虚数的意义

初中时我们学习过实数，实数和数轴上的点一一对应，今天我们来说说“虚数”。

虚数字面意思是不存在的数，假想的数。其最初是指负数的平方根（当然也可以是偶次方根，在虚数定义之前迈腾b7l是不存在偶次方为负数的数的，比如任何实数的平方都是非负数），实数与虚数合称为“复数”，这就形成了更大的数的集合“复数域”。

虚数在历史上首次出现于意大利数学家，吉罗拉莫·卡尔达诺（1501－1576）的著作《大术》中（这本书首次记载了一元三次方程的完整解法），书中提到这个一个问题，能否把10分成两部分，使它们的乘积为40？

他给出一个答案，令：

这样就满足题目的要求：

不过他却认为其中的

这样的数是“既不可捉摸又没有什么用处”。

此时的卡尔达诺，虽然想到了虚数，但是却把它看成一种幻想。

后来的笛卡尔正式把

称为虚数，定义这是一种新的数。再后来直到拉斐尔·邦贝利（1526－1572）定义了虚数的乘法：

才最终构建起“复数域”这个数的家族。

综合网络布线 数系的扩充

回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程，可以以看到，数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，例如，为了解决

这样的方程在有理数集中无解，以及正方形对角线的度量等问题，人们把有理数系扩充到了实数系。数系扩充后，在实猎龙人数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。

依照这种思想，我们来研究把实数系进一步扩充的问题。

为了解决

这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引人一个新数i，使i是方程的根，即使

，安全网规格把这个新数；添加到实数集中去，得到一个新数集，记作A，那么方程

在A中就有解

了。

我们从数集A出发，希望新引进的数i和实数之间仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。

按照以上设想，把实数a与新引人的数i相加，结果记作a+i，把实数b与i相乘，结果记作bi，把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a+bi，等等，由于加法和乘法的运算律仍然应该成立，从而这些运算的结果都可以写成a+bi（a,b∈R）的形式，应把这些数都添加到数集A中去。实数系经过扩充后得到的新数集是

我们把集合

中的数，即形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所成的集合C叫做复数集（复数域）。

复数的几何意义

容易知道，任何一个复数：z=a+bi都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定，由于有序实数对（a.b）与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。

如下图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数：z=a+bi可用点Z（a,b）表示，这个食人魔建立直角坐标系来表示复数的平面叫做“复平面”。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，显然，实轴上成都宽窄巷子的点都表示实数，整个复平面上的点表示所有复数。

复平面的想法提供了一个复数的几何解释，实际复数z=a+bi，都和复平面中的向量

对应。

实数是一维的数，生活在一维的实数轴上：

而复数生活在二维复平面，拥有更大的自由度：

从这里可以看出复数域相比实数更加重要，因为它带给我们更广阔的视野，在复数域中解决一些问题会更接近本质。

复数的这种几何表示最早于1797年由挪威的测量学家韦塞尔提出，随即由瑞士的藏书家阿下载youtube视频甘得出书进行讨论并得到高斯的认同。伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一，他在1799年已经知道复数的几何表示，在1799年、心脏血管肉瘤181马岩松5年、1816年对代数基本定理作出的三个证明中，都假定了复数和直角坐标平面上的点一一对应，但直到1831年他才对复平面作出详细的说明，人们也把复平面称为高斯平面。

高斯在数学上一直都是神一样的存在。

南京大学图书馆 复数乘法的几何意义

假设有一根数轴，上面有两个相反的方向：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转1磁力离心泵80度，+就会变成-1，

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

（+1）*（逆时针旋转90度）*（逆时针旋转90度）=（-1）

如果把+1消去，这个式子就变为：

（逆时针旋转90度）^2 =（-1）

将"逆时针旋转90度"美股交易时间记为i就得到：

i^2 = (-1)

所以，我们可以知道，虚数i就是逆时针旋转90度，i不是一个数，而是一个旋转量。一深圳做销售个数乘以i,就是将复平面中表示该数的向量逆时针旋转90度。

关于虚数的这个意义，高斯曾说过： “迄至目前为止，人们对于虚数的考虑，依然在很大的程度上把虚数归结为一个有毛病的概念，以致给虚数蒙上一层朦胧而神奇色彩。我认为只要不把+1、-1、i 叫做正一、负一和虚一，而称之曰向前一，反向一和侧向一，那么这层朦胧而神奇的色彩即可消失。”此后，人们才接受了复平面的思想。

其实复数的乘法都可以扩展为复平面中向量的旋转，复平面赋予了复数乘法的几何意义。

比如，一条船的航向是3 + 4i(该船的航向对应复平面中向量（3,4）的方向):

couchsurfing

如果该船的航向，逆时针情绪管理增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是1+i对应的向量方向：

计算新航向，只要把3+4i与1+i相乘就可以了

(3+4i) * (1+i)=(-1 + 7i )

复数加法的几何意义

复数的加法可以对应成复平面中向量的加法：

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是3+i（方向是朝向量（3,1），大小为该向量的模），另一个力是1+3i，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，可以马上得到，合成力就是（3+i）+（1+3i）=（4+4i）。这就是复数加法的几何意义。

复数乘法几何意义的解释

任何复数z=a +bi，都可以改写成旋转半径r（

）与横轴夹角θ的形式,：

，称为复数的三角表示。

假定现有两个复数a+ bi和c+di，它们的三角表示如下：

a + bi = r1 * ( cosα + isinα）

c+ di =r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘（a + bi）（c谷歌账号+di）就相当于：

r1 *鼠标加速度 r2 * (cosα + isinα) * ( cosβ+ isinβ)

=r1 * r2 *[cosα *cosβ+ i( cosα * sinβ + sinα *cosβ)+i^2*南京工装sinα * sinβ]

=r1 * r2 *[cosα *cosβ-sinα * sinβ+i( cosα 山下达郎* sinβ + sina *cosβ)]

= r1 * r2 * ( cos(α+β) +isin(α+β) )

可以看出上式证明了两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

这个证明最早由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)给出。

写在最后

复数的出现丰富了数的世界，也使数能更准确的描述我们的世界。其实复数是很多数学理论的基础，复变函数，傅里叶变换……这些都基于复数。历史上著名的上帝公式：

中也包含复数。

欧拉公式：

,也称为复数的指数表示，最早由数学大神欧拉给出。

复数扩大了数的范围，使得一些运算的“定义域”拓宽，如：

复数的出现也开阔了数学家的研究范围，从某种意义上说，复数拓展了人类的眼界。