【“数”你好看】任意角三角函数与诱导公式

三角函数是高中数学的重要内容，无论是国内还是国际三大体系，AP、IB、Alev沈阳装修公司排行el中都有三角函数的一席之地，而且要求不低，比如ALevel Further Math要求掌握利用积化和差求积分，（这一点可以参看《三角函数积分方法总结》）。而且三角函数还会和求导、积分、复数等联系在一起，所以学好三角函数非常重要。

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本文主要讲解以下五个知识点：

1.认识弧度2.弧长与扇形面积计算3.角度的推广，徐浩微博任意角4.任意角下的三角函数5.诱导公式一、认识弧度

在初中我们用度(°)来衡量一个角的大小。就像克、千克、吨等同样衡量质量一样，我们现在引入弧度(Radian)来衡量一个角度的大小。那么1弧度角有多大呢？

弧长为半径长的弧所对的圆心角为1弧度。

半径为 r 的圆其圆周长为2\pi r ,对应 360^\circ ,所以 \pi=180^\circ ，1弧度等于 \frac{180^\circ}{\pi}\approx 57.3^\circ

根据弧度的定义以及 1rad=\frac{180^\circ}{\pi} ,可以得到下面弧度与角度的转化公式：

常见的比如： 90^\circ=\frac{\pi}{2},60^\circ=\frac{\pi}{3},45^\circ=\frac{\pi}{4},30^\circ=\frac{\pi}{6} 。

注：以后数字右上角没有"o"的都默认在弧度制下面。

二、弧长与扇形面积计算

那么为什么要引入弧度制？

第一个引入弧度制能够帮助我们简化一些运算，比如接下去讲的扇形弧长与面积的计算。

图：圆、扇形各部分英语表达

在度制下，我们是利用成比例的方法来求解弧长与面积的，也就是算出圆周与圆面积，然后根据角度大小求出占比，从而求得对应的弧长与扇形面积。不过，引入弧度制后，我们有了更加简单的公式如下：

注： 扇形面积公式A=\frac{1}{2} \theta r^{2}=\frac{1}{2}rl 很像三角形面积公式底乘高除以2。

当然引入弧度不仅仅是为了便于计算扇形弧长与面积，而是把我们的实数与角度建立起了一一对应的关系，把初中所学的三角函数定义域从 (0^\circ,90^\circ)高井桃 变成了所有实数，接下去就讲解一下任意角下的三角函数。

三、角度的推广，任意角(General angle)

如果在初中被问到：请画出一个大小为(-\frac{\pi}{6}) 的角？

我们肯定是一脸问号……我们学的角度不都是正的吗？怎么还出现负的了？？

如果我们还是像初中一样在直角三角形中去定义角度大小，那么肯定是画不出负角度的。因此，我们这里要重新给出角大小的定义。接下去我们用旋转来定义一个角度的大小：

我奥运会志愿者们规定x轴正半轴为始边，逆时针旋转为正、顺时针旋转为负，如果逆时针旋转 \theta 大小会有一条终边，那么通过旋转得到的角的大小就是 \theta ；如果顺时针旋转 \theta 大小，那么这个角就是 -\theta 。

所以，你要画一个 -\frac{\pi}{6} 角，只需要顺时针旋转 \frac{\pi}{6} ，那么这个角就是所要求的角了。

至此，无论什么角我们都能够画出来了，大不了多转几圈就可以了。

四、任意角下的三角函数

在讲解任意角的三角函数之前，我们先简单回顾一下初中是如何定义三角函数的。

初中三角函数是在一个直角三角形中定义的，有一个直角三角形 ABC ：

\sin A=\frac{B C}{A B} \quad \cos A=\frac{A C}{A B} \quad \tan A=\frac{B C}{A C}\quad \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}

那么如何定义任意角下的三角函数呢？

在上一小节中我们知道了浓缩咖啡任意角有一条始边与终边，类似的我们也可以定义三角函数。不妨设终边最后落在了第二象限上，如下图所示。

然后过点A作x轴的垂线，垂足为B，那么我们就有了一个直角三角形 AOB ，于是我们就可以在这个基础上定义三角函数了。

\sin A=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \qu英语影评ad \cos A=\绝缘电阻测试frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \tan A=\frac{y}{x}

类似的，无论终边落在那个象限上我们都可以利用在终边上取一点，做垂线来定义三角函数。并且，在终边上任意取一点，最后得到三角函数值是一样的。因为 \triangle建筑密度 AOB\sim \triangle COD ,所以对应边长成比例。

但是这样子计算三角函数值也太复杂了，在终边上任取一点坐标，要算到原点的距离还需要求比值。

所以为了简化我们的计算，引入了单位圆。

圆心为原点、半径为1的圆称为单位圆。

那么引入单位圆后有什么好处呢？

我们可以过终边与单位圆的交点作垂线，求对应的三角函数值。因为圆周上的点到圆心的距离为1，于是 \sqrt{x^2+y^2}=1 ，因此我们可以发现交点的坐标x和y的值就对应了 \cos\theta 和 \sin \theta 。

无论 \theta 是多少， \sin \theta与 \cos \theta 我们只需要去找终边与单位圆的交点坐标 x,y 就可以了。

于是，我们计算任意角的 \cos,\sin 时就先画出终边，然后求与单位圆交点，比如下图我们通过计算坐标求 \sin\frac{\pi}{3}

根据勾股定理得 k=\frac{\sqrt{3}}{2} ,所以 \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}

在直角三角形中我们没有办法知道 \cos 90^\circ,\sin 90^\circ ,但是通过单位圆我们很容易看到90°的终边与单位圆的交点为(0,1)，所以 \cos 90^\circ7s=0,\sin 90^\circ=1 。

五、诱导公式

三角函数是具有周期性的，比如终边再原来的基础上再转 2k\pi 还是与原来的终边重合，且有些角度的三角函数值是有关系的，比如 \cos 30^\circ=\sin60^\circ,\sin60^\circ=\sin120^\circ 等等。

下面是一些常见的转化公式：

公式一：

\begin{array}{l}{\sin (2 k \pi+\alpha)=\sin \alpha(k \in Z)} \\ {\cos (2 k \pi+\alpha)=\cos \alpha(k \in Z)} \\ {\tan (2 k \pi+\alpha)=\tan \alpha(k \in Z)}\end{array}

公式二：

\begin{array}{l}{\sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha} \\ {\cos (\pi+\alpha)=-\cos \alpha} \\ {\tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha}\end{array}

公式三：

\begin{array}{l}{\sin (-\alpha)=-\sin \alpha} \\ {\cocgis (-\alpha)=\cos \alpha} \\ {\tan (-\alpha)=-\tan \alpha}\end{array}

公式四：

\begin{array}{l}{\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha} \\ {\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha} \\ {\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha}\end{array}

公式五：

\begin{array}{l}{\sin (2 \pi-\alpha)=-\sin \alpha} \\ {\cos (2 \pi-\alpha)=\cos \alpha} \\ {\tan (2 \pi-\alpha)=-\tan \alpha}\end{array}

公式六：

\begin{array}{l}{\sin (\pi / 2+\alpha)=\cos \alpha} \\ {\cos (\pi / 2+\alpha)=-\sin \alpha} \\ {\tan (\pi / 2+\alpha)=-\cot \alpha}\end{array}

\begin{array}{l}{\sin (\pi / 2-\alpha)=\cos \alpha} \\ {\cos (\pi / 2-\alpha)=\sin \alpha} \\ {\tan (\pi / 2-\alpha)=\cot \alpha}\end{array}

\begin{array}{l}{\sin (3 \pi / 2-\alpha)=-\cos \alpha} \\ {\cos (3 \pi / 2-\alpha)=-\sin \alpha} \\ {\tan (3 \pi / 2-\alpha)=\cot \alpha}\end{array}

上述公式是弧度制版的角度转化公式，当然还有角度制版的转化公式。

但是真的有必要把上面公式一个一个记下来吗yinjing？

其实是不用的，我们只需要记住下面十字口诀就可以了：

奇变偶不变，符号看象限

首先我们把需要转化的三角函数整理为标准形式： \sin (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\cos (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\tan (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha)

接下去判断 k 是奇数还是偶数，

（1）如果 k 是偶数，那么 \sin (\frac{\pi}{2}k\pm \a三鹿奶粉时间lpha)\rightarrow\sin \alpha,\cos (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha)\rightarrow \cos \alpha,\tan (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha)\rightarrow \tan \alpha （2）如果 k 是奇数，那么 \sin (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha)\rightarrow\cos \alpha,\cos (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha)\rightarrow \sin \alpha,\tan (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha)\rightarrow \cot \alpha 真主党

这样前半句就结束了，那么后半句就是要在得到的三角函数前面要加个正负号。

那么到底加正好还是负号呢？

这是由 \sin (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\cos (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\tan (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha) 的正负性所决定的:

(1)如果 \sin (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\cos (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\tan (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha) 是正的那么诱导出来的三角函数就是正的，“+”号我们就不标出来了；(2)如果 \sin (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\cos (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha),\tan (\frac{\pi}{2}k\pm \alpha) 是负的那么诱导出来的三角函数前面还要添加一个负号。

不过要注意的是，这里的 \alpha 我们都当成一dfu模式刷机个锐角来处理！

比如 \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alph女人的脚丫a

（1） \frac{\pi}{2}即墨老酒\times 1 ,那么 k=1 ,所以要变， \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\rightarrow \sin \alpha ；（2） \frac{\pi}{2}-\alpha 是先逆时针旋转 \frac{\pi}{2} 然后再顺时针旋转一个锐角，因此终边落在了第一象限上，而 \cos 看的是x值，是正的，于是 \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha 。

再比如 \sin(-\alpha)=-\sin \alpha

（1）这是 \frac{\pi}{2}\times 0 ， k=0 ，是偶数，所以不变， \sin(-\alpha)\rightarrow \sin \alpha ；注：要转化为标准形式。（2）异形 -\alpha 是顺时针旋转一个锐角度，那么终边落在了第四象限上，而第四象限上 \sin 是负的，所以 \sin(-\alpha)=-\sin \alpha 。

关于各类三角函数在各象限的正负性，我们可以画图判断。在国际教材中还有一句口诀叫“ASTC”，分别对应四个象限：

（1）第一象限，A，也就是ALL，所有的 \sin,\cos,\tan 都是正的；（2）第二象限，S，也就是Sin，只有 \sin 是正的；（3）第三象限，T，也就是Tan，只有 \tan 是正的；（4）第四象限，C，也就是Cos，只有 \cos孙广文 是正的。

记口诀或者画终边都市天际线都可以判断三角函数的正负性，两种方法都可以。

上述内容都是比较基础的知识，三角函数的内容还有很多，比如在下文中我们用两种方法证明了两角和差公式，并以此讲解了二倍角公式、辅助角公式、和差化积与积化和差：

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