【高等数学】二重积分化累次积分方法

二重积分的一般表示如下：

I = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma

它最佳的理解方式是——平面薄片的质量，即平面薄片占据平面区域 D , 在点 (x,y) 处的面密度为 f(x,y) ，整个平面薄片的总质量就是将 f(x, y) 累积遍整个平面区域 D .

当然，二重积分也是一个“分割、近似、求和、取极限”的过程，将该过程压缩成一步到位，就是“二重积分”运算：

\lim\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i=二奶村1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i \triangleq \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma

注1： \lambda 取所有 \Delta \sigma_i 直径的最大值，该极限比一般极限要复杂的多（多了对任意分割）；

注2：经过该过程，二重积分已经是一个精确值（不均匀平面薄片的精确质量）了；

注3：既然是任意分割，在直角坐标系下，按水平竖直分割，则微元面积\mathrm{d}出口代理 \sigma = \mathrm{d} x \mathrm{d} y :

所以，二重积分也写为：

\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y

二重积分是 f(x, y) 在区域 D 上累积而得，而且与累积路径无关（二重积分定义保证），也就是说怎么累积遍下图中的小原点都是可以的：

那就选择一种规则的累积法：先竖着累积“小细带”，对每个 x ，把所有的 y 累积起来，记为

A(x) = \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y

再把所有“小细带”横着累积起来，得到

I = \int_a^b A(x)\mathrm{d}x

于是，

\begin{eqnarray*} I = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma &=再见你好吗& \int_a^b \Big[ \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y \Big] \mathrm{d} x \\ &\xrightarrow{换个写法}& \int_a^b \mathrm{d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \mathrm{d} y \end{eqnarray*}

当然换个方向考虑（先横着累积，再竖着累积）也是可以的，就得到：

\begin{eqnarray*} I = \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma &=& \int_c^d \Big[ \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d} x \Big] \mathrm{d} y \\ &\xrightarrow{换个写法}& \int_c^d \mathrm{d} y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \mathrm{d} x \end{eqnarray*}

综上，二重积分转化为累次积分，是将不方便直接计算的二重积分转化成方便计算的做两次定积分。

2. 极坐标下的二重积分

注意，影响上述计算的只亚美尼亚语有被积函数和积分区域的表达式。那么，若积分区域或被积函数在直角坐标系下，仍不方便计算呢？比如带 x^2+y^2 项。那就再转化为极坐标系下就方便计算了。

比如，这样一个区域：

用直角坐标 x, y 表示很困难，但换成极坐标则是非常简单的“矩形”：

\theta \in [\alpha,\beta], \quad \rho \如何拿到美国绿卡in [a,b]

所以，在极坐标系下，既然积分区域可以任意分割，那就按原点射线、圆环方向分割。此时，微元面积 \mathrm{d} \sigma 怎么计算？

注意到，微元 \mathrm{d} \sigma 很小，则圆弧边可近似看成直线，该面积可近似按“长×宽”来算：

\rm{d} \sigma \approx \rho \rm{d} \theta \cdot \rm{d} \rho

其中， \rho \rm{d} \theta 就是那段弧长，这里虽然是 \approx ，但二重积分过程（分割、取极限）就能变成 = .

因此，就有了二重积分化极坐标公式：

\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \iint\limits_{D'} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cdot \rho \rm{d} \rho \rm{d} \theta

其中， D' 是 D 的极坐标表示。

注：实际上从直角坐标系到极坐标系的转化，是做了一种变换：

\left\{ \! \begin{array}{l} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{array} \right.

则

\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d} \sigma = \iint\limits_{D'} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cdo兰州seot \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho, \theta)} \cdot \rm{d} \rho \rm{d} \theta

其中，该变换的雅可比行列式恰好等于 \rho 而已：

\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \rho

根据前文原理：二重积分是在一块二维的积分区域上，对被积函数做累积；无论采用哪种二重积分化累次积分的方式，关键是要把积分区域用两个积分变量的范围“精确”的表示出来。

一旦表示出来，顺手就能写成累次积分，二重积分的计算就只剩下计算两次定积分。

两个积分变量的积分区域，一定可以用这两个变量的范围“精确”表示出来，谁在先谁在后都行，这样就必有两种表示法：以直角坐标为例，就是

• 先 x 后 y

• 先 y 后 x

这两种表示也保证了，二重积分必能按两种方式转化为累次积分。

这两种表示的规则也很统一和简单，找到两个变量的变化范围即可：

先看变量的范围是数值范围是： [最小值，最大值]；

后看变量的范围是： [小的一侧曲线，大的一侧曲线]；

若某一侧曲线不能统一写为一个表达式，则对“先看变量”分段处理。

这个规则同样适用于极坐标，当然极坐标下的变量的“大和小”需要专门学会区分。

极坐标下，积分区域也用直角坐标来画，从极坐标的角度来看即可。

角度 \theta ，从 0 度（ x 轴正向）操控性逆时针到 2 \pi ，来看从小到大（用过原点的射线，角的终边衡量）；

极径 \rho ，代表的是点到原点的距离，刘松仁米雪所以是从原点（最小极径 =0 ），到外侧圆环来看从小到大。具体操作在角度 \theta 的两条射线（终边）辅助下，从小的一侧曲线到大的一侧曲线，就是从内圈曲线，到外圈曲线。

以上原理非常简单，你只需要记住上述原则（已加粗），会正确地区分积分变量的大和小。

下面用两道例题，帮你学会该方法。为了清楚，我写了很啰嗦的解释，上手之后只写每步结果就很简洁了。

例1 计算 \iint\limits_D xy \,\rm{d} \sigma , 其中 D 为抛物线 y^2=x 与直线 y=x-2 所围成的区域。

解：(1) 先画出积分区域 D

(2) “精确”表示区域 D

方法一：先 y 后 x

“先看变量” y 是数值范围：[最小值, 最大值],y 是下边小上边大，最小值在 A 点 (1,-1) 处取到，最大值在 B 点 (4,2) 处取到，故 y \in屯溪老街 [-1,2]

看一下所确定的范围：

可见，从 y 轴方向来看，积分区域 D 落在这两条横线中间。

“后看变量” x 范围是：[小的一侧曲线，大的一侧曲线]， x 是左侧小右侧大，所以是从左侧曲线 \widehat{AOB} 到右侧曲线 \overline{AB}

左侧曲线 \widehat{AOB} 的表达式为： y^2=x \xrightarrow{变形} x = y^2

右侧曲线 \overline{AB} 的表达式为： y=x-2 \xrightarrow{变形} x = y+2

于是， x \in [y^2, y+2]

注意：下方直线 y=-1 ，上方直线 y=2 , 左侧曲线 x=y^2神经衰弱 , 右侧曲线 x=y+2 , 恰好确定积分区域 D , 即所谓的积分区域 D “精确”表示。

因此，二重积分可化为如下的累次积分：

\iint\limits_D xy \,\rm{d} \sigma =\int_{-1} ^2 {\rm{d} } y \int_{y^2}^{y+2} x y {\rm{d}} x buck

方法二：先 x 后 y

“先看变量” x 是数值范围：[最小值, 最大值],x 是左边小右边大，最小值在原点 (0,0) 处取到，最大值在 B 点 (4,2) 处取到，故 x \in [0,4] 看一下末世掌上七星所母猪定位栏欺骗英文确定的范围：

可见，从 x 轴方向来看，积分区域 D 落在这两条竖线中间。

“后看变量” y 范围是：[小的一侧曲线，大的一侧曲线]， y 是下方小上方大，所以是从下方曲线 \widehat{OA}+\overline{AB} 到上方曲线 \widehat{OB} 。

显然，下方曲线 \widehat{OA}+\overline{AB} 不能统一用一个表达式表示，所以必须对 x \in [0,4] 分段，要以 A 点作为分界点，注意到 A 点坐标为 (1,-1) , 故

x \in [0,4] = [0,1] \cup [1,4]

再给图形增加 x=1 辅助线，积分区域 D 也被分为 D_1 和 D_2 :

(i) 对 D_1 区域， x \in [0,1] :

y 小的一侧曲线为 \widehat{OA} , 其表示为 y^2=x \xrightarrow{变形} y = -\sqrt{x}

y 大的一侧曲线为 \widehat{OC} , 其表示为 y^2=x \xrightarrow{变形} y = \sqrt{x}

故 y \in [- \sqrt{x}, \sqrt{x}] .

(ii) 对 D_2 区域， x \in [1,4] :

y 小的一侧曲线为 \overline{AB} , 其表示为 y=x-2

y 大的一侧曲线为 \widehat{CB} , 其表示为 y^2=x \xrightarrow{变形} y = \sqrt{x}

故 y \in [x-2, \sqrt{x}] .

因此，二重积分可化为如下累次积分：

\iint\limits_D xy \,\rm{d} \sigma =\int_0 ^1 \rm{d} x \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} x y \rm{d} y + \int_1 ^4 \rm{d} x \int_{x-2}^{\sqrt{x}} x y \rm{d} y

(3) 计算（略）。

注：实际中不用特意区分，直接“先 x 后 y ”，若不臧世凯好算（需要分段或求积分困难），再“先 y 后 x ”即可。

例2 在极坐标下交换积分次序：

I = \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\rm{d}} \theta \int_0^{2\cos \theta } f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho {\rm{d}}\rho

解：(1) 积分区域为“先 \theta 后 \rho ”表示：

\theta \in \big[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \big], \quad \rho \in [0, 2 \cos \theta]

(2) 在直角坐标系画出积分区域 D

先处理边界曲线：

\begin{eqnarray*} \rho=2\cos \theta &\xrightarrow{变形}& \rho^2=2 \rho \cos \theta \\ &\xrightarrow{变形}& x^2+y^2 = 2x \xrightarrow{变形} （x-1)^2+y^2=1 \end{eqnarray*}

再结滤波算法合 \theta 的范围，得到积分区域 D ：

(3) 改用“先 \rho 后 \theta ”表示

\rho 最小值是 0 （原点），最大值在点 (2,0) 处为 2 ，故 \rho \in [0,2] .

添加 \rho=0 （原点）和 \rho=2 辅助线，并标记若干点：

\theta 要从小的一侧曲线（负角度一侧，是 \overline{OB}+\widehat{BA} ）, 到大的一侧曲线（是 \widehat{OA} ）.

显然， \overline{OB}+\widehat{BA} 不能统一用一个表达式 \theta = \theta_1(\rho) 表示，所以，必须对 \rho \in [0,2] 进行分段。要以B 点对应的 \rho 值作为分界点上海体适能，注意到 B 点坐标为 (1,-1) , 故

\rho \in [0,2] = [0, \sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]

再给图形加上 \rho = \sqrt{2} 辅助线，该辅助线也将积分区域 D 分为 D_1 和 D_2 ：

(i) 对 D_1 区域， \rho \in [0, \sqrt{2}] ：

\theta 小的一侧曲线为 \overline{OB} , 其表示为： \theta = - \frac{\pi}{4}

\theta 大的一侧曲线为 \widehat{OC} , 其表示为： \rho=2 \cos \theta \xrightarrow{变形} \theta = \arccos \frac{\rho}{2}

故 \theta \in \big[- \frac{\pi}{4}, \arccos \frac{\rho}{2} \big] .

(ii) 对 D_2 区域， \rho \in [\sqrt{2}, 2] ：

\theta 小的一侧曲线为 \widehat{BA} ，其表示为： \rho=2 \cos \theta \xrightarrow{变形} \theta = -\arccos \frac{\rho}{2}

\theta 大的一侧曲线为 \widehat{CA} ，其表示为： \rho=2 \cos \theta \xrightarrow{变形} \theta = \arccos \frac{\rho}{2}

故 \theta \in \big[- \arccos \frac{\rho}{2} , \arcshiborcos \frac{\rho}{2} \big]

因此，原二重积分可化为如下累次积分：

I = \int_0^{\sqrt 2 } {\rm{d}}\rho \int_{ - \frac{\pi }{4}}^{\arccos \frac{\rho }{2}} f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho {\rm{d}}天猫吧\theta + \int_{\sqrt 2 }^2 {{\rm{d}}\rho } \int_{ - \arccos \fr早上起来恶心ac{\rho }{2}}^{\arccos \frac{\rho }{2}} f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho {\rm{d}}\theta

参考文献：

《高等数学》，同济版

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本篇作为回答：

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补充：

挂一个奇葩，眼神得差成啥样，才能看成我【这篇文章跟书上写的有区别吗】，我求着你看吗？拉黑不谢！