【高等数学】关于反函数

这篇文章【高等数学】映射与函数已经讲解过映射与逆映射、单射、满射、双射，不再重复。

一. 反函数的定义

设 A,B 为数集，f: A \to聘用制公务员 B 为双射，则对每个 y \in B 都有唯一确定的 x \in A 满足 f(x)=y （即这样与之对应）。按照映射的定义，这就定义了一个映射（记为） f^{-1}: B \to A ，称为是 f(x) 的反函数，其表达形式为 x = f^{-1}(y) 。

注1：定义反函数的前提是，原函数是双射（一对一）。同济版高数中，反函数的定义是“设 f:D \to f(D) 为单射，......”因为是到 f(D) 那肯定是满射，所以也等同于要求是双射。

另外，关于反函数的双射要求

定义中要求的双射，就是一对一，左边右边都没有多余的没用上的点。

因为这样的定义，最简洁，也足够应付各种反函数的应用场景。

其实，扩展到一对一，左边或右边有多余的没用上的点，虽然也没有矛盾之处，但段子精选既然它们是多余的没有用上的，从数学追求简洁的角度，干脆不带着它们就好了。

这在函数定义时，也是一样的道理。对每一个x属于D，就是把D中元都用上，不用的多余的点也没有必要带着它们。

注2：定义域和值域发生互换：原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域。

注3：从几何图形来看，原函数与反函数的曲线关于直线 y=x 是对称的。

注4：关系式 f\big(f^{-1}(y)\big)=y, \,~ f^{-1}\big(f(x)\big)=x 成立，即二者的复合是恒等映射： f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathbb{I} 。应用（一种常用变形）： a = e^{\ln a} .

二. 反函数存在性的判别

函数（映射）允许“多对一”，如 y = x^2 ，但不允许“一对多”。这实际上可以用

竖直线检验：任何一条竖直直线与函数曲线至多有一个交点。

例如， y=\sin(x) ，移动竖直直线都只有一个交点：

对于一个函数，再考虑其是否有反函数，只需要再保证”不能多对一“即可。这可以用：

水平线检验：任何一条水平直线与函数曲线至多有一个交点。

注意，函数是否存在反函数与所考察的区间是有关系的，例如， y=x^2 在整个 \mathbb{R} 上来看，是不满足水冷知识平线检验的：

但是，如果只考虑 [0, +\infty) 或者 (-\infty, 0治疗斑秃] ，就满足水平线检验，就存在反函数了。

类似的，还有三角函数，比如 y=\sin(x) ，在多个周期内，显然是不满足水平线检验的，但在一个单调周期内，如 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 是满足水平线检验的，因此 y=\sin(x脱毛膏怎么用) 在 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] 上有反函数， x = \arcsin(y)

那么，在 [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}], \cdots 也是有反函数的，这么多单调周期都可以选择，但当然是选更简单的包含原点周期更好。

sin(x)选择的是[-π/2, π/2]单调周期

cos(x)选择的是[0, π]单调周期

tan(x)选择的是[-π/2, π/2]单调周期

可见，三角函数的反函数一般是选择包含原点或从原点开始的单调周期。

三. 求反函数的一般步骤

(1) 检验函数是否为双射，或者做水平线检验，确定反函数存在性；表示原函数的定义域，注意，毛戈平化妆学校可能需要限制在部分单调区间。

(2) 根据 y=f(x) 反解出 x , 注意从求解过程的一些限制（如分母不为 0 , 根号下大于等于 0 等）得到反函数的定义域。

(3) 江河湖海的区别换表示，即交换 x 和 y ，得到最终的反函数。

注：反函数一般是在原函数的单调区间才存在的，也可以借助函数图形、函数单调性、定义域与值域是互换关系，来得到反函数的定义域加以验证。

例1 设f(x)=\sqrt{x+3} , 求反函数 f^{-1}(x) .

解：(1) 画出函数图形，做水平线检验：

至多有一个交点，故存在反函数。

(2) 原函数是 y= \sqrt{x+3}, \quad x \geq -3 ，

注意开根号是 \geq 0 ，故有 y = \sqrt{x+3} \geq 0

解出 x :

\Rightarrow \quad y^2=x+3, \英仕曼quad y \geq 0

\Rightarrow \quad x = y^2-3, \quad y \geq 0

(3) 换表示，得到反函数为：

乱世华尔街\quad y = x^2-3, \quad x \geq 0

最后再绘制原函数与反过得硬的连队函数的图像看看，

注：绘制原函数与反函数图形时有一个技巧，比如上例，通过绘制两个参数方程函数来实现：

\left\{ \begin{array} {l} x=t, \\ y=\sqrt{t+3} \end{array} \right. ， \l烤箱工作原理eft\{ \begin{array} {l} x=\sqrt{t+3}, \\ y=t \end{array} \right. ， t \geq -3

Geogebra绘图命令：

曲线((t, sqrt(t + 3)), t, -3, 10)曲线((sqrt(t + 3), t), t, -3, 10)x

例2 设 f(x)= \frac{\sqrt{2x+1}-1}{\sqrt{2x+1}+1} , 求反函数 f^{-1}(x) .

解：(1) 画出函数图形，满足水平线检验：

故存在反函数。

(2) 原函数是 y = \frac{\sqrt{2x+1}-1}{\sq沃夫德尔rt{2x+1}+1}, \quad x \geq -\frac{1}{2} ，

解出 x :

\Rightarrow \quad y = 1- \frac{2}{\sqrt{2x+1}+1}

\Rightarrow \quad \sqrt{2x + 1} = \frac水晶图片{2}{1-y} -1

注意，作为根号部分，应有 \frac{2}{1-y} -1 \geq 0 ，可推得 -1 \leq y \leq 1

又分母不能为 0 ，故 y \neq 1 , 从而 -1 \leq y < 1

继续求解 x :

\Rightarrow \quad x=\frac{\big( \frac{2}{1-y}-1 \big)^2 -1}{2} = \frac{2y}{(1-y)^2}, \quad -1 \leq y <1

(3) 换表示，得到反函数：

y=\frac{2x}{(1-x)^2}, \quad -1 \leq x < 1

最后再绘制丽江酒吧原函数与反函数的图像看看，

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补充：关于反函数，有同学还是没绕明白

其实真正理解了，就不会绕了。

函数的三要素有：定义域，对应法则，值域。前两个是根本，他俩决定了值域。

函数本质上是，数集与数集的(非一对多的)对应关系，其表达式用哪个符号表示并不重要，重要的定义域和对应法则所决定的这种对应关系。

为了简单，把反函数定义限制为首先得是双射(一对一的)。

原函数 f: A \to B ，反函数就是 f^{-1}: B \to A ，且保持对应2100年关系不变。

举个例子， A=山韭菜\{1,2,3\}, \, B=\{2,4,6\}

原函数 f: A \to B ，对应法则表达形式为

f(x)=2x, \quad x \in A

按标准步骤求，或者直接取反对应关系(因为简单能直接看出来)，

反函并行加法器数 f^{-1}：B→A ，对应法则表达形式为

f^{-1}(x)=x/2, \quad x \in B

以上是正确解答。

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有个同学说了，上面原函数 y=2x 的反函数，不能交烧烤酱料的做法换一下是 x=2y 吗？(正着 y 是 x 的 2 倍，反过来 x 是 y 的 2 倍)

咱巴莫特们来看前列腺炎诊断看，为什么不对。

首先只说表达式，不说定义域，这不完整（他的困扰和没绕明白，恰恰就是不说定义域造成的）。

(1) 假如说，你这个反函数是

x=2y, \quad y \in B

显然不对，因为这个函数把， 2 对应到 4 ， 4 对应到 8 ， 6 对应到 12 ，根本就回不去 A 了。

(2) 假如说，你这个反函数是

x=2y, \quad y \in A

你这不就是原来的原函数，换了个名字吗？(定义域相同，对应法则相同)它还是原函数。

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