浅谈乘法

本文简要介绍快速幂、快速乘等算法，并与取模运算进行结合

快速幂

所谓快速幂，指的是快速计算幂的方法。例如计算3的23次幂，如果采用朴素的方式一次一次地乘3，需要进行22次。其时间复杂度为线性时间。而如果转换思路，我们将指数的23改为采用二进制表示：10111。如下所示，可以看到，变成若干个乘数（即下图的3的1次方、3的2次方、3的4次方、3的16次方）进行相乘。其中每个乘数是前一个乘数的平方。特别地，对于指数相应二进制位为0的乘数（例如下图红框中3的8次方），则在最终计算过程中直接跳抄袭检测过即可。可以看到，快速幂的时间复杂度为对数时间

Java版本实现如下所示

/** * 快速幂 * @param base 底数 * @param exp 指数 * @return */public sta闪语tic long quickPower(long base, long exp) { // 乘法单位元喷雾干燥法为1 long result = 1; long temp = base; while (exp!=0) { 十字军的试炼 // 取出指数在二进制下的最后一位 long lastBit =34e exp&1; // 该位不为0, 说明最终计算结果需要乘上这个中间乘数 if( lastBit!=0 ) { result *= temp; } // 更新中间乘数 temp *= temp; // 移除指数在二进制下的最后一位 天行健君子以自强不息的意思 exp >>= 1; } return result;}模幂运算

在快速幂的基础上，我们来看下如何进行模幂运算。即形如“(x^y) mod z”。在进一步展开前，我们先介绍下模在乘法下的运算规则

// 乘积的模 等于 各乘数分别取模后求积、并对积再取一次模(a·b) mod z = [(a mod z)·(b mod z)] mod z

这里，我们以（3^23）mod 7 为例进行说明。结合快速幂、模运算规则进行转换如下所示，可以看到转换后的各乘数X实际上是对前一个X的平方再取模的结果，体现在下述代码的(2)处

这里我们令X1～X4乘积后进行取模的结果为A4，再次运用模spl运算规则进行转换。由于X4肯定小于7，故X4 mod 7 可以直接化简为X4。同时令X1～X3乘积后进行取模的结果为A3。可以看到其揭示了我们在后面进行迭代计算过程中的递推公式，体现在下述代码的(1)处

此时，我们就可以利用快速幂实现模幂运算，Java实现如下所示

/** * 模幂运算 * @param base 底数 * @param exp 指数 * @param n 模 * @return */public static long modPower(long base, long exp, long n) { // 乘法单位元为1 long result = 1; // 即公式中的X1 long temp = base % n; while (exp!=0) { // 取出指数在二进制下的最后一位 long lastBit = exp&1; // 该位不为0, 说明最终计算结果需要乘上这个中间乘数 if( lastBit!=0 ) { // 此处应用迭代计算过程的递推公式 result = (result * temp) % n; // (1) } // 更新中间乘数: 对前一个乘数进行平方再取模 temp = (temp * temp) % n; // (2) // 移除指数在二进制下的最后一位 exp >>= 1; } return result;}快速乘

介绍完快速幂，相应的快速乘就简单很多了。其基本原理也是类似的，将其中的一个乘数按二进制进行拆分，然后利用分配律将乘法转换为加法。可以看到，一方面，对于两个大数相乘的场景，快速乘通过将乘法变为加法大大提高其在计算机中的运算效率；另一方面，对于大数的模乘运算而言，形如“(x*y) mod z”。借助快速乘可以防止两个大数的乘积直接溢出。典型地，模乘运算广泛存在于RSA计算当中

例如计算3x23，我们将其中一个乘数23改为采用二进制表示：10111，然后采用乘法的分配律将其改写加法。类似地，可以看到各加数均是前一个加数的两倍

Java实现如下所示

/** * 快速乘 * @param num1 乘数1 * @param num2 乘数2 * @return */public st水晶七星阵atic long quickMultiply(long num1, long num2) { // 加法单位元为0 long result = 0; long temp = num1; while (num2!=0) { // 取出num2在二进制下的最后一位 long lastBit = num2&1; 在线测评 // 该位不为0, 说明最终计算结果需要加上这个中间数 if( lastBit!=0 ) { result += temp; } // 更新中间数 temp += temp; // 移除指数在二进制下的最后一位 num2 >>= 1; } return result;}模乘运算

在快速乘的基础上，我们来看下如何进行模乘运算。即形如“(x·y) mod z”。在进一步展开前，我们先介绍下模在加法下的运算规则

// 和的模 等于 各数分别取模后求和、并对和再取一次模(a+b) mod z = [(a mod z)+(b mod z)] mod z

这里，我们以（3x23）mod 7 为例进行说明。结合快速乘、模运算规则进行转换如下所示，可以看到转换后的各加数X实际上是前一个X的两倍再取模的结果，体现在下述代码的(2)处

这里我们令X1～X4之和进行取模的结果为A4，再次运用模运算规则进行转换。由于X4肯定小于7，故X4 mod 7 可以直接化简为X4。同时令X1～X3之和进行取模的结果为A3。可以看到其揭示了我们在后面进行迭代计算过程中的递推公式，体现在下述代码的(1)处

此时，我们就可以利用快速乘实现模乘运算，Java实现如下所示

/** * 模乘运算 * @param num1 乘数1 * @param num2 乘数2 * @param n 模 * @return */public static long modMultiply(long num1, long num2, long n) { // 加法单位元为0 long result = 0; // 即公式中的X1 long temp = num1 % n; while (num2!=0) { // 取出num2在二进制下的最后一位 long lastBit = num2&1; // 该位不为0, 说明最终计算结果需要加上这个中间数 人气手游排行榜前十名 if( lastBit!=0 ) { // 此处应用迭代计算过程递推公式 re酒店节能降耗sult = (result + temp) % n; //（1） } // 更新弹簧减振器中间数: 对前一个数翻倍再取模 temp = (temp+temp) % n; // (2) // 移除指数在二进制下的最后一位 num2 >>= 1; } return result;}矩阵快速幂

前面我们提到了快速幂，故这里就矩阵的快速幂作一下补充说明。首先，对于矩阵形式的快速幂而言，其与普通的快速幂在基本原理上没有差别，都是将指数部分转换为二进制进行处理。但需要注意的是对于矩阵乘法而言，其乘法的单位元是单位矩阵。这里给出基于Groovy的矩阵快速幂实现。借助于Groovy的运算符重载特性，可以很方便的进行矩阵乘法运算

class Matrix { /** * 矩阵阶数 */ int n /** * 矩阵数据 */ List<List<Long>> mat Matrix(List<List<Long>> initValue) { this.n = initValue.size() // 初始化矩阵数据 this.mat = initValue } /** * 重载 * 乘法运算符, 实现矩阵乘法 * @param other * @return */ Matrix multiply(Matrix other) { List<List<Long>> resultData = [] for( row in 0..<n ) { List<Long> rowList = 滴滴快的合并[] for( col in 0..<n ) { def nu八达岭野生动物园老虎伤人m = 0l (0..<n).each { i -> num += this.mat[row][i] * other.mat[i][col] } rowList << num } resultData << rowList } re秦叔宝turn new Matrix(resultData) } /** * 获取n阶单位矩阵 * @param n 阶数 * @return */ static Matrix identityMat(int有皱纹怎么办 n) { List<List<Long>> resultData = new ArrayList<>(n) (0..<n).each { i -> List<Long> subList = new ArrayList&l开衫搭配t;>( Collections.nCopies(n,0l) ) subList[i] = 1l resultData << subList } return new Matrix(resultData) } /** * 矩阵快速幂 * @param matrix n阶方阵 * @param exp 指数 博拉鲁兹 * @ret澳大利亚格里菲斯大学urn */ static Matrix quickMatrixPower(Matrix matrix, long exp) { // 矩阵乘法单位元: n阶单位矩阵 Mat免费医疗rix result = Matrix.identityMat( matrix.n ) Matrix temp = matrix while (exp!=0) { // 取出指数在二进制下的最后一位 long lastBit = exp&1 // 该位不为0, 说明最终计算结果需要乘上这个中间乘数 if( lastBit!=0 ) { result = result * temp } // 更新中间乘数 temp = temp * temp // 移除指数在二进制下的最后一位 exp >>= 1 } return result }}

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