广“积形式”的分项组合法。

如果函数 \varPhi(x,y,y') 有形式：

\varPhi=f(x)g(y)h(y')\\

求全微分就有：

\text{d}\varPhi=f'gh\text{d}x+fg'h\text{d}y+fgh'\text{d}y'\\

若将具有以下形式的微分 A'(a)\text{d}a 写成 \text{d}A(a) ，则：

\text{d}\varPhi=gh\text{d}f+gh\text{d}g+fg\text{d}h\\

反过来，如果微分式有形如上面等式右边不同变量函数 f(x),g(y),h(y') 的乘积形式，那么就有：

gh\text{d}f+gh\text{d}g+fg\text{d}h=\text{d}fgh\\

例：求 \frac{y'^2}{x}e^{2y}\text{d}x+2\ln x\text{e}^{2y}y'^2\text{d}y+2\ln x\text{e}^{2y}y'\text{d}y' 的全微分式。

将同微分变量的部分放到 \text{d} 后面：

\begin{align} \text{原式}&=\text{e}^{2y}·y'^2\text{d}\ln x+\ln x·y'^2\text{d}\text{e}^{2y}+\ln x·\text{e}^{2y}\text{d}y'^2\\[2ex] &=\text{d}\ln x·e^{2y}·y'^2 \end{align}\\

这样，我们便有了一个能极大简化分项组合法求解的方法。现求解上面的方程。

例：(x+y)y''+y'^2-y'=0 是全微分方程，试求解。

首先在方程两边乘上 \text{d}x ，方程化为：

(x+y)\text{d}y'+y'^2\text{d}x-y'\text{d}x=0\\

这样简单乘上的方式实际上就是前面所说的\small{\mathscr{F}(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})\text{d}x+A_n\text{d}y^{(n-1)}=0} ，这样肯定是不利于求解的。我们希望能尽量“散”地拆出更多的旗标项\small{\frac{\partial \varPhi}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\text{d} y+\cdots +\frac{\partial \varPhi}{\partial y^{(n-1)}}\text{d} y^{(n-1)}} 。

注意到，旗标项在变化时总会有：

\frac{\text{d}^iy}{\text{d}x^i}\text{d}x=\text{d}y^{(i-1)}\\

那么可以确立这样一个处理的原则：

如非必要，方程中不出现 \text{d}x 。

什么叫“如非必要”呢？比如在积法则中出现了有关 x 的项，那么此时的 \text{d}x 就是必要的了。这时就不能再以上面的方式消去 \text{d}x 。而以如 \text{男性保健e}^x\text{d}x=\text{d}\text{e}^x 这样的方式消去 \text{d}x 不属此列（这样的方式只是转化成了关于 x 的函数，而原则的方式完全消去了 x 这个变量）。

因此，对于要求解方程，注意到 y'^2\text{d}x=y'y'\text{d}x=y'\text{d}y ，有：

\begin{align} (x+y)\text{d}y'+y'\text{d}y-\text{d}y&=0\\[1.5ex] x\text{d}y'+y\text{d}y'+y'\text{d}y-\text{d}y&=0\\ \end{align}\\

很明显， -\text{d}y 是单个的，不需要处理了。 y\text{d}y'+y'\text{d}y 运用积法则就变成了 \text{d}yy' 。就剩下第一项需要处理了。既然是全微分方程，那么肯定能做，缺了什么就构造出来：

x\text{d}y'+y'\text{d}x-y'\text{d}x+y\text{d}y'+y'\text{d}y-\text{d}y=0\\

于是第一项和第二项就可以组合了（而且这样出现的 \text{d}x 是必要的）： \small{x\text{d}y'+y'\text{d}x=\text{d}xy'}

。多出一个第三项，但是可以转化掉： -y'\text{d}x=-\text{d}y 。方程变成：

\begin{align} x\text{d}y'+y'\text{d}x-\text{d}y+y\text{d}y'+y'\text{d}y-\text{d}y&=0\\[1.5ex] \text{d}xy'+\text{d}y'-2\text{d}y&=0\\[1.5ex] \text{d}[(x+y)y'-2y]&=0\\[1.5ex] (x+y)y'-2y&=C \end{align}\\

类似这样的转换总给人感到不安…总觉得需要很强技巧性的样子（如果更复杂的话）。在这糊作一团的部分要找到一点规律毕竟还是困难的。

全微分方程的判定

这部分和后面积分因子有一点关系。

如果旗标项是确实存在（存在肯定是可以客观存在的）、易于区分开的，那么我们当然希望能推广二元全微分方程的判定方法：对于方程

A_0\text{d}x+A_1\text{d}y+\cdots+A_n\text{d}y^{(n-1)}=0\\

当

\frac{\partial A_i}{\partial x_j}=\frac{\partial A_j}{\partial x_i}\qquad i\ne j\\

时是全微分方程（当然在此忽略了一些细节）。

但是非常遗憾的，我们并不能总是很先验地找到这样的旗标项。这就陷入了一个矛盾：

如果方程是全微分方程，那么我们确确实实可以化成能以分项组合法求解的、拥有完整的旗标项的形式来再一次验证这确实是全微分方程（这是显然的，但毫无意义）；但是在不知道这是全微分方程的情况下，我们不能先验地知道我们是否化成了完整的旗标项形式——因为即使是全微分方程，但是其表现为非完整旗标项的形式时也是可能验证失败的。

就如前面的例子：

方程 (x+y)y''+y'^2-y'=0 可直接写为：

(x+y)\text{d}y'+(y'^2-y')\text{d}x=0\\

不做任何变化，可直接视为两项。那么有：

\frac{\partial }{\partial x}(x+y)=1\ne 2y'-1=\frac{\partial }{\partial y'}(y'^2-y')\\

如果仅仅是这样验证的话，那我们就要局域网即时通讯判定这不是全微分方程了。但是若做一下变化，写成：

(x+y)\text{d}y'+(y'-1)\text{d}y=0\\

这样就有：

\frac{\partial }{\partial y}(x+y)=1=\frac{\partial }{美国东海岸\partial y'}(y'-1)\\

这便验证成全微分方程了。我们可以将“能以上述方法验证为全微分方程的方程形式”命名为“标准全微分式”。

在前面的求解中我们同时增加和减去一个项并做变形，同样是得到了标准全微分式（可直接求解则必为标准全微分式，这是显然的）。那么我们还能得到一个结论：标准全微分式不是唯一的，且标准全微分式也不一定是能直接求解的。（或许还能找到一些“在何种变化情况下保持标准全微分式不变”的结论。）

不过这依旧不能掩饰技术上的矛盾：我们验证失败的太阳系边缘时候不知道是否是因为自己还没变化到标准全微分式。

因此还有另外的、能够绕过判断标准全微分式、直面整个方程来判断的方法。亦即原书上所叙述的“标准”判定方法：

记符号 \Delta 为如下操作：

\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial z}{\partial y^{(i-1)}}y^{(i)}\\

则做如下递推：

F_0=\frac{\partial F}{\partial y^{(n)}}\qquad F_i=\frac{\partial F}{\partial y^{(n-1)}}-\Delta(F_{i-1})\\

若：F_i\ (i=0,1,\cdots,n) 都与 y^{(n)} 无关； F_n=0 ；最重要的是 y^{(n)} 线性地包含在 F 中。则方程为全微分方程。

在此改了一下序列递推的标号，因为原文中的标号 \Delta_i 实在是容易与计算符号 \Delta 混淆。因此改为类似于序列 a_n 的下标形式。

例：判断方程 (x+y)y''+y'^2-y'=0 是否为全微分方程。

易写出：

\begin{align} F_0&=\frac{\partial F}{\partial y''}=x+y\\[1.5ex] F_1&=\frac{\partial F}{\partial y'}-\Delta(x+y)=(2y'-1)搞笑的群名字-(1+y')=y'-2\\[1.5ex] F_2&=\frac{\partial F}{\partial y}-\Delta(y'-2)=y''-y''=0 \end{align}\\

的确满足以上三个条件，是全微分方程。

积分因子

这部分其实是没什么意义的…至少意义不大。因为如果假设一个积分因子去代入标准判定方法，那么接下来的计算是繁杂的，完全没有实用性。但是全微分方程存在的灵魂就是积分因子。

或许我们可以像二元全微分方程一样去分析一下如何求积分因子。但是这需要以标准全微分式的方程去计算——但是本来就不是全微分方程哪会有标准全微分式呢？因此我们不知道如何能化出所有的旗标项，我们只能将方程化成“或许是最接近标准全微分式”的样子来装模作样地分析一下积分因子。

这样（主观认为）“或许是最接近标准全微分式”的形式我们命名为“伪标准全微分式”，它包含了我们对其能通过乘上积分因子而变成全微分式的希望（大雾）。

假设方程确不是全微分方程，并且已经成了伪标准全微分式：

P(x,y,y')\text{d}x+Q(x,y,y')\text{d}y+R(x,y,y')\text{d}y'=0\\

考虑积分因子 \mu(x,y,y') ，则方程有：

\mu P\text{d}x+\mu Q\text{d}y+\mu R\text{d}y'=0\\

此时方程为全微分方程，则：

\begin{cases} \begin{split} \mu\partial_{y'}P+P\partial _{y'}\mu&=\mu\partial_{x}R+R\partial _{x}\mu\\ \mu\partial_{y'}Q+Q\partial _{y'}\mu&=\mu\partial_{y}R+R\partial _{y}\mu\\ \mu\partial_{y}P+P\partial _{y}\mu&=\mu\partial_{x}Q+Q\partial _{x}\mu\\ \end{split} \end{cases}\\

为了书写简单且能明确“这是在求偏导”而不至于看下标看得眼花，现以 \partial _a A 的形式表示偏导。和恰当微分方程理论上总有积分因子不同，在这种（装模作样分析的）情况下是并不总有积分因子的。

若此时的方程判别有：

\begin{cases} \partial_{y'}P=\partial_xR\\ \partial_{y'}Q=\partial_yR\\ \partial_{y}P\ne\partial_xQ\\ \end{cases}\\

则代入积分因子，有：

\begin{cases} \begin{split} P\partial _{y'}\mu&=R\partial _{x}\mu\\ Q\partial _{y'}\mu&=R\partial _{y}\mu\\ \mu(\partial_{y}P&-\partial_{x}Q)=Q\partial _{x}\mu-P\partial _{y}\mu\\ \end{split} \end{cases}\\

将前两个式子代入第三个式子右边，即得：

\mu(\partial_{y}P-\parti海关数据网al_{x}Q)=0\\

而 \partial_{y}P-\partial_{x}Q\ne 0 ，那么只有 \mu=0 ，显然不能如此。

当然，这也只是说明了“在这种装模作样分析”的情况下是会没有积分因子的。这只具有操作上的意义——如果在伪标准全微分式时出现“二等一不等”的情况，那么就可以考虑放弃使用全微分方程求解方程了。

接下来类似恰当微分方程的路线，探究一些简单的积分因子。

当积分因子是单元的，即： \mu=\xi(\phi(x,y,y')) 。代入判定式则有：

\b电子商务师证egin{cases} \begin{split} \xi\partial_{y'}P+P\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}\钢铁是怎样炼成的读后感partial _{y'}\phi&=\xi\partial_{x}R+R\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}\partial _{x}\phi\\ \xi\partial_{y'}Q+Q\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}\partial _{y'}\phi&=\xi \partial_{y}R+R\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}\partial _{y}\phi\\ \xi \partial_{y}P+P\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}\partial _{y}\phi&=\xi\partial_{x}Q+Q\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}\partial _{x}\phi\\ \end{split} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{split} \xi(\partial_{y'}P-\partial_{x}R)&=\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}(R\partial _{x}\phi-P\partial_{y'}\phi)\\ \xi(\partial_{y'}Q-\partial_{y}R)&=\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}(R\partial _{y}\phi-Q\partial_{y'}\phi)\\ \xi(\partial_{y}P-\partial_{x}Q)&=\frac{\text{d}\xi}{\text{d}\phi}(Q\partial _{x}\phi-P\partial_{y}\phi)\\ \end{split} \end{cases}\tag{5}\\

若 (5) 右端总不为零，令：

H_1=\frac{\partial_{y'}P-\partial_{x}R}{R\partial _{x}\phi-P\partial_{y'}\phi}\qquad H_2=\frac{\partial_{y'}Q-\partial_{y}R}{R\partial _{y}\phi-Q\partial_{y'}\phi}\qquad H_3=\frac{\partial_{y}P-\partial_{x}Q}{Q\partial _{x}\phi-P\partial_{y}\phi}\\

则仅当

\frac{\text{d}\xi}{\xi}=H_1\text{d}\phi=H_2\text{d}\phi=H_3\text{d}\phi\\

时有不矛盾的解。于是 H_i 得仅是 \phi 的函数，且有：

H_1(\phi)=H_2(\phi)=H_3(\phi)=H(\phi)\\

若成立，则有积分因子：

\mu=\xi(\phi)=\text{e}^{\int H(\phi)\text{d}\phi}\\

上面的条件恐怖片未免太为苛刻。考虑较为简单的情况。

当 \phi(x,y,y')=x ，即积分因子为 \mu=\xi(x) （仅关于 x 的积分因子，另外两个变量同）。

则代入 (4) ，有：

\frac{\text{d}\xi}{\xi}=\frac{\partial_{y'}P-\partial _xR}{R}\text{d}x=\frac{\partial_{y}P-\partial _xQ}{Q}\text{d}x\quad \cup\quad\partial_{y'}Q-\partial _yR=0\\

可以看见，有单个变量积分因子的存在条件至少得满足“一等二不等”。在这种情况下，关于 x 的积分因子同样满足恰当微分方程积分因子的构造：“减谁除谁积下标”。

当 \phi(x,y,y')=F(x)+G(y)+H(y') ，则：

H_1=\frac{\partial_{y'}P-\partial_{x}R}{Rf(x)-Ph(y')}\qquad H_2=\frac{\partial_{y'}Q-\partial_{y}R}{Rg(y)-Qh(y')}\qquad H_3=\frac{\partial_{y}P-\partial_{x}Q}{Qf(x)-Pg(y)}\\

若使得三者相等且为 \phi 的函数，简单的考虑，不妨使三者为一常数。常数取 1 即可：

\begin{cases} \begin{split} \partial_{y'}P-\partial_{x}R&=Rf(x)-Ph(y')\\[1.5ex] \partial_{y'}Q-\partial_{y}R&=Rg(y)-Qh(y')\\[1.5ex] \partial_{y}P-\partial_{x}Q&=Qf(x)-Pg(y) \end{split} \end{cases}\\

这个判定和恰当微分方程对应形式积分因子的判定是类似的。这样就得到了积分因子：

\mu=\xi(\phi)=\text{e}^{F(x)+G(y)+H(y')}\\

这个形式和假设积分因子假设为乘积形式 \mu=\bar F(x)\bar G(y)\bar H(y') 所得到的结果是一样的，可自行验证，在此就不再叙述了。不过实际情况下，这样去凑三个函数并且联合地满足以上三个等式是很困难的，考虑简化。

考温洲台风网虑两个变量的乘积形式（一个变量的…就是上面的情形了），即 \mu=\bar{F}(x)\bar G(y) （或者说取 H(y')=0 ），则直接有：

\begin{cases} \begin{split} \partial_{y'}P-\partial_{x}R&=Rf(x)\\[1.5ex] \partial_{y'}Q-\partial_{y}R&=Rg(y)\\[1.5ex] \partial_{y}P-\partial_{x}Q&=Qf(x)-Pg(y) \end{split} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{split} f(x)&=\frac{\partial_{y'}P-\partial_{x}R}{R}\\[1.5ex] g(y)&=\frac{\partial_{y'}Q-\partial_{y}R}R\\[1.5ex] \partial_{y}P&-\partial_{x}Q=Qf(x)-Pg(y) \end{split} \end{cases}\\

这样就不用去想破脑袋去构造了。直接写出可能乔引娣满足的函数 f(x),g(y) ，不过此时需要右边得到的结果的确的对应的单个自变量的；如果确是如此，那么将这两个函数再代入第三个式子看等式是否成立即可。…约束的确还是挺大的。

例：求解 (x+y)y''+y'+y=-x-1

判断是否为全微分方程。很显然，标准判定方法是无关方程 (1) 右边的f(x) 的，即使将右边的 -x-1 移到左边也不影响。

\begin{align} F_0&=x+y\\[1.5ex] F_1&=1-(1+y')=-y'\\[1.5ex] F_2&=y''+1-(-1y'')=y''+1\ne 0 \end{align}\\

不是全微分方程。写成伪标准全微分式，求积分因子的时候就一定要考虑 f(x) （这里指的是类似于线性方程“非齐次项”的那个 f(x) ）的影响了。即使某些求积分因子的方法无关 f(x) ，但求出积分因子后是得乘上的，这样便会求解。

现将所有部分移到左边，乘上 \text{d}x 有：

(x+y)\text{d}y'+\text{d}y+(y+x+1)\text{d}x=0\\

系数从左到右依次标为 P,Q,R ，有：

\begin{align} \partial_y P=1\quad \partial_{y'} Q=0\quad \ne\\[1.5ex] \partial_x P=1\quad \partial_{y'} R=0\quad \ne\\[1.5ex] \partial_x Q=0\quad \partial_{y} R=1\quad \ne\\[1.5ex] \end{align}\\

于是考虑双变量的积分因子。由于上面的偏导结果都是常数，那么只需要考虑分母即可。可见仅有分母为 Q 时是单变量加拿大介绍的：

\begin{align} h(y')&=\frac{\partial_yP-\partial_{y'}Q}{Q}=1\\[1.5ex] f(x)&=\frac{\partial_yR-\partial_{x}Q}{Q}=1\\ \end{align}\\

且有：

Pf(x)-Rh(y')=(x+y)-(x+y+1)=-1=\partial_{y'}R-\partial_xP\\

于是有积分因子：

\mu=\text{e}^{x+y'}\\

则方程为：

\begin{align} x\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}y'+y\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}y'+\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}y+y\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}x+x\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}x+\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}x&=0\\[1.5ex] \underbrace{y\text{e}^{x}\text{d}\text{e}^{y'}+\text{e}^{x}\text{e}^{y'}\text{d}y+y\text{e}^{y'}\text{d}\text{e}^{x}}+\underbrace{x\text{e}^{x}\text{d}\text{e}^{y'}+\underbrace{\text{e}^{y'}\text{d}(x-1)\text{e}^x+\text{e}^{y'}\text{d}\text{e}^x}}&=0\\[1.5ex] \text{d}y\text{e}^{x+y'}+\underbrace{x\text{e}^{x}\text{d}\text{e}^{y'}+\text{e}^{y'}\text{d}x\text{e}^x}&=0\\[1.5ex] \text{d}(x+y)\text{e}^{x+y'}&=0\\[1.5ex] (x+y)\text{e}^{x+y'}&=C_1 \end{align}\\

后续的就不解了。由于题目是根据积分因子的形式编的所以才有这样巧的效果…

练习：求解 x(x^2+1)y'''+3(2x^2+1)y''-12y=0 ^[2]

如果方程是全微分方程，那么可以通过这种方法百度硬盘降阶。但若不是的话，就不要考虑积分因子了。有用的高阶方程都已经写上了数学家们的名字，能够凑出积分因子的方程都会是为了凑而凑的、解出来毫无意义的那种…

另外，知乎的写文章的功能崩溃和bug越来越频繁和严重了，而且我很确信不是我电脑的问题。若还是如此两公式一崩溃，就真的被劝退了…

参考^中译过来后更广泛的用名是《常微分方程手册》，而这个名字其实是前言里面的一个彩蛋…^《微分方程（解法和解）》（E.卡姆克）第3.70.例