CFA level 1 知识梳理：衍生品Derivatives

Derivative Markets and Instruments

1，定义：

（1）衍生品定义：Financial instruments, derive values from the performance of basic assets；

（2）Basic assets：equity, fixed-income, currency, commodity;对应的市场为cash markets/spot markets;对应的价格为cash prices/spot prices；这些基础资产都可以是衍生品的underlying; 但衍生品的underlying还可以是其他非实物的东西，如interest rate, weather, energy, credit, other derivatives;

（3）Mutual fund, exchange-traded funds不是衍生品的原因：仅仅是pass through the returns of underlying securities；而衍生品是transform the performance of the underlying assets;

（4）衍生品与保险的相似性：有underlying, definite life span, expiration date; risk or source(衍生品的风险即Underlying的value);转移风险，保护免受损失；

（5）买卖双方称呼：

-the long: seller/writer of the derivative;

-the short: seller/writer of the derivative;

2，衍生品分类：

A，forward commitments:未来双方要被强制交易，有买卖的义务obligation;

-forward contracts：远期合约

（1）交易场所：OTC交易；定制化customized contract;

（2）交易义务/违约：双方虽然有义务执行交易，但不受监管，任何一方都可能违约renege on the obligation（但并不是双方同时违约，同一时间只会一方违约），另一方则需要提供正式合同诉诸法院解决；最终一方Lose，另一方gain；

（3）价值/价格：初始价值0，无金钱往来，既不是资产也不是负债；随着时间推移，价值发生变化max.(0, St-X)或者max.(0, X-St)，到期是的价值一般不会是0；价格forward price不会发生变化；

（4）交割：settelment by delivery or cash; 如果是cash settlement，又称为non delivery forwards, cash settled forwards, contracts for differences; 两种交易方式的economic effect是一样的；

（5）流通性：较差

-futures；期货

（1）交易场所：futures fexchange；标准化合同；

（2）交易义务/违约：双方有交易义务，受监管regulated at the national level，无违约风险；如果一方违约，clearinghouse provides gurantee弥补另一方损失，by maintaining an insurance fund。理论上如果这个保险基金被depleted消耗完了，clearinghouse就会向其他参与者征税levy a tax（实际还未发生过）

（3）价值/价格：初始价值0，无金钱往来，但需要缴纳保证金给交易所；end of each day, 通过逐日盯市结算，然后effectivly resetting the value for each party to 0.期货到期时的合约价格即spot price；

Mark to market/daily settlement逐日盯市：每天结算gain/loss，清算所提供保障，clearinghouse moves money between pariticipants；后股穴

结算价格Settlement price: 清算所将交易日当天最后交易的futures的平均价格定义为settlement price；

The clearinghouse determines an average of the final futures trades of the day and designates

that price as the settlement price.

margin account：权益Equity里，会有信用额度extension of credit，投资人存一部分钱，再以一定的利息借一部分钱；但是期货的margin account，交易双方都要缴纳保证金，剩余的remainder of price is not borrowed;

initial margin: ＜10% of the futures price, 比equity margin要小；

maintenance margin: 交易一旦开始，每个参与者必须存入的一笔维持保证金，一般比initial margin要低很多；

margin call:如果是futures，要补交到Initial margin;如果是equity，交到maintenace margin; 全天交易期间都可以打margin call，而非一天结束的时候再打；

price limit: a band relative to the previous day's settlement price, within wich all trades must occur;帮助clearinghouse管控信用敞口credit exposure;交易双方同意按照一个超过price limit的价格交易，并不能代表他们可以交易。clearinghouse是合同的第三方，要确保双方不会违约；clearing house has a vested interest既得利益in the price and considerable exposure;

Invested interest: 清算所享有的既得利益

Open interest:期货交易所还未到期的所有合同数量，number of outstanding contracts;;

Forward和Futures其他对比：

（1）盈利时间不同：futures mark-to-market每日结算，每天结算后价值回归到0；forward是到期时一次性结算；

（2）利率不同，购买者倾向会不同：利率低的时候，一般影响不大；但操作时，利率高，倾向于futures；利率低，倾向于forward;

-swaps：two parties exchange a series of cash flows；浮动换浮动；固定换浮动；一系列的forward;（1）交易场所：OTC；

（2）交易义务/违约：和forward一样，有违约风险；任何一方都可以违约，但同一个时间，只会一方违约（the party owing greater amount can default to the partying owing less); 公司广泛使用；

fixed for floating interest rate swap/plain vanilla swap/vanilla swap:固定换浮动利率互换；操作流程：

某公司向银行浮动利率借款，担心利率损失，故找到swap dealer购买一个swap，支付swap dealer固定利率，swap dealer将贷款的浮动利率支付给公司，公司再将此部分收到的浮动利率支付给银行；（实际swap是只支付net rate，例如支付的固定利率为5%，而收到的浮动利率为6%，则实际收到的浮动利率为6%-5%）

notional principal: swap没有principal，但是notional principal，即balance of sorts；notional principal不参与exchange（故风险小于loan）

（3）价格/价值：初始价值0，随着市场情况的变化，swap的价值会逐渐倾向一方为正，一方为负；

Basis swap:浮动换浮动；TED spread: Libor和T-bill rate之间的差异 （T-bill vs Eurodollar)， a measure of credit risk premium of London banks;

B，contingent claims:或有权利：买卖双方的权利right，而非义务obligation；是放弃行权，还是行权，取决于particular random outcome；

（1）Payoff: Linear payoff线性回报，

（2）交易地点：OTC或者exchanges

（3）分类：

-option期权

Put option: right to sell；看跌bearish point of view；损失有限，盈利也有限，profit=max.(0,X-St)-P，St不可能低于0，故盈利是有限的；同样如果损失，最多也就是P期权费；类似保险：买了put option就类似买了保险，如果Underlying按照预料下降，保险或者Put option都会触发payoff, max.(0, X-St)，如果Underlying上升，也就是损失保费/期权费；

Call option: right to buy，看涨bullish point of view；

American style option:到期前可以交易；

European style option：到期才可以交易；

Bermuda style：美式和欧式综合，规定时间段可以交易；

（4）违约：Long方是购买的一个权利，故有权选择行权还是不行权，故不存在违约一说。会违约的只会是short方，因为short方是出售了一个义务，只要Long方要行权，short方就得有这个交易的义务，故有违约的可能；（这点和forwards/swap不同，他们是任何一方都可能违约，只是不会同时违约。）

-credit derivative: total return swap, credit spread swap(holder=long a call option), credit default swap, credit linked note

-ABS: ABS holder=seller/writer of put option

（5）Option相关术语：

Exercise price/strike price/striking price/strike:行权价；合同上事先定义；

Option premium：买option的人支付给writer/seller的费用；the present value of the cash flows that are expected to be received by tccbphe holder of the option during the life of the option.

（5）盈利：payoffs of contingent claim/option, not linearly related to payoff of the underlying;整个payoff与underlying不呈线性关系，但区间是，如0-X，以及X后是呈线性关系的；

名称期初金钱往来/期初价值权利/义务价格ProfitForward/futures/swap无义务不变St-XOption/CDS有 option premium权利不变call: Max.(0,St-x)-CPut: Max.(0,X-St)-P

3，衍生品优点：

（1）风险转移/风险管理: a simple, effective and low cost way to transfer risk;例如公司股票持有人可以通过该股票的衍生品交易，减少甚至emilinate market exposure;

（2）Easy to go short;

（3）投入资本少（高杠杆high degree of leverage); underlying价格的小波动，可能带来衍生品市场的大盈利、大损失；

（4）交易成本低；流动性高；

-衍生品目的：

（1）risk allocation, transfer and management；主要目的；注意：risk management定义：将风险控制在自己愿意接受的水平，让风险水平可衡量，并使其达到自己愿意接受的水平；衍生品是风险管理，但并非说确保没有large loss;

（短片小说2）information discovery:价格发现;

futures的价格有预测性这句话严格说不正确，因为他并不是真正预测未来的spot prices。但提供比spot price更多一点信息，尤其是decentralized market，如黄金；由于需要的资金少，价格传递在衍生品市场会比spot market快。

衍生品可以reveal 持有者可以拿到且avoid risk的价格

implied volatility：即Option中现货价格的波动, measure expected risk of underlying; option提供投资者对于市场不确定性看法的信息 information about what investors think of uncertainty in the market;

（3）Operational advantage:交易成本低， 流动性好，方便做空；

（4）Market efficiency:价格和fundamental value出现偏差时，衍生品市场发现Mispricing的成本低，且价格差更早在衍生品市场出现；

4，衍生品的批评criticism：

（1）Speculation, gambling: 衍生品被批评为legalized gambling

-投机的正面意义：越多投机者参与，对冲风险的成本就越低；投机一般是对冲基金和其他愿意承担风险大 投资者；

-投机的负面：被认为类似赌博，总的形象仍然负面，被认为价格操作，纳税多；

-投机和赌博的不同：赌博值对小部分参与者受益，对整个社会没有帮助；衍生品对金融市场以及整个社会都有好处；

-投机和赌博类似点：take risk to profit;

（2）Destablize the financial system/destablization and system risk:不稳定，系统风险

-正因为前面提到的所谓有点（低成本，容易做空等）导致，过度投机，给市场带来动荡；high leverage;投机者违会导致债权人creditor，债权人的债权人等一系列违约；

（3）Compliexity复杂性：因为其复杂性，金融行业聘请大量数学家，物理学家，电脑技术科学家；而使用科学方法构建的复杂的市场模型，经常失效；

5，衍生品交易市场：

（1）Exchange-Traded derivatives market:

-market maker/dealer，speculator都是交易所exchange的会员own membership；

-Scalping:抽头转卖，即Market maker可以同时用不同价格进行买和卖，locking small short term profit

-Clearing清算：交易所verifies execution of a transaction and records participants' identities;

-Clearinghouse:如果亏损方不付钱，清算所为盈利方提供保证guarantee,并由清算所支付给盈利方；清算所能够提供该保证，是因为他提前收取了保证金margin bond/performance bond;

-Settlement交割：交易所transfers money from one participant to the other, from participant to exchange, 或相反方向；

-衍生品市场的优点：清算和交割overnight即可完成，而股票市场securities market需要2个工作日；

（2）OTC derivatives marekt:又称为dealer market

-主要市场参与者：dealer，主要是银行，international swaps和Derivatives association(ISDA)的成员；

-由于是定制化，多数时候没法同时按照不同的价格进行买和卖来盈利

类型合同内容违约风险流通性透明度监管Exchange标准化无高完全透明力度大OTC客制化有低相对隐私Less regulated

6，信用衍生品Credit derivative：属于option

（1） 信用衍生品Credit derivative和保险区别：保险Highly regulated, consumer oriented laws;信用衍生品更灵活；

（2）信用衍生品定义: credit protection buyer和seller之间的衍生合约，credit protection seller提供给buyer信用损失的保护；

（3）credit derivative分类：

a, total return swap: underlying: bond/loan,

b, credit spread option: underlying; credit/yield spread on a bond, bond yield和无风险bond收益benchmark之间的差异；由于该种期权要求将利差credit spread作为标的物，那么这种衍生品就只能是traded bond that has a quoted price;购买方在交易之初选择期望的目标利差，支付期权费给seller。到期时，双方通过对比bond的利差与选定的目标利差之间的差异, 卖方支付给买方established payoff；本质上是call option（利差有利就行权，没有利，就不行权），标的物是credit spread，持有者定义了行权价，支付期权费，随后根据市场利差和目标利差之间的差异变化来决定是否行权;

c, credit linked note：

d, credit default swap:最成功,使用最广泛的信用衍生品；拥有保险的大部分基本特征，还能避开传统保险产品的消费者强监管；avoid high degree of consumer regulations;

CDS买卖双方之间签订的衍生合约，买方支付一些列的payment给卖方，如果第三方违约，会收到credit loss的补偿；买房通常是持有bond，但是担心bond会违约，故购买CDS，定期支付前给卖方；seller在信用违约事件credit event发生时，才make payment；合同上会列明什么情况是credit event；（一般是借钱出去的人购买，即银行担心贷款人违约，从CDS SELLER中购买CDS，一旦贷款人违约，CDS seller会赔付）

CDS的卖方：一般都是银行或保险公司，定期收取费用，一旦第三方违约，就支付给买方赔偿费；

7，ABS， asset backed securities:

（1）定义：衍生品合约，将debt打包组合，claim进行分层，prepayment和credit loss按照不同分层承担；属于option（contingent on prepayment和default), ABS持有者是卖了一个put option， writer/seller of put option：如果稳定，收益固定；如果利率降低，提前还款，ABS持有者收益就降低，收益公式：-max(0,X-St)

（2）与ETF, m淘宝主图视频utual fund差异：ETF和mutual fund与实际持有bond一样，pass through value of underlying，所有购买者的rate of return是一样的；而ABS alter the payment streams，是衍生品, derive the value from value of the underlying，且不同分层持有人的收益是不同的；

（3）主要类别：

-CMO：collateral mortage obligation, 将按揭mortgage整合进ABS；如CDS，通常（非绝对）可以减少或者甚至去除信用风险；CMO分层：A,B,C，层级依次降低；遇到Prepayment时，C先被偿还；

-CBO：collateralized bond obligation或者CLO， collateralized loan obligation，或者CDO，collateralized debt obligation:将债权整合进AB34dS: 一般没有prepayment risk但还是有credit risk；CBO/CLO/CDO分层：senior, messanine, junior tranches/euity tranches，发生违约时，junior/equity tranch最先bear risk；然后是mezzanine,最后才是senior tranches; 预期回报和风险相匹配，风险高的预期回报高：junior/equity＞mezzaine＞senior；

8，衍生品标的物Derivative underlying

（1）Equity权益：

-股票：一般是option，futures/forward/swap很少；企业使用得多，用于奖励其员工，可以让员工便宜购买；或者发行warrant给the public；

-股票指数：option, forward, futures, swap都很常见；index swap更长叫做equity swap，广泛使用，允许投资者支付一个股票指数的收益，收回另一个股票指数的收益或者收回一个固定收益；

（2）Fixed income and interest rate 固收债券和利率：futures, foward, swap, option都常用；

-以bond为标的物的衍生品问题：发行债券的主体多，一个债券的发行者本身又有多个outstanding bond。如果是futures，其标准化就是个挑战。通常是允许不同主体发行的债券放在一个futures合约里。这就会导致定价扭曲，影响交易策略；

-利率作为标的物：使用最广泛的衍生品标的物，可以是swap，option，例如：plain vanilla interest rate swap, LIBOR为标的物；

（3）Currencies货币: option, forward, futures, swap均可：

-currency swap:两种不同货币，两种风险：currency risk, interest rate risk;

（4）Commodities大宗商品:主要是futures, 其他的forward, swap, option也用；

financial futures的诞生，commodity和financial traders变得没什么区别；

（5）Credit信用：

（6）其他：weather, electricity, disaster (insurance claim)

9，衍生品市场大小：（了解即可）总得来说，很难measure

OTC市场根据两个要素来measure: notional principal和market value

Notional principal是写在合同里的固定数字，容易Overstate risk，因为实际交易的时候是net value；

Market value就是实际交易中net value=present value of one stream payment-present value of the other（实际支付的净值）；故如果不考虑说notional principal是一个明确的值的话unambiguous,其实market value来评估更好一些；但用Market value来评估，可能出现的问题就是双方对于这个值可能不认可；

10，资产定价：

（1）术语：

-Convenience yield: nonmonetary advantage of holding the asset持有资产获得的非金钱收益,sth. opaque and difficult to measure；一般是大宗商品产生的，难卖空（市场建议售出，同时很难卖空）或者紧缺商品；Convenience yields are primarily associated with commodities and generally exist as a result of difficulty in either shorting the commodity or unusually tight supplies.

-Cost of carry:持有成本

-Net cost of carry=cost of carry-benefit

（2）资产定价相关因素：

（1）投资者风险喜好；衍生品定价原则是获取无风险利率，故跟衍生品定价无关，但asset定价有关，要定风险溢价；

Risk-neutral investor: willing to engage in risky investments, to earn only risk-free rate; not expect premium for bearing risk;

Risk-averse investor: 不考虑无风险利率，要求超额收益compensate risk；要求risk premium;高风险低价格；

Risk-seeking investor: perfer risk over certainty, pay more to invest for risky asset, 是negative risk premium

（2）资产定价公式：

-S0=E（St)/(1+r+γ）^T，E(St)为资产预期将来价格，S0现值，r无风险利率，γ风险溢价risk premium;

-S0=【E（St)/(1+r+γ）^T 】-θ+γ，θ为carry cost的现值, γ为benefit的现值

11，衍生品定价

11.1 术语：

-Hedge portfolio:通过构建衍生品和标的物的组合，消除风险，最终挣得无风险利率；衍生品的价值就是迫使hedge portfolio挣无风险利率的衍生品价格；A derivative’s value is the price of the derivative that forces the hedge portfolio to earn the risk-free rate.

-Arbitrage:套利遵循原则low of one price，一价原则，相同asset价格应该相同；套利所得是属于abnormal return；不需要投入自己的钱，就能挣得no risk return; 但注意不代表完全不用花钱，是要借钱筹集资金的，只是不需要花费自己的钱；

套利过程：两个价值相同的asset，售价不同，故买入低价格的，卖出高价格的，故at the start，套利者收到net cash=卖出高价-买入低价，且后续不需要付钱出去，套利最后是no money gained or lost，故无风险；

套利的限制Limits to arbitrage:

(1)套利也需要capital，并不是人人都能借到足够的钱去套利；有时候一些套利还需要capital to maintain positions; 有些交易流通性不好，可能出现理论上对冲了，实际上可能需要付钱出去；

(2)套利需要确切的信息，如果lack accurate information on the model inputs（缺乏对标的资产波动性认识的话，input可能就不对，得出的套利机会可能也不对），有些套利可能是有风险的；

(3)套利需要卖空，有时候可能实际很难卖空；比如有些股票人家就不愿意借，或者一些产品就很难卖空，笔记本电脑这样的话，套利可能就只能往一个方向跑too high或者too low；

(4)套利能否实现依赖于其他投资者最终意识到定价错误mispricing，如果其他投资者没有意识到，不跟进，就不能成功套利；

-Hedge对冲： Long asset+short derivative=risk free asset （bond）,整个过程中价格一致，否则就会存在套利机会；

-Replication: 创造一个asset或从其他asset中组合一个，creation of an asset or portfolio from another asset, protfolio or derivative; 复制的本质是套利，essence of arbitrage，有利可图或者交易成本低（例如shot derivative+short risk free asset比直接Long asset费用低）

long asset + short derivative=risk free asset

long asset+shot risk free asset=long derivative

short risk free asset+shot derivative=long asset

-Risk aversion: 风险厌恶与资产定价相关，但与衍生品定价无挂，衍生品定价是假设无套利空间，用risk free rate来定价，又称risk-neutral pricing；arbitrage-free pricing， principal of no arbitrage；

（2）Forward、Futurs, Option价格及价值：

11.2 、定价准则：无套利原则

Forward/futures/swap price: one of the terms agreed on when contract was created;订立合约时规定的一个价格，使合约价值为0，无套利空间的一个价格；

11.2.1、Forward/futures 合约价格：

F(T)=S*(1+r)^T，合约价格即资产现价compounded at risk free rate over life of the contract;

F(T)=(S+carry cost-benefit)*(1+r)^T=(S-net cost of carry)*(1+r)^T=S(1+r)^T-(benefit-carry cost)*(1+r)^T

合约价格即资产现价按照无风险利率复利减去(benefit和 carry cost，net carry cost）的future value;

Net cost of carry=benefit - carry cost

11.2.2、Forward/futures 合约价值：

Forward/futures/swap value: amount of wealth represented by owning the contract; value=asset price-contract price（long方，如果是short方，则相反）;即，

（1）合约到期时，标的物的现货价格spot price减去合约规定的价格；合约初始阶段，价值为0，合约既不是资产也不是负债；S(T)-F(T)

（2）合约未到期时：标的资产spot price-合约价格的现值（Present value), S(t)-F(T)/[(1+r)^(T-t)]，注意T要以年为单位；如果还有期间的carry cost和benefit，则合约价值为value=S(t)-net carry cost*(1+r)^t-F(T)/[(1+r)^(T-t)];

*衍生合约forgo benefits，avoid carrying costs。故衍生合约的价值要downward to reflect the forgone benefits， upward to reflect the avoided carrying costs（注意都需要折现到0时刻）；

11.2.3 Forward rate agreement:远期利率合约

(1)标的物：interest rate利率，与其他衍生合约的不同点，标的物是利率，非asset；一般是libor作为标的物，或者Euribor, Tibor等；

(2)操作：允许先支付known interest rate，然后再将来收unknown interest rate；

(3)合成FRA， synthetic FRA:

Long a 30-day FRA on 90-day Libor=Long a 120-day Eurodollar time deposit+short a 30-day Eurodollar time deposit，30天后付一个固定的90天利率，120天后收一个浮动的90-day libor；

11.2.4 利率与Futures/fowar心理咨询师就业d的关系：

（1）如果合约价格与利率没有关系，则futures price和forward price一样，买哪个都一样；

（2）如果合约价格与利率呈正向关系Positively related，则倾向于futures price；因为futures price是Mark to market，每天结算盈利，如果利率高，价格高，再投资收入高；利率低，价格低，损失得少；氟塑料rising prices lead to futures profits that are reinvested in periods of rising interest rates, and falling prices leads to losses that occur in periods of falling interest rates；

（3）如果合约价格与利率呈反向关系opposite interpretation,倾向于forwards;

投资者倾向的合约，其价格就会更高。现实中，衍生品行业将futures和foward price几乎视为相同。除非特别说明，否则都视为没有差异。

11.2.5 Swap 价格/价值

(1)内涵：

Swap本质上市一系列forwards，在OTC市场交易；

(2)价格：固定换浮动的话，每期的固定payment金额一样，但浮动的Payment则不同

(3)价值：最初定的swap contract 价值为0：意味着所有期的价值之和为0，而初期定义的时候就一定没有payment exchange；

通常初期无payment exchange,第一期价值为0，但这只是customary约定俗成的，并不是mandatory一定要初始无Payment交换。

-At-market forward: 以0价值开始的foward

-Off-market forward: a forward transaction that starts with a nonzero value;

但如上所述，无论是at-market forward，还是off-market forward，初期价值之和为0；（无套利原则定价）

11.2.6 Option 价格和价值

(1)与Forward, futures, swap不同点：对于持有者来说是一个asset,，对于seller来说是liability；

Long an option：支付premium, 拥有买或者卖的权利，选择权利right；

Short an option：收取premium, 是有买或者卖的义务obligation，没得选；

(2) Option的类别：叫美式还是欧式，跟交易地点没关系；

American option：随时可以交易；

European option: 只能在到期时交易；

Bermuda option：在指定时间可以交易；

(3) 欧式期权到期时价值：

-内在价值：exercise value, intrinsic value

Call option: Max. (0, ST-X), greater of zero or the value of the underling minus the exercise price

Put option: Max. (0, X-ST), greater of zero or the exercise price minus the value of the underlying

ST：到期时（T时刻），资产的spot price;

X：合约价格；

-标的物价值对option价值的影响：

Call option：标的物价值forms 给call设定界限；call option价值不会比标的物价值高；Underling 给call设定来上限，但不会给Put设上下限；

如上公式，标的物价值与call option的价值成正比directly related;与put option呈反比，inversly related;

-行权价格对option价值的影响：

期权的货币性moneyness：即期权是in, at还是out of the money；

(1)in the money: call: ST＞X；put: X＞ST，行权

(2)at the money: call/put, ST=X

(3)out of the money: call: ST＜X，put: X＜ST，不行权

Put option:

行权价格设置了其期权价值的上限，未到期前，其最大价值是行权价格X，按照无风险利率折现到underlying价格为0的时刻；

Payoff/intrinsic value: Put option: max.(0, X-ST), Call option: max.(0, ST-X)

故行权价格与call option是反向关系inversly related， 与put option是正向关系directly related;

-距离到期日的时间影响：

Eurepean call option与到期时间成正比；put option与到期时间可能正比也可能反比；通常是正比，但当折现无风险利率很高的时候，或者deep in the money的时候，呈反比；

Call：时间越长，价值越高；随着时间推移，ST可能会更高；但是ST即使降到比X低，损失的也只是期权费；

Put: 时间越长，价值可能高，也可能越低；有time penalty，因为时间越长，可能受东风41洲际导弹到的钱的折现值就会变少；

-利率对期权价值的影响

European call:与利率正比；European option:与利率反比；

Call:到期时间越长，利率越高，说明自己支付出去的钱的现值就会越低，故欧式期权价值与利率呈正比；

Put:到期时间越长，利率越高，自己要收到的钱的现值就会越低，故欧式期权价值与利率呈反比；

-Underlying volatility对期权价值的影响：

非系统性波动，可以通过分散组合的方式去消除影响，故非系统性波动没有什么太大关系irrelavant;

标的物波动性，即标的物return的标准差standard deviation，与平均回报的偏差variation;

Eurepean call/put与标的物的波动都呈正比关系directly related;

-time value: differenence between market price of option and intrinsic price

即期权的价格market price=max.(0, ST-X)+time value

-标的物付款和cost of carry对期权价值的影响：

Payments on underlying: dividend, interest

European call: 与benefit创业品牌s呈反比，与carrying cost呈正比；（benefits多，这个是underlying hoder享有，Option holder没能享有到，故Option的价值要相应减少；carrying多，underlying hoder付出的钱就多，那么option hoder需要补偿给underlying holder的钱就增加，故期权价值增加；）

Eureopan put:与benefit成正比，与carrying cost呈反比；

11.2.7，期权价值的底限lowest value of European option：

European call：max. (0, value of the underlying-present value of exercise), max.(0, S0-艺术留学摄影作品集X/(1+r)^T)

European put: max.(0, present value of exercise-value of underlying), max.(0, X/(1+r)^T-S0)

T即距离到期日的时间的年化；

如行权价60USD，无风险利率4%，还有9个月到期，T=9/12=0.75，如果S0=70，

则Min. call price=max.(0, 70-60/(1+4%)^0.75)=11.74

Min. put price=max.(0,60/(1+4%)^0.75-70)=0

12，Put-call parity, put-call-forward parity: 以下均讨论European option

12.1 Put-call parity: P+S=B+C，即the put price plus the price of the underlying equals the call price plus the present value of the exercise pr专四答案ice，

(1) Protective put: holding a asset and a put

asset+put option (P+S)

即投资者拥有一个资产，现价S0，但是未来ST会降低，故再购买一个put option；

当ST＞X，put option的价值max.(0, X-ST)为0，无需行权，而此时资产价值ST，资产+put option的整体position是ST，put option无需行权；

若ST＜X，put option的价值是max.(0, X-ST)为X-ST，行权；资产价值ST，整position是X；

如上，如果资产将来行情好，可以或得无上限的收益，而如果不好，downside performance也会截止到truncated at X。

(2) Fiduciary call: holding a call and a risk free asset

risk free asset+call option (B+C)

risk free asset为一个risk free 0-coupon bond，到期的面值为X

如果资产价格ST＞X，call option的价值max(0, ST-X)为ST-X，期权行权；作为无风险资产的债券到期收到面值X；故整体价值为ST；

如果资产价格ST＜X，call option的价值max.(0, ST-X)为0，不行权；债券到期收到X，整体价值为X；

综上，可得出如下：

项目ST＞XST＜XPut opion+asset(protective put)STXCall option+risk free asset(risk free 0-coupon bond)(fiduciary call)STX

故protective put=fiduciary call

Put option+asset=call option+bond (risk free 0-coupon bond, risk free recyclerviewasset)

对于投资者A而言，一开始支付的钱committed fund为：S0+p0(p辽国ut option premium)；而B支付的钱为：c0(call option premium)+X/(1+r)^T；bond在购买时候的价格是未来面值折现后的价值；

S0+p0=c0+X/(1+r)^T，即put-call parity

put-call parity并不能告诉我们哪个价格正确，我们通过一个车震被抓价格，利用等式可以得出另一个价格；并且可以了解put和cal菊花航空l price之间的差异，如上公式变形p0-c0=X/(1+r)^T-S0

12.2 Put-call威斯敏斯特教堂-forward parity:

(1)synthetic protective put:

long a asset+short a derivative=long a risk free asset

故long a asset=long a risk free asset+long a derivative

Synthetic protective put=long risk free bond+long foward+long put

Protective put with forward contractST＞XST＜XbondF0(T)F0(T)forward contractST-F0(T)ST-F0(T)put: max.(0, X-ST)0X-STTotalSTX

put-call-forward parity: P+F0(T)/(1+r)^T=X/(1+r)T+C，the put price plus the value of a risk-free

bond with face value equal to the forward price equals the call price plus the value of a risk-free

bond with face value equal to the exercise price.

13, 期权二叉树模型定价Binomial valuation of options

13.1 琐碎知识点：

(1)Option和futures, forward, swap的payoff计算方式差异：

期权的Payoff公式：max.(0, ST-X) for call, max.(0, X-ST) for put， X行权价格是期初已知的，故唯一的不确定性即资产的现价only element of uncertainty is price of underlying; option payoff 显微镜的使用is determinted by underlying; 更进一步，payoff不是由underlying 本身的价格决定，而是一个比较值，underlying price和exercise price之间对比；

注意forward, futures和swap的payoff，仅仅是ST-F0(T)

13.2 二叉树模型：

(1)定义：

用上下两种movement得出2种可能结果来给期权定价的方式；

(2)涉及公式：

所有公式基于：long a asset+shot a derivative=long a risk free asset

这个组合的价值V=hS-C

公式一：

h=(c+-c-)/(s+-s-)，表示的是sell a call，是等于h个underlying

c+: call option在underlying价格上升的payoff； c-：call option在underlying价格下降的payoff

s+: underlying 上升后的价格；s-：underlying下降后的价格；

公式二：

π=（1+r-d)/(u-私活网d)

r:无风险利率；d:下降比例d=S-/S0，u:上升比例S+/S0

c0=[πc++(1-π）c-]/(1+r)

call option的现有价值即：到期时，call 上下浮动的可能价格加权，weighted average of the nwxt twoo possible call prices at expiration;

期权定价公式里注意要点：

(1)标的物的volatility是决定期权价值很重要的因素；公式中有u=S+/S0, d=S-/S0

(2)up和down的可能性并没有出现在公式中；

(3)权重π和（1-π）和概率类似，被称为合成概率或者伪概率, synthetic probability或者pseudo probability;

(4)公式取的是an expected future value (S+, S-都是未来的价值），用risk free rate折现

定价公式启示：

(1)如果波动增加，期权价格上升；

(2)标的物价格的实际上升和下降的概率跟定价无关；

(3)实际上升和下降概率被synthetic/pseudo probabilites取代，又被称为risk-neutral probabilites:

(4)风险中性概率是用来find a synthetic expected value, 会用risk free rate折现得来；

因此，期权定价时基于投资者风险中性的假设来的；即投资者风险偏好跟期权定价无关；

(5)V=hS+C

如果不遵循二叉树定价原则，如call的价格太高，则出售call，购买h份underlying，最后call的价格会因为套利者的交易而降价；如果underlying价格太高，则出售买call，出售h份underlying；

14，American option定价：

14.1 欧式vs美式期权定价：

(1)美式期权和欧式期权定价对比：

美式期权可以在到期前任意时间行权，只有payoff＞0时才会行权，故美式期权（无论call还是put)的价格不可能低于欧式期权；

(2)最低值：

欧式期权：call price≥max.(0, S0-X/(1+r)^T); put price≥max.(0, X/(1+r)^T-S)；注意区分：欧式期权Payoff: call: max.(0, ST-X)到期时的underlying价格ST；T为到到期日剩余时间；

美式期权：call price最小值与欧式期权一样；但是put price≥max.(0, X-S)

推导call的最小值一样的过程：

正常美式：call price≥max.(0, S0-X), put price≥max.(0, X-S0)，通过公式可以看出来，如果是call的话，欧式期权的最小值大于或者等于美式期权的最小值；但实际情况是美式期权不可能低于欧式期权，故最后取值和欧式一样；

14.2：影响美式期权early exercise的因素：

-对于美式call option：

(1) 唯一会让美式期权提前行权的原因是underlying有cash flow：如期权underlying为股票：分红，如果有分红消息出来，会导致投资者提前行权；原因：分红后，股价会马上下跌；或者期权underlying为bond： coupon interest有变化；

(2) carrying cost: 如果carrying cost比较大，也会削弱early exercise的动力；仓储成本让投资者更倾向于持有option而非拥有资产；

-美式Put option：

(1) 美式put option的最小值始终高于欧式put option，这使得美式put option更容易提前行权；

(2) 如果美式put option是deep in the money（underlying的价值不可能比0还低，最高payoff也就是X），也会提前行权；而美式call即使dee照片头像p in the money，时间价值也会使得投资者不会提前行权；

(3) coupon interest/dividend：会使美式put更不可能提前行权less likely to early exercise，因为max.(0, X-S),分红后，S变低，payoff更高；

(4)carrying cost: 如果高，会促使美式put提前行权；