L-函式

函式定义

一般地, 对于数学对象, 我们可定义複数列, 形如且具有Euler乘积的Dirichlet级数, 我们称其为关于的-函式。

函式来源

一般地说,-函式来源由两类组成: 算术L-函式和自守L-函式. 这两者又是密切联繫在一起的, 根据罗伯特·朗兰兹的猜想, 笼统地说, 一切有意义的L-函式都来自自守L-函式.

算术L-函式

简单地说,同样地，狄利克雷在研究算术级数中的素数分布时，引入了Dirichlet L-函式：Dedekind zeta-函式: 设为一代数数域，椭圆曲线的Haass-Weil L-函式: 设为一非奇异的椭圆曲线定义为曲线在有限域上的解, 设, 则下面的级数称为关于曲线的Haass-Weil L-函式阿廷L-函式: 设是一个有限维的伽罗瓦表示,其中为一代数数域,

自守L-函式

全纯模形式的L-函式, Maass L-函式, 标準L-函式等等.

研究内容

根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指, 研究一个L-函式主要有三部分内容:

解析延拓

L-函式的解析延拓和函式方程这是最基本的一部分. 对于一般的自守L-函式这是较容易得到的, 但是对算术的L-函式这一部分并不是容易得到的. 例如, 对于Haass-Weil L-函式, 这部分就是谷山-志村猜想, 该猜想一部分就能推出费尔马大定理. 关于阿廷L-函式的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题.对于数学对象的L-函式, 我们定义其的gamma因子为其中为复参数.定义下面关于的完全-函式那幺, 一般地我们有函式方程其中为模为1的複数,为关于的对偶对象.

零点的分布

非零区域: 如黎曼zeta函式的目前最好的非零区域为黎曼猜想和广义黎曼猜想问题:在假设黎曼猜想下, 零点虚部的分布问题与随机矩阵的联繫等等.

特殊点的值

中心值, 临界点, 整点的值, 极点的留数等. 这里面也有很多猜想, 像BSD猜想, 类数问题, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什幺样的算术意义。像Dedekind zeta 函式在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变数：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函式在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！

研究意义

对于一个研究对象如素数, 伽罗瓦扩张, 椭圆曲线, 代数簇等等, 我们可根据其性质构造出一个复变数的L-函式. -函式的解析性质: 零点和极点, 函式方程, 展开係数, 特殊点的值等等, 往往能够充分反映的算术, 几何, 或代数性质.

三个公开问题

关于L-函式的研究,有许多未解决的公开问题,在这些问题中,尤以下面三个着名.广义Riemann猜想L-函式所有非平凡的零点均位于线上.广义Lindelof猜想在(3.1)的函式方程中, 有猜想:其中为任意小的正实数.广义Ramanujan猜想在(3.1)的函式方程中,猜想对非分歧的有和.