平面几何定理之三（射影定理）

平面几何定理之三（射影定理）

我们通常讲的射影定理是一个关于斜三角形的边角关系的定理，它与正弦定理和余弦定理等价。

定理 如果ΔABC三边长为 a,b,c ，那么

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

证明：过点C作CD⊥AB于D，如图1.

则AD＝深圳电器公司bcosA，BD= a cosB，

而c=AD+DB= bcosA+ a cosB，

同理，可得 张姓 a=bcosC+ccosB , b=ccosA+acosC .

下面证明射影定理与余弦定理等价：

余弦定理 如果ΔABC三边长为 ，那么

a^一氧化氮的作用{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cacosB

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC

由射影定理，得

cosC=\frac{b-ccosA}{a} , cosB=\frac{c-bcosA}{a} ，代入a=bcosC+ccosB 得

a^{2}=b(b-ccosA)+c(c-bcosA)=b^{2}+c^{2}-2bccosA

同理可得 b^{2}=c^{2}+广交a^{2}-2cacosB , c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC；

反过来，由 a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA , b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cacosB ,

两式相加，得

a^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+2c^{2}-2bcco田不易sA-2accosB

即0=2c^{2}-2bccosA-三角函数的图像与性质2accosB ，所以

c=acosB+bcosA

同理可得 a=bcosC+ccosB , b=ccosA+acosC .

下面证明射影定理与正弦定理等价：

正弦定理 如果老庄哲学ΔABC三边长为 ，那么

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}

由射影定理 a=bcosC+ccosB , b=ccosA+acosC 中解出 c 和 cosC ，得

cosC=\frac{bcosB-acosA}{acosB-bcosA},c=\frac{a^{2}-b^{2}}{acosB-bcosA} ,

把c=\frac{a^{2}-b^{2}}{acosB-bcosA}, 代入c=acosB+bcosA ，得

a^{2}-b^{2}=(acosB+bcosA)(acosB-bcosA)=a^{2}cos^{2}B-b^{2}cos爱云校^{2}A

即a^{2}(1-cos^{2}B)=b^{2}(1-cos^{2}A) ，a^{2}sin^{2}B=b^{2}sin^{2}A ，所以

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}

同理可证\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC} ，所以

\frac{a}{sinA}=\frac云南七日游{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}

反过来，设\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=k ，则 a=ksinA,b=ksinB , c=ksinC ,所以

c=ksinC=ksin(\pi-A-B)

=ksin(A+B)

=ksinAcosB+kcosAsinB

=(ksinA)co小说排名sB+(ksinB)cosA

=acosB+bcosA

同理可证a=bcosC+ccosB , b=ccosA+acosC .

例1 （高考全国卷（课课标Ⅱ）理科2013•17）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为 a,b,c ，已知 a=bcosC+csinB .

（1）求B；

（2）若 b=2 ，求ΔABC面积的最大值.

分析：（1）已国产平板电脑知a=bcosC+csinB ，而由射影定理，a=bcosC+ccosB ，所以cosB=sinB ,而B \in （0，180°），所以B＝45°；

（2）B＝45°，则ΔABC的面积

S=\frac{1}{2}acsin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}ac

另一方面，由余弦定理，得

4=c^{2}+a^{2}-2cacos45^aa183{\circ}\geq 2ac-\sqrt{2}ac ,

即 ac\leq\frac{4}{2-\sqrt{2}} ，当且仅当接吻病 a=c 时，等号成立，所以

S=\frac{1}{2}acsin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}ac\leq\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1

即ΔABC面积的最大值是 \sqrt{2}+1 .

例2（高考浙江卷理科2016•16）在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为 a,b,c ，已知 b+c=2acosB .

（1）求证：A＝2B；

（2）若ΔABC的面积 S=\frac{a^{2}}{4} ，求角A的大小.

分析：（1）由射影定理，得

b=ccosA+氧化铬绿acosC

c=acosB+bcosA

两式相加，得

b+c=acosC+acosB+(b+c)cosA

把b+c=2acosB 代入，得

2acosB=acosC+acosB+2acosBcosA.

即 cosB=cosC+2cosBcosA

因为C＝180°－A－B，所以 cosC=-cos(A+B)=卧室风水-纪念品英语cosAcosB+sinAsinB ，代入上式，得

cosB=-cosAcosB+sinAsinB+2cosBcosA=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)

所以，B＝A－B或B＝－A+B（舍去），所以A＝2B.

（2）因为ΔABC的面积S=\frac{a^{2}}{4} ，所以 \frac{1}{2}bcsinA=\frac{a^{2}非法传销}{4} ，即

2bcsinA=a^摄影入门{2}

应用正弦定理，得

a=\frac{bsinA}{sinB}=\frac{csinA}{sinC}

代入上式，并消去 bc ，化简得

2sinBsinC=sinA

由（1），A＝2B，所以

2sinBsinC=sinA=sin2B=2sinBcosB

sincattiC=cosB=sin(\frac{\pi}{2}-B)

因为 B,C\in(0,\pi) ，所以 C=\frac{\pi}{2}-B 或 C=\pi-(\frac{\pi}{2}-B) ，所以 A=\frac{\pi}{2}\ 或 Abarksdale=\frac{\pi}{4} .